PHÉP CHIA ĐA THỨC Phép chia có dư. Định lý: f,gϵPx, g≠0 =>∃q,r∈Px f=g.q+r với 0≤deg(r)f(x).k(x)⋮g(x) với k(x)∈Px TC3: {█(f(x)⋮h(x)g(x)⋮h(x))┤ =>f(x)∓g(x)⋮h(x) TC4: {█(f(x)⋮h(x)g(x)⋮k(x))┤=>f(x).g(x)=h(x).k(x) Ví dụ: VD1: Cho 2 đa thức: f(x)=〖2x〗4〖13x〗3+〖15x〗2+11x3 g(x)=x24x3 Tính f(x) chia cho g(x). Ta thực hiện phép chia f(x) cho g(x) như sau: 〖2x〗4〖13x〗3+〖15x〗2+11x3 x24x3 〖2x〗4〖8x〗3〖6x〗2 〖2x〗25x+1 〖5x〗3+〖21x〗2+11x3 〖5x〗3+〖20x〗2+15x x24x3 x24x3 0 Phép chia trong trường hợp này có dư bằng 0, ta được thương là 〖2x〗25x+1. Khi đó ta có: 〖2x〗4〖13x〗3+〖15x〗2+11x3∶(x24x3)=〖2x〗25x+1. Khi đó, phép chia có dư bằng 0 là phép chia hết. Định lí BơDu (Bezout): Trong phép chia đa thức thì trường hợp đơn giản nhất xong quan trọng nhất và nhiều ứng dụng nhất là trường hợp chia hết cho đa thức xc, với c∈P. Định lí sau đây sẽ cho ta biết ngay cách tìm dư trong phép chia đó. Định lí BơDu: Dư của phép chia đa thức f(x) cho xc là giá trị f(c). Chứng minh: Theo định lí về phép chia có dư, ta có: f(x)=(xc).q(x)=r(x) Trong đó: r(x)=0 hoặc deg(r(x))=0 (Vì bậc của xc là 1), nghĩa là r(x) là 1 hằng số thuộc trường P. Mặt khác ta có: f(c)=(cc).q(c)+r(c)=>f(c)=r(c) Mà r(x) là đathứchằng, có giá trị tại c bằng f(c) nên r(x)=f(c) hay số dư là hằng số f(c). Hệ quả: f(x) chia cho (xc) khi và chỉ khi f(c)=0, nghĩa là c là nghiệm của f(x). Ví dụ: Tìm số dư của phép chia đa thức f(x)= 〖2x〗3〖3x〗2+x+1 cho x1. Giải: Theo định lí Bơdu ta có số dư của phép chia f(x) cho x1 đúng bằng f(1). Có f(1)=〖2.1〗3〖3.1〗2+1+1=23+1+1=1 Vậy số dư của phép chia đa thức f(x) cho x1 bằng 1. Sơ đồ Hoocne (Horner): Là thuật toán cho phép ta tìm nhanh thương và dư trong phép chia một đa thức f(x) bất kì cho xc. Giả sử: f(x)=a_0 xn+a_1 x(n1)+⋯+a_0 Chia f(x) cho xc ,ta được thương q(x)có bậc n1, q(x)=b_0 x(n1)+b_1 x(n2)+⋯+b_(n1) Và dư là hằng số r∈P, nghĩa là: a_0 xn+a_1 x(n1)+⋯+a_n=(xc)(b_0 x(n1)+b_1 x(n2)+⋯+b_(n1) )+r Dùng phương pháp hệ số bất định, ta có 〖 a〗_o=b_0 〖 b〗_0=a_0 a_1=b_1cb_(0 ) b_1=〖cb〗_0+a_1 a_2=b_2cb_█(1 ) b_2=〖cb〗_1+a_2 …………… Từ đó suy ra ………….. a_k=b_kcb_(k1 ) b_k=〖cb〗_(k1)+a_k …………... …………. a_n=b_ncb_(n1 ) b_n=〖cb〗_(n1)+a_n Dãy đẳng thức truy hồi đó được trình bày trong sơ đồ sau gọi là sơ đồ Hoocne: a_0 a_1 … a_k … a_n c b_0=a_o b_1 … b_(k1) b_k … r Quy tắc: Mỗi phần tử ở dòng dưới bằng tích của c với phần tử đứng ngay trước nó cộng với phần tử tương ứng ở dòng trên. Cách nhớ : Nhân ngang cộng chéo. Ví dụ 1: Tìm đa thức thương và dư của phép chia đa thức f(x)=x3〖5x〗2+8x4 cho x2 mà không cần thực hiện phép chia. Giải: Sử dụng sơ đồ Hoocne , ta có: f(x) 1 5 8 4 2 1 3 2 0 Vậy đa thức thương là 〖q(x)=x〗23x+2 và dư là 0. Ví dụ 2: Tìm đa thức thương và dư của phép chia đa thức f(x)=x4x2+2x3 cho x+1 mà không cần sử dụng phép chia. Sử dụng sơ đồ Hoocne ta có: f(x) 1 0 1 2 3 1 1 1 0 2 5 Vậy đa thức thương là q(x)=x3x2+2 và dư r(x)=5. Tổng quát: V. Bài tập Tìm những đa thức còn thiếu trong bảng sau. Trong phép chia f(x):g(x) với q(x) là thương, r(x) là số dư. f(x) x2x7 〖x3x〗22x2 x2+3x5 g(x) x3 x+3 x q(x) x2+2x+3 x1 x+3 r(x) 2x+1 5 0 Thực hiện các phép chia f(x) cho g(x) dưới đây. f(x)=〖4x〗4+〖4x〗3 〖13x〗25x+3 ; g(x)=2x3 f(x)=〖5x〗22x+1 ; g(x)=3x2 Cho 2 đa thức sau: f(x)=x4x3 〖+6x〗2x+a g(x)=x+5 Tìm giá trị của a để f(x)⋮g(x). Dùng sơ đồ Hoocne tìm thương và số dư của các phép chia sau. (6x2+13x5):(x+5) (x52x4+x32x2+x1):(x+1) Tìm số dư sau của phép chia sau mà không cần thực hiện phép chia. 〖(x〗2+2x3):(x3) (x4+3x25x+7):(x+1) (x2016+〖2x〗2015+4x2014):(x1)
Trang 1PHÉP CHIA ĐA THỨC
I Phép chia có dư.
1 Định lý: f , gϵPϵPP [x ], gϵP ≠ 0
¿ >∃ !q , r ∈ P[x]¿ f =gϵP q+r
với 0 ≤ degϵP (r )< degϵP (gϵP)
2 Định nghĩa : , gϵPϵPP[x] , gϵP ≠ 0
Nếu cóq ,r ∈ P[x] để f =gϵP q+r
Với 0 ≤ degϵP (r )< degϵP (gϵP) thì f ⋮ gϵP=q dư r
3 Ví dụ :
VD1: Cho 2 đa thức f ( x )=x2
+x−1 và gϵP ( x )=x +2 Ta thực hiện phép chia f (x)
cho gϵP(x ) như sau:
x2
x2+2 x x−1
−x−1
−x−2
1
Vậy x2+x−1=( x +2) (x−2)+ 1 Phép chia trong trường hợp này dược gọi là phép chia có dư, 1 gọi là dư
VD2: Cho 2 đa thức f ( x )=3 x3+5 x2+4 x +6 và gϵP ( x )=2 x2−x+1 Ta thực hiện phép chia
f (x) cho gϵP(x ) như sau:
3 x3+5 x2+4 x +6 2 x2−x+1
3 x3− 3
2x
2
+ 3
2x 32x +13
4
132 x2+ 5
2x +6
132 x2− 13
13 4
Trang 2Vậy 3 x3 +5 x 2 +4 x +6=(2 x2
−x+1)(32x+
13
4 )+ 23
11
4 Phép chia trong trường hợp này được gọi là phép chia có dư, 234 x +11
4 gọi là dư
II Phép chia hết.
1 Định nghĩa : f , gϵPϵPP [x ], gϵP ≠ 0
Nếu cóq ,∈ P[x] sao cho f =gϵP q thì f ⋮ gϵP
Ta có: f : gϵP=q
Khi đó: f là bội của gϵP hay gϵP là ước của f
2 Tính chất:
TC1: f ( x ) ⋮ gϵP ( x ) , gϵP ( x )⋮ h ( x )=¿ f (x)⋮ h(x)
TC2:f ( x ) ⋮ gϵP ( x )=¿ f (x ) k ( x) ⋮ gϵP ( x )với k (x) ∈ P[ x]
TC3:{gϵP (x)⋮ h(x) f (x )⋮ h(x ) =>f (x) ∓ gϵP (x)⋮h(x)
TC4: {f (x )⋮ h(x )
gϵP (x)⋮ k (x)=>f ( x ) gϵP ( x )=h( x ) k (x)
3 Ví dụ:
VD1: Cho 2 đa thức: f ( x )=2 x4−13 x3+15 x2+11 x−3
gϵP ( x )=x2 −4 x−3
Tính f ( x ) chia cho gϵP ( x ).
Ta thực hiện phép chia f (x) cho gϵP(x ) như sau:
2 x4−13 x3+15 x2+11 x−3 x2−4 x−3
2 x4−8 x3−6 x2 2 x2−5 x +1
−5 x 3
+21 x2
+11 x−3
−5 x3+20 x2+15 x
x2 −4 x−3
x2−4 x−3
0
Trang 3Phép chia trong trường hợp này có dư bằng 0, ta được thương là 2 x2 −5 x +1 Khi đó
ta có: 2 x4 −13 x 3
+15 x2
+11 x−3 :(x2 −4 x−3)=2 x 2 −5 x +1.
Khi đó, phép chia có dư bằng 0 là phép chia hết.
III Định lí BơDu (Bezout):
Trong phép chia đa thức thì trường hợp đơn giản nhất xong quan trọng nhất và nhiều ứng dụng nhất là trường hợp chia hết cho đa thức x−c, với c ∈ P Định lí sau đây sẽ cho ta biết ngay cách tìm dư trong phép chia đó
1 Định lí BơDu :
Dư của phép chia đa thức f ( x ) cho x−c là giá trị f (c )
Chứng minh: Theo định lí về phép chia có dư, ta có:
f ( x )=(x −c ) q ( x )=r( x )
Trong đó: r ( x )=0hoặc degϵP(r ( x ))=0 (Vì bậc của x−c là 1), nghĩa là r (x ) là 1 hằng số thuộc trường P Mặt khác ta có:
f ( c)=(c−c ) q (c )+r (c )=¿ f (c )=r (c)
Mà r (x ) là đa-thức-hằng, có giá trị tại c bằng f (c ) nên r (x )=f (c ) hay số dư là hằng số f (c )
2 Hệ quả: f (x) chia cho ¿) khi và chỉ khi f ( c)=0, nghĩa là c là nghiệm của f (x)
3 Ví dụ: Tìm số dư của phép chia đa thức f ( x )=¿2 x3−3 x2+x +1 cho x−1.
Giải:
Theo định lí Bơdu ta có số dư của phép chia f ( x ) cho x−1 đúng bằng f (1)
Có f (1)=2.13−3.12+1+1=2−3+1+1=1
Vậy số dư của phép chia đa thức f ( x ) cho x−1 bằng 1
IV Sơ đồ Hoocne (Horner):
Là thuật toán cho phép ta tìm nhanh thương và dư trong phép chia một đa thức
f (x) bất kì cho x−c
Giả sử:f ( x )=a0x n
+a1x n−1
+…+a0
Chia f ( x ) cho x−c ,ta được thươngq (x)có bậc n−1 ,
q ( x )=b0x n −1+b1x n−2+…+b n−1
Trang 4a0x n
+a1x n−1
+…+a n=(x−c )(b0x n−1
+b1x n−2
+…+ b n−1)+r
Dùng phương pháp hệ số bất định, ta có
a o=b0 b0=a0
a1=b1−c b0 b1=cb0+a1
a2=b2−c b1
¿ b2=cb1+a2
……… Từ đó suy ra …………
a k=b k−c b k−1 b k=cb k−1+a k
………… …………
a n=b n−c b n−1 b n=cb n−1+a n
Dãy đẳng thức truy hồi đó được trình bày trong sơ đồ sau gọi là sơ đồ Hoocne:
a0 a1 … a k … a n
c b0=a o b1 … b k−1 b k … r
Quy tắc: Mỗi phần tử ở dòng dưới bằng tích của c với phần tử đứng ngay trước nó
cộng với phần tử tương ứng ở dòng trên
Cách nhớ : Nhân ngang cộng chéo.
Ví dụ 1: Tìm đa thức thương và dư của phép chia đa thức
f ( x )=x3 −5 x 2
Giải: Sử dụng sơ đồ Hoocne , ta có:
f ( x ) 1−5 8−4
2 1−3 2 0
Trang 5Vậy đa thức thương là q ( x )=x2 −3 x +2 và dư là 0.
Ví dụ 2: Tìm đa thức thương và dư của phép chia đa thức
f ( x )=x4
−x2
Sử dụng sơ đồ Hoocne ta có:
f ( x ) 10−1 2−3
−1 1−1 0 2−5
Vậy đa thức thương là q ( x )=x3
−x2 +2 và dư r ( x )=−5
*Tổng quát:
V Bài tập
1 Tìm những đa thức còn thiếu trong bảng sau Trong phép chia f ( x ) :gϵP (x) với
q ( x ) là thương, r ( x ) là số dư
+3 x −5
q (x) x2
2 Thực hiện các phép chia f ( x ) cho gϵP(x ) dưới đây
a f ( x )=4 x4+4 x3−13 x2−5 x+ 3 ; gϵP ( x )=2 x−3
b f ( x )=5 x2−2 x+ 1 ; gϵP ( x )=3 x−2
3 Cho 2 đa thức sau:
f ( x )=x4−x3+6 x2−x +a
gϵP ( x )=−x +5
Tìm giá trị của a để f ( x ) ⋮ gϵP( x)
4 Dùng sơ đồ Hoocne tìm thương và số dư của các phép chia sau
Trang 6b (x5−2 x4+x3−2 x2+x−1¿:(x +1)
5 Tìm số dư sau của phép chia sau mà không cần thực hiện phép chia
a (x¿¿2+2 x −3):(x −3)¿
b (x4+3 x2−5 x+7):( x+1)
c (x2016 +2 x 2015 +4 x 2014
¿:(x−1)