Các họ khả tổng và ánh xạ tuyến tính liên tục trong không gian định chuẩn

đỗ thị thanh tâm Các họ khả tổng và ánh xạ tuyến tính Liên tục trong không gian định chuẩn Khoá luận tốt nghiệp đại học Ngành cử nhân khoa học toán... Các họ khả tổng trong không gian

đỗ thị thanh tâm

Các họ khả tổng và ánh xạ tuyến

tính Liên tục trong không gian định

chuẩn

Khoá luận tốt nghiệp đại học Ngành cử nhân khoa học toán

Vinh - 2009

Mục lục

Trang

Lời nói đầu 1

Chơng 1 Không gian các họ các số 3

1.1 Các kiến thức chuẩn bị 3

1.2 Họ các số khả tổng 5

1.3 Họ các số bị chặn và họ các số hội tụ tới 0 11

Chơng 2 Các họ khả tổng trong không gian định chuẩn và ánh xạ tuyến tính liên tục 17

2.1 Các họ khả tổng trong không gian định chuẩn 17

2.2 Sự bảo tồn tính khả tổng qua các ánh xạ tuyến tính liên tục .20 Kết luận 24

Tài liệu tham khảo 25

Lời nói đầu

Lý thuyết giới hạn và ánh xạ tuyến tính liên tục có vai trò quan trọng trong giải tích toán học Các khái niệm này đã đợc trình bày đầy đủ trong các giáo trình dành cho sinh viên Tuy nhiên, giới hạn của dãy số suy rộng (hay còn gọi là lới) chỉ mới đề cập rất ít Đặc biệt, tổng quá đếm đợc thì cha đợc đề cập

đến Mục đích của khoá luận này là dựa trên sự hội tụ của dãy suy rộng để nghiên cứu họ các số khả tổng, họ các số bị chặn, họ các số hội tụ tới không Từ

đó xây dựng và nghiên cứu các không gian mà các phần tử là các họ nói trên và thiết lập các mối quan hệ giữa các không gian đó Đồng thời khoá luận cũng nghiên cứu các họ khả tổng, khả tổng tuyệt đối, khả tổng yếu trong không gian

định chuẩn và sự bảo tồn tính khả tổng của các họ qua các ánh xạ tuyến tính liên tục giữa các không gian định chuẩn

Với mục đích đó, khoá luận đợc viết thành hai chơng

Chơng 1 Không gian các họ các số

Phần đầu của chơng này, trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản về dãy suy rộng, không gian định chuẩn, không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục

mà chúng cần dùng trong khoá luận

Phần thứ hai, trình bày khái niệm và một số tính chất của họ các số khả tổng Từ đó xây dựng không gian các họ các số khả tổng và chứng minh tính Banach của nó

Phần cuối của chơng 1, trình bày các khái niệm và tính chất của họ các số

bị chặn, họ các số hội tụ tới không và xây dựng không gian các họ bị chặn, không gian các họ hội tụ tới không Sau đó nghiên cứu tính Banach và mối quan

hệ của các không gian nói trên

Chơng 2 Các họ khả tổng trong không gian định chuẩn và ánh xạ tuyến tính liên tục

Phần đầu của chơng này, trình bày khái niệm các họ khả tổng tuyệt đối, khả tổng yếu và khả tổng trong không gian định chuẩn

Phần thứ hai, trình bày sự bảo tồn tính khả tổng, khả tổng tuyệt đối và khả tổng yếu của các họ trong không gian định chuẩn qua các ánh xạ tuyến tính liên tục giữa các không gian định chuẩn.

Các kết quả trong khoá luận chủ yếu là đã có trong các tài liệu tham khảo Chúng tôi đã hệ thống, chứng minh chi tiết và trình bày lại theo mục đích của khoá luận Bên cạnh đó chúng tôi cũng đa ra một số kết quả mới nh Định lý 1.3.2, Mệnh đề 1.3.3, Mệnh đề 1.3.4, Định lý 2.2.1, Định lý 2.2.2, Mệnh đề 2.2.3, Mệnh đề 2.2.4 và Hệ quả 2.2.5

Vì thời gian có hạn và bớc đầu nghiên cứu khoa học nên không thể tránh khỏi một số sai sót, mặc dù em đã có rất nhiều cố gắng Em xin chân thành cảm

ơn thầy giáo PGS.TS Đinh Huy Hoàng đã tận tình hớng dẫn, giảng dạy

Em xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong khoa Toán đã tạo

điều kiện thuận lợi giúp đỡ em hoàn thành tốt bài khoá luận này

Vinh, tháng 5 năm 2009

Tác giả

Chơng 1 Không gian các họ các số

1.1 Các kiến thức chuẩn bị

Trong mục này, trình bày một số khái niệm, ký hiệu và kết quả cơ bản cần dùng cho các mục sau

1.1.1 Định nghĩa Tập D ≠ ∅ đợc gọi là định hớng nếu trên đó xác định

đợc một quan hệ “≥” thoả mãn các tính chất

1.1.3 Định nghĩa Giả sử D là một tập định hớng bởi quan hệ “≥” Khi

đó hàm S xác định trên D đợc gọi là một lới hay dãy suy rộng (sau này gọi là

Nếu miền giá trị của lới là không gian tôpô X thì S đợc gọi là lới trong không gian tôpô X.

1.1.4 Định nghĩa Giả sử D là một tập đợc định hớng bởi quan hệ “≥”, (X , τ ) là một không gian tôpô Khi đó lới (S n , D, ≥) đợc gọi là hội tụ trong

Ký hiệu lim S n = s hay S n → s.

1.1.5 Định nghĩa Giả sử (D, ≥) là một tập định hớng, (S, D, ≥), (T,

D, ≥) là hai lới trong không gian véctơ tôpô X Khi đó ta gọi lới (S +T,

1.1.6 Mệnh đề Giả sử (D, ≥) là tập định hớng, (S, D, ≥) và (T, D, ≥)

Ta thờng viết x thay cho p(x).

Không gian định chuẩn E đợc gọi là không gian Banach nếu E là không

gian mêtric đầy đủ

1.1.8 Định lí Giả sử E, F là hai không gian định chuẩn Ký hiệu L(E, F) là

không gian các ánh xạ tuyến tính, liên tục từ E vào F Trên L(E, F) ta xét chuẩn

f = inf{k: f x( ) ≤ k x , ∀ ∈x E } , f ∈ L(E, F).

Ta có f = supx≠0 f x( )x = supx≤1 f x( ) = supx=1 f x( ) ,

f x( ) ≤ f x ∀ ∈ ∀ ∈x E, f L E F( , ).

1.1.9 Định lý Nếu F là không gian Banach thì L(E, F) là không gian

các số [x i , i∈I ] thì ta có thể xây dựng đợc khái niệm tổng tất cả các số hạng [x i ,

Trong mục này ta sẽ trình bày khái niệm ∑

∈I i i

x và nghiên cứu các tính chất tơng tự nh chuỗi số hội tụ còn đúng cho tổng vừa định nghĩa hay không ?

1.2.1 Định nghĩa Cho I là tập chỉ số bất kỳ, j (I) là họ các tập con hữu

hạn của I Ta định hớng j (I) theo quan hệ bao hàm Giả sử [ x i, i I∈ ] là họ các

số, với mỗi J∈ j (I) đặt ∑

∈

=

J i i

S Nếu dãy suy rộng { S J J, ∈ j (I)} hội tụ thì

ta nói họ [x i, i I∈ ] khả tổng Số s mà { }S J hội tụ tới đợc gọi là tổng của họ [ x i,

chỉ khi từ m ≥ n suy ra S m ≥ S n (hoặc S m ≤ S n )

1.2.2 Mệnh đề Nếu họ [ x i, i I∈ ] không âm, tức là x i ≥ 0 với mọi

I

chặn trên (bị chặn dới, tơng ứng).

Trớc hết ta chứng minh Bổ đề sau

1.2.3 Bổ đề Mỗi dãy suy rộng đơn điệu tăng trong R mà miền giá trị

bé nhất của miền giá trị.

Chứng minh Miền giá trị của { }S n giới nội nên tồn tại phần tử x0 là cận trên bé nhất của miền giá trị của nó Khi đó với mỗi lân cận U của thì do x0 là cận trên bé nhất của miền giá trị của { }S n nên tồn tại S nsao cho S n∈U Vì

{ }S n đơn điệu tăng nên từ n trở đi { }S n nằm hoàn toàn trong U Do đó { }S n hội

tụ đến x0

Chứng minh Mệnh đề 1.2.2 Giả sử họ [ x i, i I∈ ] không âm trên I và các tổng theo mọi tập con hữu hạn có thể của I bị chặn trên Khi đó ta thấy

ngay{ S J J, ∈ j (I )} là dãy suy rộng đơn điệu tăng và bị chặn trên trong R

Theo kết quả của Bổ đề 1.2.3 thì dãy suy rộng này hội tụ, tức là họ [x i, i I∈ ] khả tổng trên I.

Ngợc lại, giả sử họ [x i, i I∈ ] không âm và [x i, i I∈ ] khả tổng trên I Khi

đó dãy suy rộng { S J J, ∈ j (I )} hội tụ đến i

i I

∈

=∑ Vì x i ≥ 0, với mọi i∈I

nên S J <x với mỗi J ∈ j (I ) Vậy { }S n bị chặn trên

Trờng hợp còn lại của Mệnh đề đợc chứng minh hoàn toàn tơng tự

Đối với chuỗi số thì mọi chuỗi hội tụ tuyệt đối đều hội tụ, tồn tại những chuỗi hội tụ nhng không hội tụ tuyệt đối Đối với họ khả tổng điều tơng tự nh vậy không đúng Ta có Mệnh đề sau

1.2.4 Mệnh đề Họ [ x i, i I∈ ] khả tổng khi và chỉ khi nó khả tổng tuyệt

Để chứng minh Mệnh đề này ta cần Bổ đề sau

Giả sử g⊂ I Ta nói họ [ x i, i I∈ ] khả tổng trên g nếu họ [x i , i∈g] khả tổng.

1

) , ∀x ={ }x n ∈ p.

Vấn đề đặt ra là nếu các dãy số trong pđợc thay bởi họ các số thì kết quả tơng tự nh đối với pcòn đúng nữa hay không ?

Sau đây, ta sẽ giải quyết vấn đề này cho trờng hợp p = 1 Trờng hợp tổng

quát cũng hoàn toàn tơng tự

Khi đó, tồn tại các giới hạn

với mọi α ∈K Nh vậyl 1( )K khép kín đối với hai phép toán (1) và (2) Do đó ( )

Bây giờ ta chứng minh l 1( )K là không gian Banach Giả sử {x n} = {[ x i n]}n

là dãy Cauchy trong l 1( )K Khi đó với mọiε tồn tại n 0∈N sao cho với mỗi

n ≥ n 0, với mọi p∈N ta có

[ x n

i +p ] – [ x i n ] <ε ,hay

∑

∈I

i x i n+p –x i n <ε ,∀n ≥n 0 , ∀ p ∈N

(3)

Từ đó, với mọi i∈I ta có x i n+p x– i n < ε , với mọi n > n 0 , với mọi p∈N.

Vì thế với mọi i ∈I, { x i n }n là dãy Cauchy trong K Do đó tồn tại

x x– n ≤ ε , ∀n ≥ n0 Vì thế x n →x trong l 1( )K

Vậyl 1( )K , với chuẩn x = ∑i I∈ x i là không gian Banach

1.3 Họ các số bị chặn và họ các số hội tụ tới 0

Trong mục này ta sẽ định nghĩa họ các số bị chặn, họ các số hội tụ tới 0

Từ đó ta xây dựng không gian các họ hội tụ tới 0, các họ bị chặn và nghiên cứu

cấu trúc của các không gian này cùng với mối quan hệ của chúng

Giả sử I là tập chỉ số bất kỳ.

1.3.1 Định nghĩa 1) Họ các số [xi , i ∈I ] đợc gọi là bị chặn nếu tồn tại

hằng số M sao cho x i ≤ M với mọi i∈I.

2) Họ các số [x i , i ∈I ] đợc gọi là hội tụ tới 0 và đợc kí hiệu là x i → 0

nếu với mọi ε > 0 đều tồn tại J 0 ∈ j (I) sao cho với mọi i∈ I \ J 0 ta có x i < ε

, trong đó j (I) là họ tất cả các tập con hữu hạn của I.

Đặt

C 0 (K) = {[x i , i∈I ] ⊂ K : x i → 0 },

( )K

1.3.2 Định lý 1) Với các phép toán xác định bởi công thức (1) và (2)

2) Công thức

x = supi I∈ x i , ∀x = [ x i ]∈ l( )K

Chứng minh 1) Để chứng minh l( )K là không gian tuyến tính chỉ cần chứng minh nó khép kín với hai phép toán Giả sử [ x i ], [ y i ]∈l( )K , α vàβ∈

2) Rõ ràng

x - x i ≤ ε , ∀n≥ n0

Do đó x n → x trongl( )K Vậyl( )K với chuẩn x = supi I∈ x i là không gian

3) Từ định nghĩa trực tiếp suy ra C 0 (K) ⊂ l( )K Hơn nữa C 0 (K) là không

gian tuyến tính con của l( )K

Bây giờ ta chứng minh C 0 (K) với chuẩn đã cho trong (2) lập thành một

không gian đầy đủ Thật vậy, ta kí hiệu x (n) = [x i (n)], n = 1, 2, 3,… Giả sử {x i (n)}

là dãy Cauchy trong C 0 (K) Khi đó, với mọi ε > 0 tồn tại n 0 sao cho ∀n, m >

n 0, ta có

( )n − ( )m

x x < ε ,hay

Nghĩa là {x i (n)} là dãy Cauchy trong R Vì thế, x i (n)→ x i ∈ R, với mọi i∈I

Đặt x = [ x i ] Ta chứng minh [ x i ] ∈ C 0 (K), nghĩa là chứng minh [ x i ] hội tụ về 0 Thật vậy, trong (7) cố định n > n 0, cho m → ∞ta đợc x i(n) −x i < ε , với mọi i∈I.

Điều này kéo theo

Bây giờ ta sẽ chứng minh {x (n)} hội tụ về x theo chuẩn trong C 0 (K) có

nghĩa là chứng minh x (n) - x → 0 Theo lí luận ở trên, với mọi ε > 0, ta có

1.3.3 Mệnh đề Nếu họ các số [ xi ] khả tổng thì nó hội tụ tới 0.

Chứng minh Giả sử họ [xi , i ∈I ] khả tổng và∑i I x i =r

∈ , tức là lới

với mọi J 1∈ j (I), J 2∈ j (I), thoã mãn J 1 ⊇ J 0 , J 2 ⊇ J 0 ta có

1.3.4 Mệnh đề 1)l( )K \ C 0 (K) trù mật trong l( )K

Chứng minh 1) Hiển nhiên C0 (K) là không gian con của l( )K Hơn nữa

hình cầu tâm 0 bán kính r là B(0,r) trong l( )K sao cho B(0,r) ⊂ C 0 (K) Khi đó

với mọi x ∈l( )K ắt tồn tại n ∈ N sao cho x < n.r Do đó, từ C 0 (K) là

không gian tuyến tính suy ra x ∈ n B(0,r) ⊂ C 0 (K) Nh vậy l( )K ⊂ C 0 (K) Vì

( )K

1

 không mở trong C 0 (K) Thật vậy, nếu1( )K mở trong C 0 (K) thì tồn tại

hình cầu tâm 0 bán kính r là B(0,r) trong C 0 (K) sao cho

B(0,r) ⊂ 1( )K Khi đó với mọi x ∈ C 0 (K) ắt tồn tại n ∈ N sao cho x < n.r Do đó, từ 1( )K là không gian tuyến suy ra x ∈ n B(0,r) ⊂ C 0 (K) Nh vậy C 0 (K) ⊂ ( )1 K

V× thÕ C 0 (K) =  1( )K §©y lµ ®iÒu m©u thuÉn v× nÕu lÊy I = N th× hä [1i , i∈I ]

héi tô tíi 0, tøc lµ [1i , i∈I ] ∈ C 0 (K).Tuy nhiªn [1i , i∈I ] ∉ 1( )K

B©y giê, víi bÊt kú x ∈ C 0 (K) vµ U lµ l©n cËn tuú ý cña x NÕu x

Chơng 2 Các họ khả tổng trong không gian định chuẩn

và ánh xạ tuyến tính liên tục

2.1 Các họ khả tổng trong không gian định chuẩn

2.1.1 Định nghĩa Họ [xi , i∈I ] trong không gian định chuẩn E đợc gọi

Ký hiệu { }E là tập tất cả họ khả tổng tuyệt đối trong không gian định chuẩn E.

i ] ∈ { }E nªn

∑ + − <

I

n i p

n

x ∈ hội tụ, hay{ }E đầy đủ.

Vậy ({ }E , ) là không gian Banach

2.1.4 Định nghĩa Họ [xi , i∈I ] trong không gian định chuẩn E đợc gọi

2.1.5 Mệnh đề Nếu họ [xi , i∈I] khả tổng tuyệt đối trong không gian

2.1.6 Định nghĩa Giả sử [xi , i∈I ] là họ các phần tử trong không gian

định chuẩn E, là họ tất cả các tập con hữu hạn của I đợc định hớng theo quan hệ

bao hàm

Với mỗi J ∈ j (I) đặt s J = i

i I

x

∈

∑ Nếu dãy suy rộng {s J , J∈ j (I)} hội tụ

2.2 Sự bảo tồn tính khả tổng qua các ánh xạ tuyến tính liên tục

Đối với chuỗi số ta đã biết rằng, nếu∑∞

= 1

n n

a là chuỗi số hội tụ và f: R→R

là ánh xạ tuyến tính liên tục thì chuỗi ∑∞ ( )

2.1.1 Định lý Giả sử E, F là 2 không gian định chuẩn và f: E→F là

tuyệt đối, khả tổng yếu) trong F.

Chứng minh Giả sử [ x i , i∈I ] khả tổng và ∑∈

I i i

rộng {s J , J ∈ j (I)} hội tụ tới x với

∈J i i

x , J ∈ j (I).

f(s J ) = ∑∈

J i

i x

Cuối cùng, giả sử [ x i , i∈I ] khả tổng yếu, tức là họ các số [a(x i ), i∈I ]

khả tổng với mỗi a∈E * Với mỗi b∈F * , vì f ∈ L(E, F) nên b.f ∈E * Do đó họ

Bây giờ, ta sẽ chứng tỏ f I = f Vì f = supt =1 f t( ) nên với mọi

ε > 0 ắt tồn tại t ∈E sao cho t = 1 và f t( ) > f −ε

Từ ε là số dơng bất kỳ suy ra f I ≥ f Vậy f I = f

Qua Định lý 2.2.2 ta thấy mỗi f∈ L(E, F) sinh ra một ánh xạ f I

∈ L({ }E ,{ }F ) Có một câu hỏi đợc đặt ra là, mỗi f I ∈ L({ }E ,{ }F ) có sinh

2.2.3 Mệnh đề Với mỗi i ∈I, ánh xạ p i : { }E → E

[x i , I ] a x i

Chứng minh Dễ thấy p i là ánh xạ tuyến tính, ta chứng minh p i liên tục.Thật vậy

Do đó d là ánh xạ tuyến tính liên tục, và bảo tồn chuẩn.

2.2.5 Hệ quả Giả sử ℑ ∈ L(l{ } { }E , l F ) Khi đó ánh xạ T: E → F đợc xác định bởi công thức

Chứng minh Do p i , ℑ, d là 3 ánh xạ tuyến tính, liên tục nên T là ánh

xạ tuyến tính và liên tục Mặt khác, vì p i = d =1 Suy ra T ≤ ℑ

xj(i) = x nếu j = i

0 nếu j i

Kết luận

Luận văn đã đạt đợc các kết quả chính sau đây:

- Dựa vào các tài liệu tham khảo, trình bày các khái niệm và chứng minh các tính chất của họ các số khả tổng, họ các số hội tụ tới không, họ các số bị chặn trong không gian định chuẩn

- Xây dựng không gian các họ các số khả tổng, không gian các họ các số hội tụ tới không, không gian các họ bị chặn và chứng minh tính đầy đủ của chúng Thiết lập mối quan hệ giữa ba loại không gian đó Chúng đợc thể hiện trong Định lý 1.3.2, Mệnh đề 1.3.3 và Mệnh đề 1.3.4

- Đa ra và chứng minh đợc rằng ánh xạ tuyến tính liên tục giữa hai không gian định chuẩn bảo tồn tính khả tổng, khả tổng tuyệt đối và khả tổng yếu của các họ trong không gian định chuẩn Đó là Định lý 2.2.1

- Thiết lập mối quan hệ giữa ánh xạ tuyến tính liên tục từ không gian định chuẩn E vào không gian định chuẩn F, và ánh xạ tuyến tính liên tục từ không

gian các họ khả tổng tuyệt đối l{ }E vào không gian các họ khả tổng tuyệt đối { }F

l (Mệnh đề 2.2.2, Mệnh đề 2.2.3, Mệnh đề 2.2.4 và Hệ quả 2.2.5)

Tài liệu tham khảo

[1] Đậu Thế Cấp(2001), Giải tích hàm, NXB Giáo dục.

[2] Đậu Hoàng Hng(2001), ánh xạ tuyến tính liên tục giữa các không gian

lồi địa phơng, Luận văn tốt nghiệp ĐHSP Vinh.

[3] Nguyễn Văn Khuê và Lê Mậu Hải(1997), Không gian tôpô tuyến tính,

định chuẩn, Banach, Hilbert, ĐHSP Hà Nội.