Bài giảng số 4: Định lý - Chứng minh một bài toán hình học

Tương tự như hai góc có cạnh tương ứng vuông góc, hai góc có cạnh tương ứng song song bằng nhau nến cả 2 cùng nhọn hoặc cùng tù; chúng bù nhau nếu có 1 góc nhọn, 1 góc tù.. III.[r]

Bài giảng số 5:Định lí - Chứng minh một bài toán hình học

I KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1) Các định nghĩa

 Một tính chất được khẳng định bằng một suy luận là một định lí

 Mỗi định lí được phát biểu dưới dạng “Nếu…thì” Phần nằm giữa hai quan hệ từ “Nếu” và “thì” được gọi là giả thiết của định lí Phần nằm sau quan từ “thì” được gọi là kết luận của định lí

 Chứng minh định lí là suy luận từ những dữ kiện đã có ở giả thiết để khẳng định kết luận là đúng

2) Các bước chứng minh 1 bài toán hình học

 Bước 1: Chuyển từ ngôn ngữ thông thường sang ngôn ngữ hình học

 Bước 2: Vẽ hình chính xác

 Bước 3: Suy luận, tìm hướng chứng minh

 Bước 4: Trình bày lời giải

II CÁC VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1: Chứng minh rằng hai tia phân giác của góc kề bù thì vuông góc với nhau

GT



x 'Oyvà xOy kề bù

Ok là tia phân giác x 'Oy

Ol là tia phân giácxOy

KL kOl = 900

Chứng minh

x'Oy + xOy = 180 (Hai góc kề bù)

Ok là tia phân giác x 'Oy yOk 1x 'Oy

2

Ol là tia phân giác xOy yOl 1xOy

2

Vì tia Oy nằm giữa hai tia Ok và Ol ta có

*Nhận xét

- Định lý trên được phát biểu dưới dạng ngôn ngữ thông thường; việc vẽ hình, kí hiệu, ghi giả thiết kết luận chính là việc chuyển từ ngôn ngữ thông thường sang ngôn ngữ hình học

Ví dụ 2: Nêu giả thiết, kết luận và chứng minh đinh lí nếu một đường thẳng cắt hai

đường thẳng song song thì hai góc so le trong của chúng bằng nhau

GT a // b, c cắt a tại

A, c cắt b tại B

KL A1 B1

*Chứng minh

Giả sửA1  B1, qua A vẽ1 đường thẳng DE tạo với đường thẳng c một góc

1

DAB = B

Theo dấu hiệu nhận biết hai đường

thẳng song song ta có DE // b (vì DE và

b tạo với đường thẳng c hai góc so le

trong bằng nhau)

Nhưng theo tiên đề Ơclit thì qua A ta

chỉ vẽ được duy nhất 1 đường thẳng

song song với đường thẳng b DE // b

khi và chỉ kho DE trùng với đường

thẳng a

Vậy DAB = B 1hay A = B1 1

*Nhận xét:

- Cách chứng minh định lý khác với cách chứng minh ở Ví dụ 1 Đây là cách

chứng minh gián tiếp còn gọi là chứng minh bằng phản chứng: giả sử điều phải chứng minh là sai (A1  B1), coi giả sử này là giả thiết để suy luận chỉ ra một điều

vô lí (DE // b) dẫn đến điều phải chứng minh là đúng(DE trùng với a hay

1

DAB = B hay A = B1 1

Ví dụ 3: Chứng minh rằng nếu hai góc xAy và zBt có Ax // Bz; Ay // Bt thì

xAyzBt nếu cả hai góc cùng là góc nhọn hoặc góc tù, chúng bù nhau nếu góc này nhọn góc kia tù

Chứng minh

+ Trường hợp 1: xAy và zBt cùng nhọn

GT



xAy và zBt cùng nhọn,

Ax // Bz; Ay // Bt

KL xAy zBt

Chứng minh

Gọi D là giao điểm của Ay và Bz

Ta có: xAyD1(hai góc đồng vị) (1)

 

1

zBtD (hai góc đồng vị) (2)

Từ (1) và (2) suy ra xAyzBt

+ Trường hợp 2: xAy và zBt cùng tù

GT



xAy và zBt cùng tù

Ax // Bz; Ay // Bt

KL xAy zBt

Chứng minh tương tự trường hợp 1

+ Trường hợp 3: xAy nhọn và zBt tù

GT



xAy và zBt cùng nhọn,

Ax // Bz; Ay // Bt

KL xAy zBt

Chứng minh

Ta cóxAyD1(hai góc đồng vị) (1)

Mà zBt D1 180o(hai góc trong cùng phía) (2)

Từ (1) và (2) Suy ra xAy zBt

*Nhận xét

Hai góc xAy zBt;  còn được gọi là góc có cạnh tương ứng song song.Tương tự như hai góc có cạnh tương ứng vuông góc, hai góc có cạnh tương ứng song song bằng nhau nến cả 2 cùng nhọn hoặc cùng tù; chúng bù nhau nếu có 1 góc nhọn, 1 góc tù

III BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Bài 1: Vẽ hình và viết giả thiết , kết luận và chứng minh các định lí sau :

a.Nếu một đường thẳng cắt một trong hai đường thẳng song song thì nó cắt đường thẳng kia

b.Nếu một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì

nó cũng vuông góc với đường thẳng kia

Bài 2: Chứng minh định lý “Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau”

Bài 3: Chứng minh bài toán sau :

Gọi DI là tia phân giác của góc MDN Gọi EDKlà góc đối đỉnh của gócIDM Chứng minh rằng: GócEDK IDN

Bài 4: Cho hai đường thẳng AB và CD song song với nhau Một đường thẳng cắt

đường thẳng AB ở E, cắt đường thẳng CD ở F (Hai tiaEB và FD cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ EF) Trên một nửa mặt phẳng bờ CD không chứa AB vẽ tia Fy sao cho BEx = DFy < BEF  

Chứng minh Ex // Fy