Bài giảng số 4: Phép chia đa thức

[r]

Chuyên đề 4: Phép chia đa thức

I Kiến thức cần nhớ

1) Chia đơn thức A cho đơn thức B (Trường hợp A chia hết cho B)

- Bước 1: Chia hệ số của đơn thức A cho hệ số của đơn thức B

- Bước 2: Chia mỗi lũy thừa của A cho lũy thừa của cùng một biến trong B

- Bước 3: Nhân các kết quả tìm được với nhau

2) Chia đa thức A cho đơn thức B (Trường hợp mỗi hạng tử của A đều chia hết cho B)

- Chia các hạng tử của đa thức A cho đơn thức B rồi cộng các kết quả lại với nhau

3) Chia đa thức một biến đã sắp xếp

Muốn chia đa thức A cho đa thức B (trường hợp A và B là các đa thức một biến đã sắp xếp) ta làm như sau:

- Bước 1: Đặt phép chia

- Bước 2: Chia hạng tử bậc cao nhất của A cho hạng tử bậc cao nhất của B, giả sử được thương

là C1

- Bước 3: Lấy C1 nhân với B, kết quả tìm được viết dưới đa thức A sao cho các hạng tử cùng bậc thẳng cột với nhau, thực hiện phép trừ để tìm số dư

- Bước 4: Đặt vai trò của số dư là số bị chia, quay trở lại bước 2 cho đến khi nhận được kết quả

là bậc của số dư nhỏ hơn bậc của số chia

*Với A và B là hai đa thức cùng biến tùy ý, B khác 0, luôn tồn tại 2 đa thức duy nhất Q và R sao cho: A = B.Q+R trong đó bậc của R luôn nhỏ hơn bậc của B

Nếu R = 0 thì đó là phép chia hết, R khác 0 thì đó là phép chia có dư

4 Kiến thức bổ xung

4.4.1) Nghiệm của đa thức

- Số a được gọi là nghiệm của đa thức f(x) nếu f(a) = 0

- Nghiệm nguyên của đa thức nếu có phải là ước của hệ số tự do

- Trong đa thức có các hệ số nguyên, nghiệm hữu tỷ (nếu có) phải có dang trong đó p là ước của hệ số tự do, q là ước dương của số hạng cao nhất

4.4.2) Định lý Bơdu

Phần dư trong phép chia đa thức f(x) cho x - a bằng giá trị của đa thức f(x) tại x = a Tức là f(x)=(x - a).g(x) - f(a)

Hệ quả: Nếu f(a) = 0 thì f(x)(x - a)

Nếu f(a)  (x - a) thì f(a) = 0

4.4.3) Phương pháp hệ số bất định

Giả sử

f(x) = a3x3 + a2x2 + a1x + a0

g(x) = b3x3 + b2x2 + b1x + b0

Và nếu f(x) = g(x) với ít nhất 4 giá trị thì a3=b3; a2=b2; a1 = b1; a0 = b0

Tổng quát: Nếu đa thức f(x) bậc n và đa thức g(x) bậc lớn hơn n bằng nhau thì đa thức f(x) và đa thức g(x) đồng nhất

4.4.4) Lược đồ Hocne

Với đaa thức f(x) = n n-1 n-2

a x + a x + a x + + a x + a chia cho x có thương là

b x + b x + b x + + b x + b dư r Thì ta có

a n-1

b =

n

a

n -2

b =abn-1+ n-1

a

n -3

b =abn -2+

n -3 a

1

b =ab2+ 2

a

0

b =ab1+ 1

a

r=ab0+ 0 a

II Các dạng toán cơ bản

Dạng 1: Phép chia đơn thức cho đơn thức

*Phương pháp giải toán: Thực hiện theo các bước đã nêu ở phần lí thuyết

Ví dụ mẫu:Thực hiện phép tính 2 3 2

6x y x : 2xyz

Lời giải mẫu:

- Bước 1: Chia phần hệ số

6 : 2  3

- Bước 2: Chia phần biến

2

2

: : :

x x x

y y y

x z z







- Bước 3: Nhân các kết quả tìm được 2 2

3 .x y z  3xy z

6x y z: 2xyz 3xy z

Bài tập áp dụng

Bài 1: Thực hiện phép chia:

2 3

) 12 : ( 3 );

a x y  xy

4 2

) 2 : 5

b x y z xy

5 4 2 5 2

Bài 2: Thực hiện phép tính

12 10

) 100 :100 ;

) ( 21) : ( 21) ;

a

16 14

1 1

) ( ) : ( ) ;

2 2

) ( ) : ( )

c

2) Phép chia đa thức cho đơn thức

Ví dụ mẫu: Thực hiện phép chia

3

Lời giải mẫu:

 3 2 2

1

3

12 9 15

Bài 1: Thực hiện phép chia

a) (7.35 - 34 + 36) : 34

b) (163 - 642) : 82

c) (5x4 - 3x3 + x2) : 3x2

d) (5xy2 + 9xy - x2y2) : (-xy)

e) (x3y3 - 1

2 x2y3 - x3y2) : 1

3x2y2

3) Phép chia đa thức cho đa thức

3.1) Chia trực tiếp bằng cách đặt tính

*Phương pháp giải toán: Thực hiện theo các bước đã nêu

Ví dụ mẫu: Thực hiện phép chia 3 2   

4 6 4 : 2

x  x  x x

Lời giải mẫu:

- Bước 1: Đặt tính

- Bước 2: Lấy hạng tử 3

x của đa thức bị chia cho hạng tử x của đa thức chia được 2

x , lấy 2

x

nhân với đa thức chia là x 2 được 3 2

2

- Bước 3: Lấy  3 2   3 2

x  x  x  x  x được 2

2x 6x4

- Bước 4:Coi 2

2x 6x4là số dư, nhận thấy 2

2x 6x4có bậc lớn hơn bậc của đa thức chia, tiếp tục thực hiện bước 2 cho đến khi bậc của dư nhỏ hơn bậc của số chia

Trong thực hành, người ta làm như sau:

2



2

x

2

2

2 4



2 4

2 4

x

x





0

2

2 2

x  x

Vậy ta được  3 2    2

x  x  x x x  x

Ví dụ 2: Thực hiện phép chia  3 2   2 

2x 3x 4 : x 1

Lời giải mẫu:

Ta có:

3 2

3

2



2 1

x 

2

2

3 2 3

x

2x 6

2x 3

Tới đây phép chia không thể tiếp tục được nữa vì bậc của dư nhỏ hơn bậc của số chia

Bài 1: Thực hiên phép chia

x  x  x x

2x  5x  2x 2x  1 : x  x 1

x  x  x  x x  x

2x  5x  4x 1 : 4x 1

Bài 2: Tìm thương Q và dư R sao cho A = B.Q + R, biết 4 2 2

Ax x  Bx  x

3.2) Chia bằng cách phân tích đa thức thành nhân tử

(Chỉ áp dụng khi phép chia đa thức đó là phép chia hết)

- Cơ sở của cách làm này dựa vào khẳng định sau

Điều kiện cần và đủ để đa thức A chia hết cho đa thức B là A = B.C với C là một đa thức, suy ra

C chính là thương cần tìm

*Phương pháp giải toán

- Dự đoán xem đa thức bị chia có thể phân tích thành nhân tử trong đó có một nhân tử là đa thức chia hay không

- Phân tích đa thức bị chia thành nhân tử và áp dụng khẳng định ở trên

Ví dụ mẫu: Thực hiện phép chia 3   

8 : 2

Lời giải mẫu:

x   x x  x  3    2

Ta có:

3 2

2

2

2

14 24

8 4 14 28

2

14 24 : 5 6 4

x x  x x  x  x

Bài 1: Không đặt tính, thực hiện phép chia sau

a)  3 2   

3 4 12 : 3

x  x  x x

3 4 5 : 2

x  x  x x

c)  8 4   2 

x x  x  x

14 24 : 5 6

x x  x x  x

4) Ứng dụng trong giải toán

4.1) Phân tích đa thức thành nhân tử

Cho đa thức f(x), a là nghiệm của đa thức f(x) nếu f(a) = 0 Như vậy nếu đa thức f(x) chứa nhân tử (xa) thì a phải là nghiệm của đa thức Ta đã biết rằng nghiệm nguyên của đa thức nếu

có phải là ước của hệ số tự do

 Nếu đa thức P(x) có 1 nghiệm là x = a thì ta có thể phân tích P(x) thành tích của hai thừa số là (x a) và Q(x)

P(x) = (xa).Q(x)

Muốn tìm Q(x) ta thấy P(x) chia cho (xa) Sau đó phân tích tiếp Q(x)

 Nếu đa thức P(x) có hai nghiệm phân biệt là xa và xb thì ta có thể phân tích đa thức P(x) thành tích của ba thừa số x a  ; x b  và Q(x)

P(x) = (xa)(xb).Q(x)

Muốn tìm Q(x) ta hãy chia P(x) cho tích     2  

x a x b x  a b x ab được thương là Q(x) sau đó phân tích tiếp Q(x

 Nếu đa thức P(x) có nghiệm kép x1 x2 a thì ta hãy chia P(x) cho tích

x a x a x  ax a được thương là R(x) rồi phân tích tiếp R(x) ThÕ nµo lµ nghiÖm sè kÐp? Vậy nếu đa thức P(x) có nghiệm kép x1 x2 a thì P(x) = (xa)2R(x) Muốn tìm R(x) ta lấy P(x) chia cho  2

x a

Ví dụ mẫu: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

P(x) = x3 – 2x – 4

Lời giải mẫu:

P(x) = x3 – 2x – 4

Ta thấy đa thức P(x) = x3 – 2x – 4 có một nghiệm là x = 2

Do đó ta có

P(x) = (x – 2).Q(x)

Chia đa thức P(x) = x3 – 2x – 4 cho nhị thức x – 2, ta được thương là

Q(x) = x2 + 2x +2 = (x + 1)2 +1

Ta thấy Q(x)  0 x  Nên Q(x) không thể phân tích được nữa

Suy ra P(x) = (x – 2)(x2 + 2x + 2)

Vậy P(x) = x3 – 2x – 4 = (x - 2)(x2 + 2x + 2)

Bài tập: Phân tích đa thức thành nhân tử

a) P(x) = x4 + x3 – 2x2 – 6x – 4

b) P(x) = 2x3 – 5x2 + 8x – 3

c) P(x) = x3 + 3x – 4

4.2) Sử dụng phép chia đa thức để giải một số dạng toán cơ bản

Ví dụ 1: Tính giá trị của biểu thức 3 3 2

:

Px x  với n 1 và 1

8

x 

Lời giải mẫu:

2

3 3 2

:

8 64

n n

Px x  x   x   x    

Ví dụ 2: Tìm x, biết  3 2 2

2ax  3ax :ax  5 biết a là hằng số khác 0

Lời giải mẫu:

Ta có  3 2 2

2ax  3ax :ax  2x 3

2x 3 5 2x 8 x 4

Ví dụ 3: Tìm giá trị nguyên của n để giá trị của biểu thức 2

2 2

x  x chia hết cho giá trị của biểu thức x 1

Lời giải mẫu:

Thực hiện phép chia 2

2 2

x  x cho x 1 được 2  2

x  x  x 

Vậy để có phép chia hết thì 2x1hay x1 là Ước của 2, từ đó ta có

1 1 2 1 1 0

1 2 3 1 2 1

Các giá trị trên đều thỏa mãn điều kiện của bài Vậy x  2; x  3; x 0; x 1

Bài 1: Tìm đa thức bị chia biết đa thức chia là x2 x 1, thương là x 1 và số dư là 2

Bài 2: Tìm n để mỗi phép chia sau là phép chia hết

a)  2 3 3

4x n  5x : 2x

b)  4 2 

2x 5x x : 3x n

c)  4 3 3 3 2  2

3 n : 4 n

x y  x y x y x y

Bài 3: Tính giá trị của biểu thức

A 5 1 15 10 : 5 :

2

x

3 4

x



b) 2 2 4

B = x n:x n với n 2 và x 10

4.3) Dạng bài tìm dư của phép chia, tìm điều kiện của tham số để có phép chia hết

*Phương pháp giải toán

- Bước 1: Thực hiện phép chia A cho B để có được dư

Nếu là dạng bài tìm điều kiện của tham số để có phép chia hết thì thực hiện thêm bước 2

- Bước 2: Cho số dư bằng 0, tìm tham số

Ngoài ra trong trường hợp đa thức chia là bậc nhất thì ta nên sử dụng cách 2 như sau:

Cách 2: (Áp dụng cho đa thức chia là một nhị thức bậc nhất) Áp dụng định lí Bơzu ta có “Dư của phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x a là f(a)” Vậy để tìm dư của f(x) cho x a ta chỉ cần tính f(a)

Cách 3: (Chỉ áp dụng cho bài toán tìm phần dư của hai đa thức cụ thể) Nhận thấy “phần dư là một đa thức có bậc nhỏ hơn đa thức chia” Áp dụng phương pháp giá trị riêng tức là sử dụng

những giá trị riêng cụ thể của x sao cho đa thức chia bằng 0 để tính phần dư đơn giản hơn

Ví dụ 1 (minh họa cách 1 và 2): Tìm m để đa thức 2

4x 6x m chia hết cho x 3

Lời giải mẫu:

Cách 1: Thực hiện phép chia đa thức 2

4x 6x m cho đa thức x 3được

2

4x 6x m  x 3 4x  6 m 18 Vậy để phép chia trên là phép chia hết thì

Cách 2: Áp dụng định lí Bơzu ta có dư của phép chia thức 2

4x 6x m cho đa thức x 3là (3) 18;

f  m Để phép chia trên là phép chia hết thì m 18     0 m 18

Ví dụ 2 (minh họa cách 3): Tìm dư của đa thức 27 9 3

x x  x x cho 2

1

x 

Bậc của đa thức chia là 2 suy ra bậc của phần dư có dạng ax b

Nếu gọi thương của phép chia trên là B(x) Ta có: 27 9 3  2 

( ) 1

x x x  x B x x  ax b (1) Chọn các giá trị riêng của x sao cho 2

- Với x 1thì (1)    4 a b (3)

- Với x       1 4 a b (4)

Từ (3) và (4) suy ra a 4; b 0 Vậy dư của phép chia trên là 4x

Bài 1: Tìm m sao cho đa thức 4 3 2

x  x  x  x m chia hết cho đa thức 2

2 1

x  x

Bài 2: Tìm x để giá trị của đa thức 27 20

f x x x  x chia hết cho g x( ) x 1

Bài 3: Tìm dư của phép chia đa thức 27 12

f x x x  x cho 2

4

x 

Bài 4: Đa thức f(x) khi chia cho x + 1 dư 4, chia cho x2 + 1 dư 2x + 3 Tìm số dư khi chia f(x) cho (x + 1)(x2 + 1)

4.4) Tìm đa thức thỏa mãn điều kiện

4.4.1) Tìm các hệ số còn lại của đa thức

Bài 1: Tìm a sao cho đa thức 2

( ) 2 2 1

g x  x  x a chia hết cho x 3

Bài 2: Tìm a, b sao cho đa thức 4

( )

f x ax ax b chia hết cho 2

4

x 

Bài 3: Tìm a, b sao cho đa thức 4 3 2

( ) 2 3

h x x  x  x ax b chia cho đa thức 2

2

x  x dư

2x 3

Bài 4: Tìm m sao cho đa thức 3 3 3

( , , )

f x y z x y z mxyzchia hết cho x y z

Bài 5: Tìm dư trong phép chia x + x3 + x9 + x 27 + x81 + x243 cho x2 1

Bài 6: Chứng minh( x2 + x1)10 + (x2 x1)10 chia hết cho x1

4.4.2) Tìm đa thức

Bài 1: Tìm đa thức f x( ), sao cho f x( )biết f x( )chia x2 x 1 được thương là x 1 và dư là 2

x

Bài 2: Tìm đa thức f x( ), biết f x( ) chia x 3dư 7, chia x 2 dư 5, chia cho x3x2 được thương là 3x và còn dư

Bài 3: Tìm đa thức f x( ), biết f x( ) chia x 4dư 9, chia x 3 dư 2 và chia cho 2

12

x  x được thương là 2

3

x  còn dư

Bài 4: Tìm đa thức bậc 2 f x( ) biết f  0 19 ; 1  f    85 ; f  2  1985