Các toán tử liên hợp, tự liên hợp, compact, và phổ của chúng

Trong học phần Giải tích hàm, sinh viên chỉ mới đợc cung cấp một số kiến thức cơ bản của toán tử tuyến tính liên tục.. Mục 5, đầu tiên dành cho việc trình bày một số khái niệm và tính ch

Môc lôc Lêi më ®Çu ……… 2

§1 KiÕn thøc chuÈn bÞ ………3

§2 To¸n tö liªn hîp ………6

§3 To¸n tö tù liªn hîp trong kh«ng gian Hilbert ……… 11

§4 To¸n tö compact ……… 14

§5 Phæ cña to¸n tö ………19

5.1 Kh¸i niÖm vµ tÝnh chÊt c¬ b¶n cña phæ ……… 19

5.2 Phæ cña to¸n tö compact ………23

5.3 Phæ cña to¸n tö liªn hîp ……… 28

5.4 Phæ cña to¸n tö tù liªn hîp ……….30

KÕt luËn ……… 35

Tµi liÖu tham kh¶o ……… 36

Lời mở đầu

Lý thuyết toán tử tuyến tính và lý thuyết phổ đóng vai trò quan trọng trong Giải tích hàm và nhiều ngành toán học khác, vì thế nó đợc nhiều nhà toán học quan tâm Trong học phần Giải tích hàm, sinh viên chỉ mới đợc cung cấp một số kiến thức cơ bản của toán tử tuyến tính liên tục Mục đích của khoá luận

là tìm hiểu, nghiên cứu các tính chất cơ bản của các toán tử liên hợp, tự liên

hợp, toán tử compact và phổ của chúng Với mục đích đó, dựa vào các tài liệu

tham khảo, chúng tôi tìm hiểu các khái niệm và các tính chất cơ bản, đa ra các

ví dụ minh hoạ, chứng minh chi tiết một số mệnh đề đã có trong các tài liệu Ngoài ra, chúng tôi cũng chứng minh một số mệnh đề mà chúng là các bài tập ở trong các tài liệu tham khảo hoặc là các nhận xét do chúng tôi đa ra, đó là Nhận xét 2.4, Ví dụ 2.5, Mệnh đề 3.3, Mệnh đề 4.8, Ví dụ 5.1.5, Định lí 5.1.7, Mệnh

đề 5.2.8

Khoá luận đợc viết thành 5 mục

Mục thứ nhất trình bày một số kiến thức cơ bản cần dùng trong khoá luận Mục 2, 3, 4 lần lợt trình bày các khái niệm và tính chất cơ bản của các

toán tử liên hợp, toán tử tự liên hợp, toán tử compact.

Mục 5, đầu tiên dành cho việc trình bày một số khái niệm và tính chất cơ bản của phổ của toán tử tuyến tính liên tục nói chung, sau đó trình bày một số kết quả cơ bản về phổ của toán tử compact, toán tử liên hợp và toán tử tự liên hợp

Qua đây, tôi xin chân thành cảm ơn thầy giáo PGS TS Đinh Huy Hoàng, ngời đã trực tiếp hớng dẫn tôi hoàn thành khoá luận này Tôi xin gửi lời cảm ơn

đến các thầy giáo, cô giáo trong Khoa toán, đặc biệt là các thầy giáo, cô giáo trong

tổ giải tích đã quan tâm và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập

Do thời gian và năng lực còn hạn chế, nên khoá luận không tránh khỏi thiếu sót Tác giả rất mong nhận đợc sự góp ý của các thầy giáo cô giáo và các bạn

Vinh, tháng 5 năm 2007

Tác giả

Đ1 kiến thức chuẩn Bị

Trong mục này, ta nhắc lại một số khái niệm và kết quả đã biết cần dùng cho các mục sau

1.1 Định nghĩa Cho E là một K - không gian vectơ Một chuẩn trên E là một

hàm x  x từ E vào R thoả mãn các điều kiện sau với mọi x, y ∈ E, mọi

Không gian Banach là không gian định chuẩn đầy đủ ( đối với mêtric sinh bởi chuẩn )

1.2 Định nghĩa Giả sử E và F là các không gian định chuẩn trên cùng một ờng K Kí hiệu l ( E, F) là không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào

tr-F L ( E, F ) là không gian vectơ con của K - không gian vectơ l ( E, F ) tất cả các ánh xạ tuyến tính từ E vào F Với mỗi f ∈ l ( E, F ), đặt

f = inf {k: f( )x ≤k x với mọi x∈E}

Đại lợng f đợc gọi là chuẩn của ánh xạ tuyến tính f

1.3 Định lí Với mọi f ∈ l ( E, F )

f = ( )

x

x f

1.4 Định lí Nếu F là không gian Banach thì không gian l ( E, F ) là Banach.

1.5 Định lí (Định lí Hahn - Banach ) Giả sử E là một không gian vectơ phức,

p là một nửa chuẩn trên E Nếu f là một phiếm hàm tuyến tính trên không gian con F của E sao cho f ( )x ≤p( )x với mọi x ∈ F thì tồn tại phiếm hàm tuyến tính g xác định trên E sao cho

g F = f và g( )x ≤p( )x với mọi x ∈ E.

1.6 Hệ quả ( Hệ quả của Định lí Hahn - Banach ) Giả sử F là một không gian

vectơ con của không gian định chuẩn E và vectơ v ∈ E \ F sao cho

1.7 Hệ quả ( Hệ quả của Định lí Hahn - Banach ) Với mọi vectơ v trong

không gian định chuẩn E, v ≠ 0, tồn tại một phiếm hàm tuyến tính liên tục f trên E sao cho f = 1 và f(v) = v

1.8 Định lí ( Định lí ánh xạ mở ) Một ánh xạ tuyến tính liên tục f từ một

không gian Banach E lên một không gian Banach F là mở, tức là với mọi tập

mở U ⊂ E, f(U) là tập mở trong F.

1.9 Hệ quả ( Định lí Banach ) Nếu f là song ánh tuyến tính từ không gian

Banach E lên không gian Banach F và F liên tục thì F là phép đồng phôi.

1.10 Định nghĩa Không gian vectơ E cùng với một tích vô hớng trên nó gọi là

không gian tiền Hilbert Có thể thấy rằng tơng ứng

x  x = (x x) , x ∈ Exác định một chuẩn trên E Nh vậy mọi không gian tiền Hilbert là không gian

định chuẩn với chuẩn sinh bởi tích vô hớng Nếu với chuẩn này không gian tiền Hilbert E là đầy đủ thì E đợc gọi là không gian Hilbert

1.11 Định lí ( Riesz ) Một không gian định chuẩn E là compact địa phơng

nếu và chỉ nếu nó có chiều hữu hạn.

1.12 Định lí ( Định lí Riesz về dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên

tục trên không gian Hilbert ) Giả sử E là không gian Hilbert Khi đó

(i) Với mọi a ∈ E tơng ứng x  (x a) xác định phiếm hàm tuyến tính liên tục trên E với chuẩn là a

(ii) Ngợc lại nếu f là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên E, thì tồn tại duy nhất a ∈ E để

Đ2 toán tử liên hợp

Trong mục này ta luôn giả sử E , F là các không gian định chuẩn trên

tr-ờng K.

2.1 Định nghĩa Ta kí hiệu E* = l ( E, K ) và gọi nó là không gian liên hợp

của E, E** = l ( E*, K ) là không gian liên hợp thứ hai của E

ϕ ϕ

1

Mặt khác theo hệ quả của định lí Hahn - Banach, với mọi x ∈ E , x ≠ 0, tồn tại

f0 ∈ E* sao cho f 0 = 1, f0 (x) = x Do đó ϕ(x) (f0) = x Suy ra

f

ϕ ϕ

Từ (1) và (2) suy ra ϕ ( )x = x Vậy ϕ là một phép đẳng cự tuyến tính

và do đó ánh xạ ϕ từ E lên ϕ(E) là đẳng cấu Vì vậy mỗi x ∈ E đợc đồng

nhất với một phần tử của E**, tức là một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên E*, nghĩa là

E ≡ ϕ( )E ⊂ E**

2.3 Định nghĩa Giả sử A ∈ l ( E, F ) Khi đó ta gọi toán tử

A*: F* → E*

f  A*( f )thoả mãn

< x, A*f > = < Ax, f > với mọi x ∈ E (1)

là toán tử liên hợp của A, trong đó

Nên

A

2.5 Ví dụ Trong ví dụ này ta sẽ xét toán tử liên hợp trong một trờng hợp đặc

biệt, khi E = F và E là không gian Hilbert

Giả sử E là không gian Hilbert và A ∈ l ( E, F ) Chúng ta đã biết rằng, theo

Định lí Riesz về dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian Hilbert, có thể đồng nhất mỗi f ∈ E*với y ∈ E sao cho

f (x) = ( x y ), x ∈ E.

Theo định nghĩa của A* ta có

A*f (x) = f (Ax) = ( Ax y ), x ∈ E Vì A*f ∈ E* nên ta đồng nhất A*f với z ∈ E sao cho

Theo hệ quả của Định lí Hahn - Banach, tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục f0

0 0

0 0

0

A A

A A

A A

A

f

f f

f f

( Có thể xem chứng minh Mệnh đề này trong [3] ).

2.8 Mệnh đề Giả sử A : E → F là một toán tử tuyến tính liên tục,

Chứng minh Với mọi x ∈ E, ta có ψ (Ax) và A**(ϕ(x)) là hai phiếm hàm

tuyến tính trên F* Với mọi f ∈ F**, ta có

ψ(Ax) f = f (Ax) (1),

A**(ϕ(x)) f = (ϕ(x) A*) f = ϕ(x) ( A*f ) = A*f (x) = A*(f (x)) = f (Ax) (2)

Từ (1) và (2) suy ra ψ (Ax) =A**(ϕ(x)) với mọi x ∈ E , tức là

ψo A = A**

oϕ

Vậy A** E = A

2.9 Mệnh đề Giả sử A ∈ l ( E, F ) Khi đó

(i) A đẳng cấu thì A* : F* → E* đẳng cấu và (A*) - 1 = (A - 1)* ,

(ii) Nếu E là không gian Banach và A* : F* → E* là đẳng cấu thì F là không gian Banach và A là đẳng cấu.

( Có thể xem chứng minh Mệnh đề này trong [5] )

Đ3 toán tử tự liên hợp trong không gian hilBert

Trong mục này ta luôn giả thiết E là không gian Hilbert và viết l (E) thay cho l ( E, E ) ở ví dụ 2.5 ta đã định nghĩa toán tử liên hợp của A ∈ l (E) là toán tử tuyến tính đơc kí hiệu là A* : E → E sao cho

( Ax y ) = ( x A*y ) với mọi x, y ∈ E.

3.1 Định nghĩa Giả sử A ∈ l (E) Nếu A = A* thì A đợc gọi là tự liên hợp

3.2 Ví dụ Giả sử A ∈ l ( l2 ) với

Khi đó với mọi y = { }y n ∈ l2 ta có

1

với y = { }y n ∈ l2 .Suy ra A = A* Vậy A là toán tử tự liên hợp

Từ ví dụ này ta có Mệnh đề sau

3.3 Mệnh đề Giả sử { }αn là dãy số phức bị chặn và A : l2 → l2 là toán tử

đ-ợc cho bởi

Ax = {αn xn} , x = { } x n ∈ l2

Khi đó A là tự liên hợp khi và chỉ khi { }αn là dãy số thực.

Chứng minh Dễ dàng chứng minh đợc A là tuyến tính liên tục.

Giả sử { }αn ⊂ R Khi đó, tơng tự nh Ví dụ 2.2 ta chứng minh đợc

Từ định nghĩa và tính toán đơn giản ta chứng minh đợc Mệnh đề sau

3.4 Mệnh đề Giả sử A, B ∈ l ( E ) là tự liên hợp Khi đó

(i) A + B và λA là tự liên hợp với mọi λ∈ R.

(ii) B o A là tự liên hợp nếu A o B = B o A.

( Có thể xem chứng minh mệnh đề này trong [2] )

3.5 Mệnh đề Giả sử A ∈ l ( E ) là một tự đẳng cấu Khi đó A tự liên hợp nếu

và chỉ nếu A-1 tự liên hợp

Chứng minh Giả sử A là toán tử tự liên hợp Với mọi x, y ∈ E ta có

( A-1x y ) = ( A-1x ( A o A-1 ) y ) = ( A-1 x A ( A-1y ))

= ( A ( A-1 x ) A-1 y ) = ( x A-1 y )

Vậy A-1 là toán tử tự liên hợp

Ngợc lại giả sử A-1 là toán tử tự liên hợp Tơng tự ta có

( Ax y ) = ( Ax A-1( Ay )) = ( A-1( Ax ) Ay ) = ( x Ay )

Vậy A là toán tử tự liên hợp

3.6 Định lí A ∈ l ( E ) tự liên hợp khi và chỉ khi ( Ax x ) ∈ R với mọi

x ∈ E

Chứng minh Cần Giả sử A là tự liên hợp Khi đó

( Ax x ) = ( x Ax ) = ( Ax x ) , với mọi x ∈ E.

Vậy ( Ax x ) ∈ R với mọi x ∈ E

Đủ Giả sử ( Ax x ) ∈ R với mọi x ∈ E Từ các đẳng thức

−

= +

+

+ +

+

= +

+

y Ay x

Ay i y Ax i x Ax iy

x iy x

A

y Ay x

Ay y

Ax x

Ax y

x y x

+

= +

−

=

−

− + +

=

+

2t y

Ay x

Ax iy

x iy x A x

Ay i y

Ax

i

2s y

Ay x

Ax y

x y x A x

Ay y

it s y Ax

Vì

s - it = ( Ay x ) = ( y A*x ) = ( A * x y ) , x, y ∈ E

( Ax y ) = s + it = ( A*x y ) , với mọi x, y ∈ E.

Vậy A = A*, do đó A là tự liên hợp

Đ4 toán tử compact

4.1 Định nghĩa Giả sử E, F là các không gian định chuẩn Toán tử tuyến tính

A : E → F gọi là compact nếu ảnh A( B ) của hình cầu đơn vị đóng

B = {x∈E: x = 1}

là tập compact tơng đối trong F

Nếu A là toán tử compact thì A liên tục Thật vậy, vì A ( B) là compact nên tồn tại số dơng M sao cho

)

( B

A y M

Khi đó, với mọi x ∈ E mà x ≠ 0 ta có

x x

x x

x

A ≤ với mọi x ∈ E

Vậy A liên tục Do đó toán tử compact còn gọi là toán tử hoàn toàn liên tục

4.2 Định lí Nếu A là toán tử tuyến tính từ không gian định chuẩn E vào

không gian định chuẩn F thì các mệnh đề sau đây tơng đơng

A x hội tụ trong F.

Chứng minh (i) ⇒ (ii) Lấy n ∈ N sao cho K ⊂ nB Vì A( K ) ⊂ nA( B ) nên

A( K ) = { A ( ) xn } compact tơng đối Do đó tồn tại dãy con x n k  để dãy

A x hội tụ trong F

(iii) ⇒ (i) Lấy tuỳ ý dãy { }y n ⊂ A( B ) và lấy dãy { }x n ⊂ B để

4.3 Ví dụ về toán tử compact

a) Giả sử f : E →F là ánh xạ tuyến tính liên tục Khi đó, nếu E hoặc F là không gian hữu hạn chiều thì f là ánh xạ compact.

Chứng minh Giả sử F hữu hạn chiều và B là hình cầu đơn vị đóng trong E Vì F hữu hạn chiều nên theo Định lí Riesz F là compact địa phơng Từ đó suy

ra mọi hình cầu đóng trong F đều compact và do đó mọi tập đóng và bị chặn trong F đều compact Mặt khác, từ f tuyến tính liên tục suy ra f (B) là tập

đóng và bị chặn Do đó f (B) compact Vậy f là ánh xạ compact

Giả sử e compact Khi đó, vì B đóng nên B compact Do f liên tục nên f (B) compact Từ F là T2 - không gian suy ra f (B) = f ( B ) Vậy f là ánh xạ compact

b) Giả sử f : E →F là ánh xạ tuyến tính F đợc gọi là ánh xạ hữu hạn chiều

nếu ImF là không gian con hữu hạn chiều của F

từ ví dụ a) ta có hệ quả sau:

c) Hệ quả Mọi ánh xạ hữu hạn chiều giữa các không gian định chuẩn đều

là ánh xạ compact.

4.4 Mệnh đề Giả sử E, F là các không gian định chuẩn Khi đó tổ hợp tuyến

tính của một số hữu hạn các toán tử compact từ E vào F là compact.

Chứng minh Giả sử A1 , A2 , … , An là các toán tử compact từ E vào F và

α 1 , α2 , … , αn ∈ K Xét dãy bị chặn bất kì { }x n ⊂ E Khi đó tồn tại dãy con x n k  sao cho các dãy  1( )

tụ trong F Vì vậy dãy ( ( ) + ( ( ) + + ( ( )

2 2 1

4.5 Mệnh đề Giả sử E, F là các không gian định chuẩn S ∈l ( E, F ),

T ∈ l ( F, G ) Khi đó T o S compact nếu một trong hai S hoặc T compact

Chứng minh T S

E F G

Gọi B là hình cầu đơn vị đóng trong E, ta có

T o S (B) = T ( S (B) )

• Nếu S compact thì S (B) compact tơng đối trong F Vì T liên tục nên

T ( S(B) ) compact tơng đối trong G Suy ra T o S compact

• Nếu T compact thì ta có , vì B bị chặn trong E và S liên tục nên S (B) bị chặn Mà T là toán tử compact nên T ( S (B) ) compact tơng đối trong G Suy ra

T o S compact

4.6 Định lí Giả sử E là không gian định chuẩn, F là không gian Banach và

{ }A n là dãy các toán tử compact trong l ( E, F ) Nếu { }A n hội tụ đến

A ∈l ( E, F ) thì A là toán tử compact.

Chứng minh Gọi B là hình cầu đơn vị đóng trong E Vì F đầy đủ nên theo Định

lí Hausdorff để chứng minh A (B) compact tơng đối trong F ta chỉ cần chứng minh A (B) hoàn toàn bị chặn

Lấy ε > 0 tuỳ ý Vì dãy { }A n hội tụ đến A nên tồn tại n0 sao cho

Do An0 là toán tử compact nên An0(B) compact tơng đối trong F, nghĩa là An0

(B) hoàn toàn bị chặn Từ đó tồn tại x1, x2 , … , xp ∈B sao cho

0 Vì vậy với mọi

x ∈B ta có

εεε

ε + + =

<

− +

− +

−

≤

−

3 3 3

i i

n i

n n

( Có thể xem chứng minh Định lí trong [3] )

4.8 Mệnh đề Giả sử { }αn là dãy số phức hội tụ tới 0 và A ∈ l ( l2 ) với

Ax = {αn x n} với x = { } x n ∈ l2 Khi đó A là toán tử compact

Chứng minh Giả sử αn → 0 Ta chứng minh A là toán tử compact Với mỗi

n A

5.1.1 Định nghĩa ( Đại số Banach ) Một K - không gian vectơ cùng với một phép nhân các phần tử của E, kết hợp và phân phối đối với phép cộng gọi là một

K - đại số Đại số đợc gọi là giao hoán nếu phép nhân trên nó giao hoán Đại số

E gọi là đại số định chuẩn nếu E là một không gian định chuẩn thoả mãn tính

chất

y

Nếu chuẩn là đầy đủ thì đại số gọi là đại số Banach

5.1.2 Đại số các toán tử Cho E là một không gian định chuẩn trên trờng K

Kí hiệu l ( E ) = l ( E, E ) là không gian định chuẩn các ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào E Ngoài cấu trúc tuyến tính, trong l ( E ) còn có phép nhân

( phép hợp thành các ánh xạ ) Phép nhân là kết hợp và phân phối với phép cộng ( nhng không giao hoán ) Không gian l ( E ) với phép nhân trên là một đại số

định chuẩn vì chuẩn trên l ( E ) thoả mãn điều kiện

g f g

f o ≤ , với mọi f, g ∈ l ( E )

Ta viết fg thay cho f o g Nếu E là Banach thì đại số l ( E ) là Banach

Kí hiệu IE là toán tử đồng nhất trên E Ta có

f I E = IE f = f với mọi f ∈ l ( E )

Phần tử IE đợc gọi là phần tử đơn vị của l ( E ) Phần tử f ∈ l ( E ) đợc gọi là khả nghịch nếu tồn tại g ∈ l ( E ) sao cho fg = gf = IE Lúc đó ta gọi g là

nghịch đảo của f và kí hiệu là f -1

5.1.3 Hàm giải tích giá trị Banach Giả sử D là tập mở trong trờng K thực hay phức và f : D → E là hàm trên D với giá trị trong không gian Banach trên

trờng K Hàm f gọi là giải tích trên D nếu với mọi λ0 ∈ D tồn tại r > 0 sao cho

f (λ) = ∑∞ ( − )

n

n n

a λ λ , với mọi λ−λ0 < r,

trong đó các an ∈ E Rõ ràng f : D → E là giải tích thì u o f : D → K là giải

tích với mọi u ∈ E*

5.1.4 Định nghĩa Giả sử f ∈ l ( E ) là toán tử trong E Ta nói λ ∈ K là

giá trị chính quy của f nếu λ - f khả nghịch, ở đây viết λ - f thay cho λI E - f Trong trờng hợp ngợc lại ta nói λ là giá trị phổ của f Kí hiệu S( f ) và σ ( f ) lần lợt là tập hợp tất cả các giá trị chính quy và phổ của f Rõ ràng