Tài liệu Đại số tuyến tính - Chương 3 Không gian tuyến tính và ánh xạ tuyến tính ppt

Thật vậy, trong hình học giải tích, chúng ta đã biếtmọi véc tơ −→u có thể phân tích theo 3 véctơ không đồng phẳng , ..., xn, ...} là tập sinh của không gian gồm tất cả các đa thức hệ số

Đại số tuyến tính - Chương 3

Không gian tuyến tính và ánh xạ

tuyến tính

3 Không gian tuyến tính và ánh xạ tuyến tính 3

3.1 Không gian tuyến tính 3

3.1.1 Định nghĩa không gian tuyến tính 3

3.1.2 Không gian con 7

3.2 Cơ sở và chiều của không gian tuyến tính 8

3.3 Tọa độ vectơ và phép đổi cơ sở 20

3.3.1 Tọa độ vectơ 20

3.3.2 Đổi cơ sở 23

3.3.3 Hạng của hệ véctơ 28

3.3.4 Tổng và tổng trực tiếp các không gian con 31

3.4 ánh xạ tuyến tính 36

3.4.1 Các khái niệm cơ bản về ánh xạ tuyến tính 36

3.4.2 Ma trận của ánh xạ tuyến tính 44

3.4.3 Các phép toán giữa các ánh xạ tuyến tính 48

3.4.4 Ma trận của phép biến đổi tuyến tính trong các cơ sở khác nhau 51

3.5 Trị riêng, véctơ riêng của phép biến đổi tuyến tính 55

1

đại số

Sách dùng cho sinh viên tr-ờng Đại học xây dựng

và sinh viên các tr-ờng Đại học, Cao đẳng kĩ thuật

2

Kh ô ng gian tuyến tính và ánh xạ tuyến tính

3.1.1 Định nghĩa không gian tuyến tính

Định nghĩa 3.1.1 Cho V 6= ∅ và K là tr-ờng số thực hoặc phức, V đ-ợc gọi là

không gian tuyến tính trên tr-ờng K nếu trên V xác định hai phép toán:

a) Phép cộng là ánh xạ V ì V → V ứng mỗi cặp (x, y) với một phần tử duy nhất trong V kí hiệu x + y ∈ V thỏa mãn

• x + y = y + x với ∀x, y ∈ V

• (x + y) + z = x + (y + z) với ∀x, y, z ∈ V

• Tồn tại 0 ∈ V : x + 0 = 0 + x = x với ∀x ∈ V

• ∀x ∈ V đều tồn tại (−x) ∈ V : (x + (−x)) = 0

b) Phép nhân một phần tử của K với một phần tử của V là một ánh xạ K ìV →

V t-ơng ứng mỗi cặp (α, x) với một phần tử duy nhất trong V kí hiệu

Mỗi phần tử x ∈ V th-ờng đ-ợc gọi là một vectơ Phần tử 0 ∈ V trong định

nghĩa trên đ-ợc gọi là vectơ không, phần tử (−x) ∈ V đ-ợc gọi là phần tử đối

của x hay vectơ đối của vectơ x Không gian tuyến tính trên K còn đ-ợc gọi là

không gian véctơ trên tr-ờng K.

Nếu K là tr-ờng số thực, V trên R đ-ợc gọi là không gian tuyến tính thực,

nếu K là tr-ờng số phức, V trên C đ-ợc gọi là không gian tuyến tính phức.

Ví dụ 3.1.1

1 Tập hợp các véctơ hình học trong không gian, kí hiệu V3 với phép cộng cácvéctơ và nhân véctơ với một số thực nh- đã biết là không gian tuyến tínhthực

Tập hợp các véctơ hình học trong mặt phẳng, kí hiệu V2 cũng là khônggian tuyến tính thực

2 Tập hợp các số thực R trên R là không gian tuyến tính thực, tập các sốphức C trên R cũng là không gian tuyến tính thực

là không gian tuyến tính thực Nó đ-ợc gọi là không gian các véctơ cột n

chiều T-ơng tự ta có thể nói đến không gian tuyến tính gồm các ma trận

nhân ma trận với một số Do vậy chúng thỏa mãn các yêu cầu trong định

nghĩa về không gian tuyến tính Nói cách khác V là không gian véctơ.

Xét một tr-ờng hợp riêng: giao của 2 mặt phẳng (tập hợp các điểm

R2 | x > 0, y > 0} không là không gian véctơ thực, với các phép toán trong ví dụ 2

nh-(x1, y1) + (x2, y2) = (x1+ x2, y1+ y2)

α(x, y) = (αx, αy), α ∈ R

• Tập các số thực R (với phép cộng và phép nhân các số thực đã biết)không là không gian tuyến tính phức

Các tính chất cơ bản của không gian véctơ

Cho không gian tuyến tính V trên tr-ờng K Chúng có các tính chất cơ bản sau

1 Trong không gian tuyến tính V , véctơ 0 là duy nhất Thật vậy nếu 00∈ V

cũng có tính chất 00

+ x = x ∀x ∈ V thì

0 = 0 + 00= 00.

2 Với mỗi b ∈ V tồn tại duy nhất véctơ đối (−b) ∈ V

Thật vậy giả sử tồn tại b1, b2 sao cho b1+ b = 0 = b2+ b Ta có

b1 = b1+ 0 = b1+ (b2+ b) = (b1 + b) + b2 = 0 + b2 = b2

Vậy (−b) là duy nhất.

3 Với mọi α ∈ K, α ã 0 = 0 Thật vậy

Suy ra (−1) ã a là véctơ đối của (−a).

Nhận xét rằng do (−1) ã a = (−a), ta có thể nói trong không gian tuyến tính hiệu

2 véctơ b và a bằng tổng của b với véctơ đối của a

b − a = b + (−a).

3.1.2 Không gian con

Định nghĩa 3.1.2 Cho V là không gian véctơ trên tr-ờng K Tập con U ⊂ V của

không gian véctơ V đ-ợc gọi là không gian con của V , kí hiệu U / V , nếu U cũng

là không gian véctơ trên tr-ờng K với các phép toán cộng véctơ và nhân véctơ với một số trên không gian véctơ V

Định lí sau là hiển nhiên

Định lí 3.1.1 Điều kiện cần và đủ để U ⊂ V là không gian con của không gian

véctơ V là

i) Với mọi a, b ∈ U ⇒ a + b ∈ U

ii) Với mọi a ∈ U và mọi α ∈ K ⇒ αa ∈ U.

L-u ý rằng các yêu cầu i) và ii) trong định lí trên có thể thay bằng mệnh đề sau:

Ví dụ 3.1.2 (Về các không gian véctơ con)

1 Tập hợp gồm một véctơ 0 hoặc chính không gian véctơ V là hai không

gian con tầm th-ờng của không gian véctơ V

2 Tập hợp các véctơ hình học song song với một mặt phẳng cố định (hoặcsong song với một đ-ờng thẳng cố định) là không gian con

3 áp dụng định lí 3.1.1 ta thấy ngay V1 = {(x, y, z) ∈ R3 | 2x + 3y − 4z = 0}

là không gian con của R3, V2 = {(x, y, z, 0) | x, y, z ∈ R}là không gian concủa R4

Nh- vậy trong không gian véc tơ thực R3 với các phép toán thông th-ờng:

(x , x , x ) + (y , y , y ) = (x + y , x + y , x + y )

α(x1, x2, x3) = (αx1, αx2, αx3), α ∈ R

ngoài các không gian con tầm th-ờng, các đ-ờng thẳng đi qua gốc tọa độ

và các mặt phẳng đi qua gốc tọa độ là các không gian con của R3 Đồngthời ta dễ dàng chỉ ra điều ng-ợc lại mọi không gian con bất kì của R3 chỉ

có thể là không gian con tầm th-ờng hoặc các đ-ờng thẳng, mặt phẳng điqua gốc tọa độ

4 Tập hợp các ma trận chéo n ì n là không gian con của không gian véctơ gồm các ma trận vuông cấp n.

3.2 Cơ sở và chiều của không gian tuyến tính

Định nghĩa 3.2.1 Cho các véctơ u1, u2, , un trong không gian véctơ V Ta nói véctơ

α1u 1+ α2u 2+ ã ã ã + αnu n, với α1, α2, , αn∈ K , là một tổ hợp tuyến tính của các véctơ u1, u2, , un.

Ví dụ véctơ 2−→a + 3−→b là một tổ hợp tuyến tính của hai véctơ −→a và −→b Véc tơ

−

→

a + 3−→b − 2−→c là một tổ hợp tuyến tính của 3 véctơ −→a ,−→b ,−→c

Cho B = {b1, b2, , bk} là hệ gồm k véctơ trong không gian tuyến tính V Ta

đ-a vào kí hiệu L(b 1, b2, , bk)hayL(B)là tập hợp toàn bộ các tổ hợp tuyến

tính của k véctơ đó

L(B) = {α1b 1 + α2b 2 + ã ã ã + αkb k | αi ∈ K, ∀i = 1, k}

Ta sẽ chứng minh định lí sau

Định lí 3.2.1 L(B) là không gian con của không gian véctơ V

Chứng minh Thật vậy, với x, y ∈ L(B)

x = α1b1+ α2b2+ + αkbk

y = β1b1+ β2b2 + + βkbk

Khi đó với mọi α, β ∈ K, véctơ

αx + βy = (αα + ββ )b + (αα + ββ )b + + (αα + ββ )b

cũng là một tổ hợp tuyến tính của các véctơ b 1, b2, , bk Nói cách khác αx +

βy ∈ L(B), áp dụng định lí 3.1.1 ta có L(B) là không gian con sinh bởi các

véctơ b 1, b2, , bk 

Một cách tổng quát gọi A ⊂ V là tập hợp bất kì các véctơ của không gian véctơ V Kí hiệu

L(A) = {α1u 1 + α2u 2+ ã ã ã + αnu n | n ∈ N, ui ∈ A, αi ∈ K ∀i = 1, n}

là tập hợp toàn bộ các tổ hợp tuyến tính của các véctơ trong A Hoàn toàn t-ơng

tự nh- trên, L(A) cũng là không gian con của không gian véctơ V

Đặc biệt {u1, u2, , uk ∈ V } là tập sinh của không gian véctơ V nếu mọi véctơ

trong V đều là một tổ hợp tuyến tính nào đó của các véctơ u1, u2, , uk

∀u ∈ V ⇒ ∃αi ∈ K, i = 1, k : u = α1u 1+ α2u 2+ ã ã ã + αku k.

Nếu A là hệ các véctơ A = {u1, u2, , uk} khi đó ta nói A là hệ sinh (thay cho

cụm từ tập sinh) của không gian véctơ L(A) Chú ý rằng ta cần phân biệt hệ véctơ với tập hợp các véctơ: các véctơ trong hệ có thể bằng nhau chẳng hạn hệ

B gồm n véctơ a

B = {a, a, , a}

trong khi tập hợp các véctơ thuộc hệ B chỉ có duy nhất một phần tử.

Ta có nhận xét rằngL(A)làkhông gian con nhỏ nhất trong V chứa tất cả các

véctơ của A Mỗi không gian véctơ có vô số tập sinh (xem ví dụ 3.2.2) Không gian véctơ V cũng đồng thời là tập sinh của chính nó Tuy nhiên trong giáo trình

này ta th-ờng quan tâm đến các tập sinh hữu hạn phần tử

Định nghĩa trên về hệ sinh có thể diễn đạt một cách khác

Các véctơ {u1, u2, , uk} thuộc không gian véc tơ V là hệ sinh của một không gian con U nào đó trong V khi và chỉ khi ph-ơng trình

x1u 1 + x2u 2 + ã ã ã + xku k = u

luôn có nghiệm xi ∈ K, i = 1, k với mọi u ∈ U.

Khẳng định trên chứng tỏ L(u 1, u2, , uk) = U Ng-ời ta th-ờng sử dụng

nó để chứng minh một hệ véc tơ nào đó là hệ sinh

Ví dụ 3.2.2 (Về hệ sinh của không gian véctơ)

1 Ba véctơ (tự do) không đồng phẳng {−→a ,−→b ,−→c } là hệ sinh của không giancác véctơ hình học Thật vậy, trong hình học giải tích, chúng ta đã biếtmọi véc tơ −→u có thể phân tích theo 3 véctơ không đồng phẳng

, , xn, } là tập sinh của không gian

gồm tất cả các đa thức hệ số thực Thật vậy, không gian con sinh bởi P

L(P ) = {α0ã 1 + α1x + ã ã ã + αnxn | n ∈ N, αi ∈R, ∀i = 0, n}

gồm tất cả các đa thức hệ số thực

3 T-ơng tự các đa thức {1, x, x2

, , xk} là hệ sinh của không gian các đa

thức có bậc không v-ợt quá k.

Định nghĩa 3.2.3 Hệ n véctơ {u1, u2, , un} của không gian véctơ V đ-ợc gọi

là phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại trong K các số α1, α2, , αn không đồng thời bằng 0 sao cho

α1u 1+ α2u 2+ ã ã ã + αnu n = 0.

Nói cách khác ph-ơng trình α1u 1+ α2u 2+ ã ã ã + αnu n = 0 có nghiệm không tầm th-ờng α1, α2, , αn trong K.

Một hệ n véctơ không phụ thuộc tuyến tính đ-ợc gọi là hệ độc lập tuyến tính Nói

cách khác hệ {u1, u2, , un} độc lập tuyến tính nếu ph-ơng trình véctơ

α1u 1+ α2u 2+ ã ã ã + αnu n = 0

chỉ có nghiệm tầm th-ờng α1 = α2= ã ã ã = αn= 0.

Chú ý rằng ta có thể mở rộng cho khái niệm một hệ (hoặc tập) vô hạn các véctơ

độc lập tuyến tính Tập A gồm các véctơ nào đó trong không gian tuyến tính

V đ-ợc gọi là độc lập tuyến tính nếu hữu hạn véctơ bất kì trong A cũng độc lập

tuyến tính

Nhận xét rằng nếu bớt đi một số véctơ từ hệ các véctơ độc lập tuyến tính, hệ còn lại vẫn độc lập tuyến tính, hoặc diễn đạt một cách khác t-ơng đ-ơng nếu thêm vào hệ phụ thuộc tuyến tính các véctơ bất kì, hệ mới vẫn phụ thuộc tuyến tính.

Thật vậy giả sử A = {b1, b2, , bn}phụ thuộc tuyến tính, xét hệ B gồm m véctơ

và B chứa mọi véctơ của A (n 6 m)

Ví dụ 3.2.3

1 Trong R3 xét hệ các véctơ

B = {b1 = (1, 2, 3), b2 = (−1, 1, −2), b3 = (0, 3, 1)}.

Hệ B phụ thuộc tuyến tính vì b1+ b2−b3 = 0.

2 Nếu B là hệ các véctơ bất kì trong không gian tuyến tính V và B chứa

véctơ 0, khi đó B phụ thuộc tuyến tính.

Thật vậy do véctơ 0 ∈ B, ta có ngay một tổ hợp tuyến tính 1 ã 0 = 0 với

Thật vậy nếu 3 véctơ−→a ,−→b ,−→c đồng phẳng thì chúng phụ thuộc tuyến tính

và do đó bổ sung thêm véctơ −→d hệ vẫn phụ thuộc tuyến tính Tr-ờng hợp

3 véctơ −→a ,−→b ,−→c không đồng phẳng, trong hình giải tích ta đã biết khi đóvéctơ −→d có thể phân tích theo 3 véctơ −→a ,−→b ,−→c

Định lí 3.2.2 Một hệ véctơ phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi tồn tại trong nó

một véctơ là tổ hợp tuyến tính của các véctơ còn lại.

Chứng minh Gọi B = {b1, b2, , bn} là hệ các véctơ phụ thuộc tuyến tính Khi

đó tồn tại các số α1, α2, , αn không đồng thời bằng 0 thỏa mãn

Vậy bk là tổ hợp tuyến tính của các véctơ còn lại trong hệ B.

Ng-ợc lại, không làm mất tính tổng quát giả sử b1 là tổ hợp tuyến tính của các

véctơ b2, ã ã ã , bn

b1 = β2b2 + β3b3+ + βnbn.

Ta có 1 ã b1− β2b2 − β3b3− ã ã ã − βnbn = 0, suy ra B phụ thuộc tuyến tính 

Ví dụ 3.2.4 (Về hệ phụ thuộc tuyến tính, độc lập tuyến tính)

1 Hệ 2 véctơ b và α b, α ∈ K phụ thuộc tuyến tính.

2 Hệ ba véctơ {b, a + b, a − b} phụ thuộc tuyến tính vì

(−2) ã b + (a + b) − (a − b) = 0.

3 Một hệ n véctơ trong đó có 2 véctơ giống nhau (cùng bằng a)

a, b2, ã ã ã , bk−1, a, bk+1, ã ã ã , bn

là hệ phụ thuộc tuyến tính

4 Trong không gian R2, hai véctơ a = (1, 0) và b = (0, 1) độc lập tuyến

tính Trong R3, ba véctơ {e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1)} độclập tuyến tính

5 Xét hệ ph-ơng trình đại số tuyến tính AX = B hoặc viết chi tiết hơn

Hệ ph-ơng trình AX = B cũng có thể viết d-ới dạng

x1a1+ x2a2+ ã ã ã + xnan = b.

Do vậy nếu hệ ph-ơng trình có nghiệm, b là tổ hợp tuyến tính của các véctơ a1, a2, , an Khi đó theo định lí 3.2.2 hệ véctơ {a1, a2, , an, b} phụthuộc tuyến tính

Định nghĩa 3.2.4 Trong không gian véctơ V một hệ các véctơ {u1, u2, , un}

đ-ợc gọi là cơ sở của V nếu chúng là hệ sinh của V và độc lập tuyến tính.

Tổng quát hơn nếu tập hợp các véctơ A nào đó trong không gian tuyến tính V vừa là tập sinh của V vừa độc lập tuyến tính, khi đó ta cũng nói A là cơ sở của

V Nh- vậy cơ sở của không gian tuyến tính có thể chứa vô hạn phần tử Ng-ời

ta chứng minh đ-ợc rằng mọi không gian tuyến tính đều tồn tại ít nhất một cơ

sở Trong phạm vi giáo trình này ta chỉ xét các hệ cơ sở gồm hữu hạn véctơ

Từ định nghĩa trên ta suy rađiều kiện cần và đủ để hệ các véctơ {u1, u2, , un}

Ví dụ 3.2.5 (Về cơ sở của không gian véctơ)

1 Trong không gian véctơ hình học ba véctơ không đồng phẳng bất kì là hệcơ sở của không gian đó Đặc biệt {−→i ,−→j ,−→k } là một cơ sở

2 Trong không gian Rn, các véctơ

e 1 = (1, 0, 0, , 0), e2= (0, 1, 0, , 0), , en= (0, 0, , 0, 1)

Mặt khác trong ví dụ 3.2.2 ta đã biết hệ B là hệ sinh của không gian các

đa thức có bậc không v-ợt quá n Suy ra B = {1, x, x2, , xn} là cơ sở củakhông gian đó

4 Trong không gian các ma trận cùng kiểu, tập các ma trận mà mỗi ma trậnchỉ có duy nhất một phần tử 1 đứng trong nó, các phần tử còn lại bằng 0

là một cơ sở Chẳng hạn trong không gian các ma trận cùng kiểu 3 ì 2, kíhiệuM3ì2 các ma trận

Một không gian véctơ có thể có nhiều hệ cơ sở Tuy nhiên ta có định lí sau

Định lí 3.2.3 Số véctơ trong hai cơ sở bất kì của không gian véctơ V luôn bằng

nhau.

Nh- vậy số l-ợng các véctơ trong các hệ cơ sở khác nhau là nh- nhau, ng-ời tagọi số đó làchiều của không gian véctơ V , kí hiệu dim V

Để chứng minh định lí ta cần một bổ đề sau

Bổ đề 3.2.1 Cho B = {x1, x2, , xn} và B0

= {y1, y2, , ym} là hai hệ véctơ trong không gian tuyến tính V Nếu mọi vectơ trong B đều là tổ hợp tuyến tính của các vectơ trong B0và giả thiết số l-ợng các véctơ trong B nhiều hơn số l-ợng các véctơ trong B0

n > m thì B là hệ phụ thuộc tuyến tính.

Từ bổ đề trên ta có thể nói trong vô số tổ hợp tuyến tính của m vectơ có không quá m vectơ độc lập tuyến tính.

Chứng minh bổ đề Ta chứng minh bằng quy nạp theo số vectơ của B0

Thật vậy, với m = 1, tức là hệ B0 chỉ gồm một véctơ B0= {y}, từ giả thiết suy

ra các véctơ xi trong B bằng bội lần véctơ y

xi = αiy ∀i = 1, n ⇒ B phụ thuộc tuyến tính

Giả sử bổ đề đúng với m − 1, ta xét hệ B0 gồm m vectơ và n > m

• Nếu α11 = α12 = = α1n = 0, thì các véctơ trong B chỉ là tổ hợp tuyến tính

của m − 1 vectơ {y2, , ym} Theo giả thiết quy nạp hệ véctơ B phụ thuộc

tuyến tính

•Tồn tại ít nhất một trong các số α11, α12, , α1n6= 0 Không làm mất tính tổng

quát giả sử α11 6= 0 Xét hệ (n − 1) vectơ A = {x0

Từ (3.1) ta thấy mỗi véctơ trong hệ A là tổ hợp tuyến tính của (m − 1) vectơ

{y , , y } của B0 áp dụng giả thiết quy nạp cho hệ A gồm (n − 1) véctơ

Vậy B = {x1, x2, , xn} phụ thuộc tuyến tính 

Chứng minh định lí 3.2.3: Số véctơ trong hai cơ sở bất kì là bằng nhau.

Thật vậy, giả sử B = {b1, b2, , bm} và C = {c1, c2, , cn} là hai cơ sở của

V Ta chứng minh bằng phản chứng, giả sử m 6= n, không làm mất tính tổng quát ta có quyền giả thiết m > n.

Do C là hệ sinh nên các véctơ trong B là tổ hợp tuyến tính các véctơ trong C Theo bổ đề 3.2.1 hệ B phụ thuộc tuyến tính, điều đó vô lí với giả thiết B là hệ cơ sở của không gian V 

Ví dụ 3.2.6

1 Cơ sở chính tắc của không gian véctơ thực Rn là hệ các véc tơ

e 1= (1, 0, 0, , 0), e2= (0, 1, 0, , 0), , en= (0, 0, , 0, 1).

Suy ra chiều của không gian dim Rn= n.

2 Ta đã biết {1, x, x2} là hệ cơ sở của không gian các đa thức có bậc khôngv-ợt quá 2 Vậy chiều của không gian đó dim P2[x] = 3.

3 Không gian M2ì2 gồm các ma trận vuông cấp 2 có một hệ cơ sở

Từ định lí 3.2.3, ta suy ra một kết quả quan trọng

Định lí 3.2.4 Trong không gian véctơ n chiều V mọi hệ m véctơ độc lập tuyến

tính với m < n đều có thể bổ sung thêm để trở thành hệ cơ sở của V

Chứng minh Giả sử B = {b1, b2, , bm}là hệ m véctơ độc lập tuyến tính trong không gian n chiều V Do m < n, B không là hệ sinh của không gian V , suy ra không gian con sinh bởi hệ B là không gian con thực sự của V

Giả sử ng-ợc lại, khi đó B∗ không là hệ sinh của V , lập luận nh- trên ta suy

ra tồn tại một véctơ b∗

∈ V sao cho hệ n + 1 véctơ

b

B = {b1, b2, , bn, b∗}

độc lập tuyến tính Điều đó mâu thuẫn với bổ đề 3.2.1, theo bổ đề đó hệ n + 1

véctơ bB phụ thuộc tuyến tính 

Ví dụ 3.2.7

1 Trong không gian véctơ hình học V hệ ba véctơ

{−→i −−→j + 2−→k ,−→i + 3−→j −−→k ,−→i −−→k }

là một cơ sở của V

Thật vậy, ba véctơ kể trên không đồng phẳng Trong hình học giải tích

ta đã biết mọi véctơ trong không gian đều có thể phân tích theo 3 véctơ

không đồng phẳng, do đó chúng là một hệ sinh của không gian V Mặt

khác hệ 3 véctơ không đồng phẳng bất kì độc lập tuyến tính (xem ví dụ

3.2 3), suy ra chúng là cơ sở của V và dim V = 3.

2 Trong không gian R4, hiển nhiên

chỉ có nghiệm tầm th-ờng x1 = x2 = x3 = x4 = 0 Suy ra không gian con

sinh bởi B, không gianL(B)có chiều bằng 3 Mặt khácL(B) ⊂ V & R4,

nên không gian V có chiều bằng 3 và hệ véctơ B = {b1 = (4, 0, 0, −1), b2 =

(0, 2, 0, −1), b3 = (0, 0, 4, −3)} là cơ sở của nó

3 Hệ các đa thức {p1 = 1, p2 = x + 1, p3 = x2+ x + 1} là cơ sở của P2[x],

không gian các đa thức có bậc không v-ợt quá 2

Thật vậy do dim P2[x] = 3, ta chỉ cần chứng minh các đa thức {p1, p2, p3}

Việc chứng minh E là không gian tuyến tính trên R đơn giản chỉ là

việc kiểm tra các yêu cầu trong định nghĩa 3.1.1 về không gian tuyến tính.Chú ý rằng phép cộng và phép nhân ngoài ở đây không quen thuộc nh-

trong các ví dụ khác Véc tơ (1, 0) ∈ E là phần tử trung hoà (véc tơ 0) của

có nghiệm với mọi β ∈ R và mọi α > 0 (x = −β, y = log2α)

Vậy {a = (1, 1), b = (2, 0)} là cơ sở của E và dim E = 2.

3.3 Tọa độ vectơ và phép đổi cơ sở

Chứng minh điều kiện đủ Do giả thiết mọi véctơ trong V đều có một biểu diễn

duy nhất theo các véctơ ui, nh- vậy từ hệ thức α1u 1 + α2u 2 + ã ã ã + αnu n = 0

và hệ thức 0 ã u 1 + 0 ã u 2 + ã ã ã + 0 ã u n = 0, ta suy ra

α1 = α2 = = αn= 0.

Nói cách khác hệ các véctơ {u 1, u2, , un} độc lập tuyến tính Mặt khác theo

giả thiết mọi véctơ trong V đều là tổ hợp tuyến tính của các véctơ ui, suy ra hệ

đó là hệ sinh của V Vậy hệ {u1, u2, , un} là cơ sở của V 

Nhận xét rằng tọa độ của cùng một véctơ trong các cơ sở khác nhau là khácnhau, thậm chí khi hoán vị các véc tơ trong hệ cơ sở, tọa độ của véctơ cũng thay

đổi theo

Chú ý rằng kí hiệu x(x1, x2, , xn) để nói (x1, x2, , xn) là tọa độ của véctơ

x Để thuận tiện cho nhiều tính toán sau này, ng-ời ta đ-a ra kí hiệu [x] là ma trận cột các tọa độ của véctơ x trong cơ sở đã cho,

để chỉ rõ cột tọa độ của x trong cơ sở B.

Giả sử trong cơ sở B biết (x1, x2, , xn) là tọa độ của x và (y1, y2, , yn) là

Nói cách khác tọa độ của tổng hai véctơ bằng tổng các tọa độ của hai véctơ đó

(trong cùng cơ sở B) Ta cũng có thể viết khẳng định đó d-ới dạng các cột tọa

độ

[x + y]B = [x]B+ [y]B

[αx]B= α[x]B.

Tọa độ của p = ax2+ bx + c trong cơ sở B2 là (a, b, c).

Tọa độ của p = ax2+ bx + c trong cơ sở B3 là (b, c, a).

Ta viết các ma trận cột tọa độ của P = ax2

+ bx + c trong các cơ sở khácnhau

[p]B1 =





c b a



0 1

0 0

+ 3

(a) Trong cơ sở chính tắc e 1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1) tọa độ

4 Dễ dàng chứng minh đ-ợc không gian con sinh bởi các đa thức 1, x, x2 và

không gian con sinh bởi các đa thức 1, x + 1, (x + 1)2 trùng nhau

L(1, x, x2) =L 1, x + 1, (x + 1)2

đồng thời B = {1, x, x2} và B0= {1, x + 1, (x + 1)2} là hai cơ sở của không

gian con đó Tọa độ của (x + 1)2 trong cơ sở B là (1, 2, 1) trong khi tọa độ của (x + 1)2 trong cơ sở B0 bằng (0, 0, 1).

3.3.2 Đổi cơ sở

Để xây dựng công thức tính tọa độ của cùng một véctơ trong các cơ sở khácnhau, ta đ-a vào khái niệmma trận chuyển cơ sở.

Giả sử trong không gian n chiều V cho hai cơ sở E = {e1, e2, , en} và F =

{f1, f2, , fn}, mỗi véctơ fi trong cơ sở F đ-ợc biểu diễn tuyến tính theo các véctơ

ej trong cơ sở E

fi =

nXj=1

Cột thứ i của ma trận trên là cột tọa độ [fi]E trong cơ sở E Ta sẽ chứng minh

ma trận chuyển cơ sở TF từ E sang F khả nghịch và ma trận nghịch đảo của nó

tjiej =

nXj=1

tji

nXk=1

ukjfk =

nXk=1

nXj=1

Pn j=1ukjtji = 0 nếu k 6= i

Các đẳng thức trên có thể viết d-ới dạng ma trận (uji)(tji) = In, nói cách khác

các ma trận chuyển cơ sở từ E sang F và từ F sang E là nghịch đảo của nhau.

Kí hiệu [u]E và [u]F là ma trận các toạ độ của cùng một véctơ u ∈ V trong

aiei =

nXi=1

bifi

Định lí 3.3.2 Toạ độ của véctơ u trong cơ sở E = {e1, e2, , en} và trong cơ sở

F = {f1, f2, , fn} đ-ợc liên hệ với nhau bằng hệ thức

TEF[u]F = [u]E hay

Chứng minh Ta có các đẳng thức

u =

nXj=1

ajej =

nXi=1

bifi =

nXi=1

bi

nXj=1

tjiej =

nXj=1

nXi=1

i=1

tjibi với mọi j = 1, 2, , n hay [u]E = TEF[u]F 

Hệ thức giữa [u]E và [u]F trong định lí th-ờng đ-ợc gọi là công thức đổi cơ

sở của cùng một véctơ trong các cơ sở khác nhau.

Ví dụ 3.3.2

1 Gọi E = {e1= (1, 0), e2 = (0, 1)} là cơ sở chính tắc của R2 và trong khônggian véctơ R2 cho một cơ sở F = {f1 = (1, 2), f2 = (3, 7)} Hãy tìm ma

trận chuyển cơ sở từ E sang F Với x = (3, 4) là một véctơ trong R2, hãy

tìm toạ độ của x trong cơ sở F

Vậy toạ độ của x trong cơ sở F



=

9

sở trong R3

Giả sử (α1, α2, α3)là tọa độ của x = (x1, x2, x3) ∈ R3 trong cơ sở C

x = α c + α c + α c = (α + α + α , α + α , α )

Một cách khác để tính tọa độ của x trong cơ sở C là áp dụng công thức

đổi tọa độ trong định lí 3.3.2 Kí hiệu E là cơ sở chính tắc trong R3 Hiển

nhiên ma trận chuyển cơ sở từ E sang C

Nói cách khác

u = x2+ 2x + 2 = −7(x2− 2x − 2) + 16(2x2+ 3x) − 12(2x2 + 5x + 1).

Bạn đọc dễ dàng kiểm tra lại đẳng thức trên

4 Xét không gian P2[x] = {ax2 + bx + c | a, b, c ∈ R} và các tập hợp B = {1, x, x2}, C = {3, (x − 1), (x − 1)2} Chứng minh rằng C là cơ sở và tìm

tọa độ của p = x2 trong cơ sở C

13

13

13

13

3.3.3 Hạng của hệ véctơ

Định nghĩa 3.3.1 Trong không gian V cho hệ n véctơ B = {b1, b2, , bn} Ta nói hạng của hệ bằng k, kí hiệu r(B) = k, nếu tồn tại k véctơ độc lập tuyến tính trong B và mọi hệ con nhiều hơn k véctơ của B đều phụ thuộc tuyến tính.

Ta quy -ớc nếu hệ véctơ chỉ gồm các véctơ không, hạng của hệ bằng 0 Giả sử

hạng của hệ véctơ B bằng k, không làm mất tính tổng quát, ta có thể coi k vectơ

đầu tiên b1, b2, , bk của B độc lập tuyến tính Do không tồn tại nhiều hơn

k véctơ độc lập tuyến tính trong B, mọi véctơ khác của B đều là tổ hợp tuyến tính của các véctơ này Nói cách khác mọi véctơ của B đều thuộc không gian

con sinh bởi b1, b2, , bk

B ⊂L(b1, b2, , bk).

Suy ra L(B) =L(b1, b2, , bk) và {b1, b2, , bk} là cơ sở của không gian

L(b1, b2, , bk), đồng thời chiều của L(B) bằng k

dimL(B) = k.

Vậy ta có định lí

Định lí 3.3.3 Trong không gian V cho hệ véctơ B = {b1, b2, , bn} Hạng của

hệ véctơ đó bằng số chiều của không gian L(B) sinh bởi hệ B.

Nh- vậy ta có thể nói hạng của hệ véctơ là số l-ợng tối đa các véctơ độc lậptuyến tính của hệ và cũng bằng số chiều của không gian con sinh bởi hệ đó

Ví dụ 3.3.3

1 Các véctơ −→a ,−→b ,−→c ,−→d là 4 véctơ đồng phẳng (trong không gian các véctơhình học), trong đó có 2 véctơ không đồng ph-ơng, khi đó hạng của hệvéctơ {−→a ,−→b ,−→c ,−→d } bằng 2

Khi đó hạng của ma trận A bằng hạng của hệ véctơ {u1, u2, , um} và cũng bằng

số chiều của không gian conL(u 1, u2, , um).

Chứng minh Giả sử hạng của A bằng r(A) = r, không làm mất tính tổng

quát giả thiết rằng định thức con cấp r nằm ở r hàng đầu và r cột đầu của A

khác 0

Dr =

Ta sẽ chứng minh các véctơ {u 1, u2, , ur} (t-ơng ứng với r cột của định thức

trên) độc lập tuyến tính Thật vậy ph-ơng trình sau chỉ có nghiệm tầm th-ờng

ã0

Ta sẽ chứng minh tiếp mọi véctơ uk trong hệ {u1, u2, , um} đều phụ thuộc

tuyến tính vào r véctơ đầu của hệ Thật vậy với mọi i = 1, 2, , m và mọi

k = 1, 2, , n định thức con cấp r + 1 sau luôn có giá trị bằng 0

... nghĩa 3. 3 .3 Cho A B hai không gian không gian vectơ V Nếu

A ∩ B = {0} A + B ? ?-? ??c gọi tổng trực tiếp A B, kí hiệu A ⊕ B.

Trong ví dụ 3. 3.5 trên, với không gian. .. class="text_page_counter">Trang 32

2 Bổ sung thêm vào ma trận A ví dụ cột bất kì, chẳng hạn

3. 3.4 Tổng tổng trực tiếp không gian con

Định... nghĩa 3. 3.2 Cho A, B / V hai không gian không gian vectơ V

Đặt

A + B = {z = x + y | x ∈ A, y ∈ B}

Khi đó, A + B ? ?-? ??c gọi tổng hai khơng gian