Chuyên đề 4 PHÉP CHIA ĐA THỨC A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Chia đơn thức A cho đơn thức B : Chia hệ số của A cho hệ số của B ; Chia luỹ thừa của từng biến trong A cho luỹ thừa của cùng biến đó trong B ; Nhân các kết quả với nhau. 2. Chia đa thức cho đơn thức : (A + B) : C = A : C + B : C 3. Chia đa thức A cho đa thức B. Cho A và B là hai đa thức tuỳ ý của cùng một biến (B 0), khi đó tồn tại duy nhất một cặp đa thức Q và R sao cho A = B.Q + R, trong đó R = 0 hoặc bậc của R nhỏ hơn bậc của B. Q gọi là đa thức thương và R gọi là dư trong phép chia A cho B. Nếu R = 0 thì phép chia A cho B là phép chia hết. KIẾN THỨC BỔ SUNG 1. Có thể dùng hằng đẳng thức để rút gọn phép chia : Ví dụ :
Trang 1Chuyên đề 4
PHÉP CHIA ĐA THỨC
A KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1 Chia đơn thức A cho đơn thức B :
- Chia hệ số của A cho hệ số của B ;
- Chia luỹ thừa của từng biến trong A cho luỹ thừa của cùng biến đó trong B ;
- Nhân các kết quả với nhau
2 Chia đa thức cho đơn thức : (A + B) : C = A : C + B : C
3 Chia đa thức A cho đa thức B
Cho A và B là hai đa thức tuỳ ý của cùng một biến (B 0), khi đó tồn tại duy nhất một cặp đa thức Q và R sao cho A = B.Q + R, trong đó R = 0 hoặc bậc của R nhỏ hơn bậc của B
Q gọi là đa thức thương và R gọi là dư trong phép chia A cho B
Nếu R = 0 thì phép chia A cho B là phép chia hết
KIẾN THỨC BỔ SUNG
1 Có thể dùng hằng đẳng thức để rút gọn phép chia :
Ví dụ :
Trang 2 3 3 2 2
A + B : A + B = A - AB + B
A - B : A - B = A + AB + B
2 2
A - B : A + B = A - B
2 Định lí Bê - du* :
Số dư trong phép chia đa thức f(x) cho (x - a) đúng bằng f(a)
Ví dụ : Nếu 4 3
- Số dư trong phép chia f(x) cho (x - 2) là f(2) = 1.0
- Số dư trong phép chia f(x) cho (x - 1) là f(1) = 0, nghĩa là f(x) chia hết cho (x - 1).,
3 Hệ quả của định lí Bê-đu :
Nếu a là nghiệm của đa thức f(x) thì f(x) chia hết cho (x - a)
Nếu đa thức f(x) nhận n số nguyên khác nhau a , a , , a1 2 n làm nghiệm thì f(x) chia hết cho (x - a )(x - a ) (x - a ).1 2 n
Người ta cũng chứng minh được rằng :
4 Áp dụng hệ quả của định lí Bê-du vào việc phân tích đa thức thành nhân tử Nếu
đa thức f(x) có nghiệm x = a thì khi phân tích f(x) thành nhân tử, tích sẽ chứa nhân
tử (x - a), nghĩa là f(x) = (x - a).q(x)
Trang 3Mở rộng : Nếu f(x) nhận n số nguyên khác nhau a , a , , a1 2 n làm nghiệm thì khi phân tích f(x) thành nhân tử, tích sẽ chứa các nhân (x - a )(x - a ) (x - a )1 2 n nghĩa
là f(x) = (x - a )(x - a ) (x - a ).q(x).1 2 n
B MỘT SỐ VÍ DỤ
Ví dụ 22 Cho A = 8x y - 12x5 n n+1y ; B= 24x y Xác định giá trị của n 4 n-1 3 N* để
A B
Giải
6
3 3
n
n
n n
Ví dụ 23 Xác định giá trị của a để đa thức
3
A = 2x - 54x + a chia hết cho đa thức B = x + 3 2
Giải
Cách 1: Thực hiện phép chia rồi buộc đa thức dư bằng đa thức 0
Trang 4 Cách 2: Phương pháp đồng nhất hệ số :
Vì 2x : x = 2x3 2 nên thương là đa thức bậc nhất có dạng 2x + b
2x - 54x + a = x + 6x + 9 2x + b với mọi x
2x - 54x + a = 2x + bx + 12x + 18x + 6bx + 9b với mọi x
Suy ra:
b + 12 = 0
b = -12
a = -108
a = 9b
Cách 3 : Phương pháp xét giá trị riêng của biến
vì 2x - 54x + a3 chia hết cho x + 3 2
Vì đẳng thức đúng với mọi x nên ta cho x = -3, được -54 + 162 + a = 0
Vì đẳng thức đúng với mọi x nên ta cho x = -3, được -54 + 162 + a = 0
<=> a = 54 - 162 = -108
Vậy với a = -108 thì A B
Trang 5Nhận xét Trong cách giải thứ ba tại sao ta cho x = -3 mà không cho x lấy các giá
trị khác ? Đó là vì khi x= -3 thì vế phải bằng 0, vế trái tính được dễ dàng, từ đó tìm được a
Vì thế phương pháp này gọi là phương pháp xét giá trị riêng của biến
Ví dụ 24 Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị của đa thúc
3 2
Giải
Vậy đa thức A không chia hết cho đa thức B Muốn cho giá trị của đa thức A chia hết cho giá trị của đa thức B thì 9 phải chia hết cho giá trị của 4x - 5 Suy ra 4x - 5 Ư(9)
Suy ra 4x - 5 {1 ; -1 ; 3 ; -3 ; 9 ; -9}
Trang 6Các giá trị 1,5 ; 0,5 ; 3,5 bị loại vì không phải là số nguyên Do đó x {1 ; 2 ; -1}
Ví dụ 25 Xác định các hệ số a và b để đa thức
A = x + 5x + ax + ba chia cho x - 2 dư 3 ; chia cho x + 2 dư -5
Giải
Vì A chia cho x + 2 dư -5 nên 3 2
2
Thay x = 2 vào (1) rồi thay x = -2 vào (2), ta được :
8 + 20 + 2a + b = 3 <=> b + 2a = -25<=>
-8 + 20 - 2a + b = -5 b -
a = 2a =
-2
a = -21
-1
Ví dụ 26 Tìm đa thức dư trong phép chia sau :
Giải Đa thức chia có bậc hai nên đa thức dư có bậc không quá 1 Vậy đa thức dư
có bậc nhất dạng ax + b
Cho x = 1 rồi x = -1 ta được : 8 = a + b <=> a = b = 4.
0 = -a + b
Vậy dư trong phép chia nói trên là 4x + 4
3 2
x105 + x90 + x75 + + x15 + 1 : x2 - 1
Trang 7Ví dụ 27. Phân tích đa thức thành nhân tử
Giải. Ta có f(2) = 16 - 40 + 40 - 40 + 24 = 0.
f(3) = 81 - 135 + 90 - 60 + 24 = 0.
Vậy x = 2, x = 3 là nghiệm của f(x).
Do đó f(x) = (x - 2)(x - 3).q(x), suy ra 2
q x = f x : x - 5x + 6 Làm tính chia ta được
C BÀI TẬP
1. Làm tính chia :
a) 21x y - 14x +2ym 3 m 2 : -7x ym 2 , với m N
c) 20 x - y n+2 + 15 x - y n+1 - 10 x - y
2 Tìm n N* để :
a) Đơn thức C = 1x y2n 5
2 chia hết cho đơn thức n+2 n+1
D = -3x y
b) Đa thức 8 n+3 n+1 n
M = 9x y - 15x y chia hết cho đơn thức n 6
N = 6x y -x4y3 : -x3y3; b)
Trang 8Cho biểu thức 3 2 2 3 2 2 5 2 3
P = 3x y - 6x y : 3xy + 10x y : 5x y Chứng minh rằng P luôn luôn có giá trị dương với mọi giá tri x 0, y 0.
3 Không làm tính chia, hãy tìm dư trong phép chia đa thức
cho các đa thức sau :
4 Làm tính chia bằng cách dùng các hằng đẳng thức đáng nhớ :
)
5 Tìm các giá trị của a để :
a) Đa thức 6x + 5ax - 4 chia cho đa thức (x - 2) còn dư 10. 2
đó giá trị nhỏ nhất của thương là bao nhiêu ?
6 Tìm các giá trị của a và b để đa thức A = 4x + ax + bx + 53 2 chia hết cho đa thức
2
B = x - x + 1.
7 Xác định các hệ số a, b để :
a) Đa thức x + 3x - 17x + ax + b4 3 2 chia hết cho đa thức x + 5x - 32
b) Đa thức x + 7x + ax + bx + 725 4 2 chia hết cho đa thức x - 2x + 43 2
a x - 12x + 48x - 64 : x - 8x + 16 ;
b x - 27 : x + 3x
Trang 98 Xác định các hệ số a và b để :
a) Đa thức 4x + ax + b3 chia cho đa thức x - 1 dư 2x - 3. 2
b) Đa thức 5x + 2x + ax + b3 2 chia cho đa thức x + 5 dư 1. 2
9 Tìm a và b để đa thức n n-1
f x = ax + bx + 1 chia hết cho đa thức x - l2 với n e N*.
10. Tìm các giá trị nguyên của x để :
a) Giá trị của đa thức A = 10x - 23x + 14x - 53 2 chia hết cho giá trị của đa thức
B = 2x - 3.
b) Giá trị của đa thức 4 3 2
A = 3x + 17x + 4x - 4x + 7chia hết cho giá trị của đa thức
B = 3x + 2.