Tính chất 4.3: Một ánh xạ tuyến tính : EFtừ không gian véc tơ Euclide thực E vào không gian véc tơ Euclide thực F là ánh xạ tuyến tính trực giao khi và chỉ khi ảnh của một cơ sở trực
Trang 1Bài giảng số 4 PHÉP BIẾN ĐỔI TRỰC GIAO
I Tóm lược lý thuyết
Định nghĩa 4.1: Ánh xạ tuyến tính : EF giữa các không gian véc tơ Euclide
E và F gọi là trực giao nếu nó bảo tồn tích vô hướng, nghĩa là:
( ), ( )x y x y,
với mọi x y, E.
Tính chất 4.2: Một ánh xạ tuyến tính : EFtừ không gian véc tơ Euclide
thực E vào không gian véc tơ Euclide thực F là ánh xạ tuyến tính trực giao khi và
chỉ khi ( )x x , x E
Tính chất 4.3: Một ánh xạ tuyến tính : EFtừ không gian véc tơ Euclide
thực E vào không gian véc tơ Euclide thực F là ánh xạ tuyến tính trực giao khi và chỉ khi ảnh của một cơ sở trực chuẩn của E qua ánh xạ tuyến tính là một cơ sơ
trực chuẩn của F
Tính chất 4.4: Ánh xạ tuyến tính trực giao : EF luôn là một đơn cấu
Tính chất 4.5: Tích của các phép biến đổi trực giao là một phép biến đổi trực giao
Định nghĩa 4.6: Một phép biến đổi tuyến tính của không gian véc tơ Euclide
thực E được gọi là phép biến đổi trực giao nếu ( ), ( )x y x y, với mọi
,
x yE
Nhận xét 4.7:
a) Một phép biến đổi tuyến tính của không gian véc tơ Euclide thực E là
phép biến đổi trực giao khi và chỉ khi ( )x x , x E
b) Một phép biến đổi tuyến tính của không gian véc tơ Euclide thực E là phép biến đổi trực giao khi và chỉ khi ảnh của một cơ sở trực chuẩn của E qua
phép biến đổi là một cơ sở trực chuẩn của E
Tính chất 4.8: Mọi phép biến đổi trực giao đều là đẳng cấu (song ánh tuyến tính)
Tính chất 4.9: Nếu A là ma trận của phép biến đổi trực giao trong một cơ sở
trực chuẩn của E thì A là ma trận trực giao
Tính chất 4.10: Tập các phép biến đổi trực giao của không gian véc tơ Euclide E làm thành một nhóm gọi là nhóm biến đổi trực giao của E
Định nghĩa 4.11: Cho F là không gian con của không gian véc tơ Euclide E Phép biến đổi tuyến tính p của E được gọi là phép chiếu trực giao lên không gian con F dọc F
nếu Im p = F và ker p F
Trang 2Nhận xét 4.12: Nếu p là phép chiếu trực giao lên F thì ta có p 2 = p với mọi xF.
Định nghĩa 4.13: Phép biến đổi tuyến tính của không gian véc tơ Euclide thực
Tính chất 4.14: Ma trận của phép biến đổi đối xứng của E trong một cơ sở
trực chuẩn nào đó là một ma trận đối xứng
Tính chất 4.15: Nếu , là hai giá trị riêng phân biệt của phép biến đổi đối xứng
của E thì các giá trị riêng tương ứng của , là trực giao với nhau
Tính chất 4.16: Mỗi phép biến đổi đối xứng của không gian véc tơ Euclide thực
E có ít nhất một véc tơ riêng
II Các ví dụ minh hoạ
Ví dụ 1:
:
là một ánh xạ xác định bởi : 5 1 , 8 4
Hỏi ánh xạ có là phép biến đổi trực giao không? Tìm ma trận của trong cơ sở chuẩn tắc của 2 Hãy mô tả dạng hình học của ánh xạ
Giải:
Gọi cơ sở chuẩn tắc của 2 là {e1, e2 }, khi đó ta có:
Theo giả thiết ta có:
Giải hệ phương trình trên ta có:
( )
( )
Vậy ma trận của trong cơ sở trực chuẩn {e1, e2} có dạng:
13 13
13 13
A
E y x y
x y
Trang 3Dễ thấy các véc tơ cột của A tạo thành một cơ sở trực chuẩn của 2 nên A là ma
trận trực giao Vậy là phép biến đổi trực giao
Ví dụ 2:
Cho E là không gian véc tơ Euclide hữu hạn chiều Giả sử aE là véc tơ đơn vị Xét ánh xạ : EE xác định bởi ( )x x 2 a x, a
1) Chứng minh rằng là một phép biến đổi trực giao
2) Chứng minh rằng Id E
3) Thử lại rằng ( )a a và ( )x x với mọi
x a vE:v a, 0
4) Hãy tìm ma trận của khi E = 3 và ( 1 , 1 , 1 )
hướng chuẩn tắc
Giải
1) Dễ thấy là một phép biến đổi tuyến tính vì
với mọi x y, E, , , ta có:
( ) ( )
Với mọi x y, E, xét tích vô hướng:
Vì a là véc tơ đơn vị nên a a, 1, vậy ta có:
Vậy là một phép biến đổi trực giao
2) Với mọi xE, ta có:
Trang 4( ) ( ( )) ( ) 2 , ( )
( )
E
x id x
Vậy Id E
3) ( )a a 2 a a, a a 2a a
Với mọi x a ta có: ( )x x 2 a x, ax (Vì <a, x> = 0)
4) Khi 3
,
E ta xét một cơ sở trực chuẩn {e1, e2, e3} của E Ta có:
1 1 2 2 2 3
3e 3e 3e
Tương tự, ta có: ( )2 2 1 1 2 2 3
Vậy ma trận của phép biến đổi trực giao có dạng:
A
Ví dụ 3:
Cho phép biến đổi tuyến tính f của 4xác định bởi:
f x( ) 1 1e 2e2 3 3e 4e4,
trong đó x1 1e 2e2 3 3e 4e4 là véc tơ tuỳ ý còn e e e e1, 2, 3, 4 là cơ sở chuẩn tắc của 4, f có là phép biến đổi trực giao không?
Giải:
Xét độ dài của véc tơ f x( ),ta có:
2
Trang 5= 2 2 2 2 2
f x( ) x Vậy f là phép biến đổi trực giao
Ví dụ 4:
Chứng minh rằng phép biến đổi trực giao trong 2hoặc là phép đồng nhất hoặc là phép đối xứng tâm O hoặc là phép đối xứng trục hoặc là một phép quay Chỉ ra rằng phép biến đổi trực giao trong 2 là tích của nhiều nhất hai phép đối xứng trục
Giải:
Xét một phép biến đổi tuyến tính trong 2, 2 2
f xác định bởi
f(x, y) = (ax +by, cx +dy) (với a, b, c, d là các số thực) Khi đó ma trận của f trong cơ sở chuẩn tắc {e1, e2 } có dạng:
a b A
c d
phép biến đổi f là trực giao khi và chỉ khi A là ma trận trực giao, tức là:
0 1 1
ab cd
(I)
Đặt: acos , csin và bcos , d sin, khi đó hệ (I) tương đương với
cos cos sin sin 0cos( )0
Với k 2n1, ta có cos sin , sin cos Khi đó ma trận A có dạng
sin cos
Với k 2 ,n ta có cos sin , sin cos Khi đó ma trận A có dạng:
cos sin
Biện luận:
+) Nếu k2 , ta có 1 0
0 1
A
1 0
0 1
A , khi đó các phép biến đổi trực giao tương ứng là phép đồng nhất và phép đối xứng qua trục Ox
Trang 6+) Nếu k2 , ta có 1 0
A
0 1
A
, khi đó các
phép biến đổi trực giao tương ứng là phép đối xứng tâm và phép đối xứng qua trục
Oy
+) Với các trường hợp khác thì phép biến đổi trực giao tương ứng với ma trận là phép quay tâm O góc quay , còn phép biến đổi trực
giao với ma trận tương ứng cos sin
là
tích của một phép đối xứng qua trục Ox và phép quay tâm O góc quay
Ví dụ 5:
Trong không gian véc tơ Euclide 3với cơ sở chính tắce e e1, 2, 3, cho phép biến đổi tuyến tính đối xứng 3
:
T 3, kí hiệu T u( ) Au, trong đó A là ma trận vuông cấp ba với hệ số thực và T thoả mãn các điều kiện:
i) T e e ( ),i i 0 với mọi i = 1, 2, 3;
ii) Ba véc tơ T e có độ dài bằng nhau; ( )i
iii) các thành phần toạ độ của T e là không âm ( )i
1) Chứng minh rằng ma trận A có dạng
0
0
a a
a a
2) Hãy tìm điều kiện của các thành phần toạ độ x, y, z của véc tơ u để T(u) trực giao với u Khi đó chứng minh rằng u tạo với véc tơ riêng ứng với trị riêng đơn của A một góc không đổi
Giải
1) Vì T là phép biến đổi tuyến tính đối xứng trong cơ sở chính tắc nên ma
trận của T trong cơ sở đó có dạng:
cos sin
sin cos
A
Trang 7Vì T e( ),i e i 0 (i1, 2, 3) nên ta có Ae e i, i 0 (i1, 2, 3)
Ae e b , Ae e2, 2 0 d =0 và Ae e3, 3 0 f 0
Theo (ii), ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 2
a c a e c e a c e Theo (iii) ta có: a c e Vậy ma trận của T có dạng:
0
0
a a
a a
2) Giả sử u x y z( , , ), khi đó ta có
0
xy yz zx
Đa thức đặc trưng của ma trận A có dạng:
0
2
a a
2a
là nghiệm đơn của đa thức đặc trưng
Toạ độ véc tơ riêng ứng với giá trị riêng 2a là nghiệm của hệ:
ax ax ax
Nghiệm riêng cơ bản của hệ là v(1, 1, 1)
Trang 8Góc giữa u v, thoả mãn:
, cos( , )
1
u v
Vậy góc giữa u và v là không đổi
Ví dụ 6:
Cho p là một phép chiếu của E , khi đó các tính chất sau là tương đương: i) p là một phép chiếu trực giao
ii)
Giải:
( )i ( )ii
Giả sử p là một phép chiếu trực giao nghĩa là p p pvà Ker p( ) (Im( ))p
( , )x y E , ta có:
p x y( ), p x y( ), p y( ) p x( ), ( )p y p x( ), ( )p y
(vì p x( )Im( )p và y p y( )ker( )p )
Tương tự: x p y, ( ) x p x( ), ( )p y p x( ), ( )p y p x( ), ( ) ,p y
do đó: x p y, ( ) p x y( ),
( )ii ( )i
( , )x y E , x p y, ( ) p x( ), y
Khi đó với mọi ( , )x y Ker p( ) Im( ), p ta có:
Vậy p là một phép chiếu trực giao
III Bài tập tự giải
Bài 1: Trong không gian véc tơ Euclide 3
,
xét phép biến đổi tuyến tính của 3 xác định bởi:
( ,1 2, )3 ( 1 2 1 3, 1 1 1 2 1 3, 1 1 1 2 1 3)
(x, y) E2, p(x), y x, p(y)
Trang 9Chứng minh rằng là phép biến đổi trực giao Tìm ma trận của trong cơ sở chính tắc của 3 và hãy chéo hoá ma trận đó
Bài 2: Giả sử { ,e e e e e e là một cơ sở trực chuẩn của không gian véc tơ 1 2, 3, 4, 5, 6} Euclide E Chứng minh rằng A là một phép biến đổi tuyến tính trực giao của E
nếu:
Bài 3: Cho không gian véc tơ Euclide ba chiều E với cơ sở trực chuẩn { ,e e e 1 2, }3 Xét phép biến đổi tuyến tính f thoả mãn điều kiện:
( )
( )
( )
Tìm , , để f là phép biến đổi trực giao
Bài 4: Cho là tự đồng cấu của không gian véc tơ Euclide hữu hạn chiều E
Chứng minh sự tương đương của các mệnh đề sau:
i) là một phép chiếu trực giao
ii) và Ker( ) Im( ).
iii) và v( )v ( )v với v E
iv) v( )v Im( ), v E
Bài 5: Chứng minh rằng phép biến đổi tuyến tính 3 3
f xác định bởi biểu thức: f x y z( , , )( cosx ysin , sin x ycos , ) z là phép biến đổi trực giao