Chuyen de dai so 8 PHEP CHIA DA THUC

Chuyen de dai so 8 PHEP CHIA DA THUC Chuyen de dai so 8 PHEP CHIA DA THUC Chuyen de dai so 8 PHEP CHIA DA THUC Chuyen de dai so 8 PHEP CHIA DA THUC Chuyen de dai so 8 PHEP CHIA DA THUC Chuyen de dai so 8 PHEP CHIA DA THUC Chuyen de dai so 8 PHEP CHIA DA THUC Chuyen de dai so 8 PHEP CHIA DA THUC Chuyen de dai so 8 PHEP CHIA DA THUC

Chuyên đề :Vài dạng bài tập khó về phép chia đa thức

Biên soạn : Tạ Phạm Hải

Giáo viên Trờng THCS Thị trấn Hng hà Thái bình

A Một số vấn đề về lý thuyết

1.Với đa thức nhiều biến số : Đa thức A đợc gọi là chia hết cho đa thức B khác đa thức không nếu có đa thức C sao cho A = BC

2 Với đa thức một biến số ta có định lý cơ bản sau đây :

• Định lý : Với hai đa thức bất kỳ f(x), g(x) và g(x) ≠ đa thức không, tồn tại duy nhất hai đa thức q(x) và r(x)sao cho:

f(x) = g(x).q(x) + r(x), với r(x) = 0, hoặc bậc r(x) < bậc g(x)

q(x) đợc gọi là thơng, r(x) đợc gọi là d

Nếu r(x) = 0 thì ta nói f(x) chia hết cho g(x) và ký hiệu f(x) g(x) Nếu r(x) ≠ 0 thì ta nói f(x) chia cho g(x) có d

• Định lý Bơdu : D trong phép chia đa thức f(x) cho x – a là một

số bằng f(a)

• Hệ quả : f(x) – f(a) chia hết cho x – a

• Đa thức không : là đa thức lấy giá trị bằng 0 với mọi giá trị của

biến số

• Đa thức với hệ số nguyên : Là đa thức có mọi hệ số đều là số

nguyên

B Phần bài tập :

I.Bài tập chứng minh chia hết

1.Với đa thức nhiều biến số : Để chứng minh đa thức A chia

hết cho đa thức B , ( B khác đa thức không ), ta phân tích A thành tích của đa thức B với một đa thức khác

Ví dụ1 : Chứng minh rằng a3 + b3 + c3 - 3abc chia hết cho a + b + c

Giải :

Ta có: a3 + b3 + c3 - 3abc = ( a + b )3 + c3 – 3abc – 3ab( a +

b ) =

= ( a + b + c )[( a + b )2 – ( a + b )c + c2 ] – 3ab( a + b + c )

= ( a + b + c )( a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca )

Vậy a3 + b3 + c3 - 3abc chia hết cho a + b + c

Ví dụ 2 : Cho x , y , z là những số nguyên dơng khác nhau

Chứng minh rằng :

( x – y)5 + ( y – z)5 + ( z – x)5 chia hết cho 5(x – y)(y – z)( z – x)

Giải :

Đặt x – y = a ; y – z = b ; z – x = c ta có a + b + c = 0 Bài toán trở thành :

Chứng minh rằng : Nếu a + b + c = 0 thì a5 + b5 + c5 Chia hết cho 5abc

Từ a + b + c = 0 ⟺ a + b = - c ⟺ ( a + b)5 = - c5

; ( a + b)3 = - c3

Ta có : a5 + b5 + c5 = ( a + b)5 + c5 – 5a4b – 10a3b2 – 10a2b3 – 5ab4

= - c5 + c5 – 5ab( a3 + 2a2b + 2ab2 + b3 ) = - 5ab[( a + b)3 – 3ab( a + b) + 2ab( a + b)] = - 5ab[ ( a +b)3 – ab(a+b)]

= - 5ab( - c3 + abc ) = 5abc( c2 – ab ) ⇒ đpcm

2.

Với đa thức một biến số : Để chứng minh f(x) chia hết cho

g(x) , g(x) khác đa thức không , có hai cách giải quyết :

• Cách 1 : Nh đa thức nhiều biến số

• Cách 2 : Dùng thuật toán chia cột dọc

• Cách 3 : Dùng định lý Bơdu ( nếu có thể )

Ví dụ : Chứng tỏ x3 – 6x2 + 11x – 6 chia hết cho x2 – 3x + 2

Giải :

Cách 1: x3 – 6x2 + 11x – 6 = x3 – 3x2 – 3x2 + 9x + 2x – 6 =

= x2( x – 3 ) – 3x( x – 3) + 2( x – 3 ) = ( x – 3 )( x2 – 3x + 2 ) Ta có đpcm

Cách 2 : Đặt thành cột dọc ta có x3 – 6x2 + 11x – 6 x2 – 3x + 2

x3 – 3x2 + 2x x – 3

- 3x2 + 9x – 6

- 3x2 + 9x – 6 0

Vậy x3 – 6x2 + 11x – 6 = ( x – 3 )( x2 – 3x + 2 ) ta có đpcm

Cách 3 : Ta có x2 – 3x + 2 = x2 – x – 2x + 2 = x( x – 1 ) – 2( x – 1)

= ( x – 1)( x – 2)

Đặt f(x) = x3 – 6x2 + 11x – 6 thì f(1) = 13 – 6.12 + 11.1 – 6 = 0 Vậy f(x) ( x – 1 )

f(2) = 23 – 6.22 + 11.2 – 6 = 8 – 24 + 22 – 6 = 0 Vậy f(x) ( x – 2 )

Mà x – 1 và x – 2 là hai đa thức không phân tích đợc ( Bất khả quy ) nên f(x) ( x – 1 )( x – 2 ) hay x2 – 3x + 2, đpcm

Chú ý : Nếu đa thức f(x) có ngiệm là a ; b thì f(x) chia hết

cho (x – a)(x – b)

II.Xác định điều kiện về hệ số để chia hết

a Với đa thức nhiều biến số

Ví dụ : Xác định m để với mọi x , y , z nguyên dơng ta có :

x3 + y3 + z3 + mxyz chia hết cho x + y + z

Giải :

Ta có : x3 + y3 + z3 + mxyz = x3 + y3 + z3 – 3xyz + 3xyz + mxyz

= ( x + y)3 + z3 – 3xy( x + y) – 3xyz + ( m + 3)xyz

= ( x + y + z)[( x + y)2 – ( x + y)z + z2 ] – 3xy( x + y + z ) + ( m + 3)xyz

= ( x + y + z )( x2 + 2xy + y2 – yz – zx – 3xy ) + ( m + 3 )xyz

= ( x + y + z )( x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx) + ( m + 3 )xyz

Vậy để x3 + y3 + z3 + mxyz chia hết cho x + y + z với mọi

x , y , z nguyên dơng thì (m + 3 )xyz phải chia hết cho x + y +

z với mọi x , y , z nguyên dơng ,⇒ m + 3 = 0 hay m = - 3

b.Với đa thức một biến số

Ví dụ1 : Xác định hệ số a để f(x) = x3 – 3x + a chia hết cho ( x – 1 )2

Giải :

Cách 1 : Dùng phép chia cột dọc x3 – 3x + a x2 – 2x + 1

x3 – 2x2 + x x + 2 2x2 – 4x + a

2x2 – 4x + 2

a – 2

Để x3 – 3x + a chia hết cho ( x – 1)2 thì a – 2 = 0 hay a = 2

Cách 2 : Dùng phơng pháp giá trị riêng :

Ta viết đợc : x3 – 3x + a = ( x – 1 )2 Q(x) , (1) , với Q(x) là một đa thức bậc nhất

Chọn x = 1, thay vào (1) ta đợc : 13 – 3.1 + a = 0 Từ đó ta đợc a =

2

Cách 3 : Phơng pháp hệ số bất định :

Giả sử x3 – 3x + a = ( x2 – 2x + 1)( x + b ) = x3 + ( b – 2 )x2 + ( 1 – 2b)x + b với mọi x , thế thì ta phải có b – 2 = 0

1 – 2b = - 3 ⟺ a = b = 2 Vậy a = 2

a = b

Ví dụ 2 : Xác định a , b để 5x4 + 6x3 + ax2 – 8x – 20 chia hết cho x2 + x – b

Giải :

Cách 1 : Đặt phép chia cột dọc ta có

5x4 + 6x3 + ax2 – 8x – 20 x2 + x – b

5x4 + 5x3 – 5bx2 5x2 + x + ( a + 5b – 1 )

x3 + ( a + 5b)x2 – 8x – 20

x3 + x2 – bx ( a + 5b – 1)x2 + ( b – 8)x – 20 ( a + 5b – 1)x2 + ( a + 5b – 1)x – b( a + 5b – 1)

( - a – 4b – 7)x + b( a + 5b – 1 ) – 20

Ta có R(x) = ( - a – 4b – 7)x + b( a + 5b – 1 ) – 20 Vậy ta phải

có R(x) là đa thức không , điều này tơng đơng với

- a – 4b – 7 = 0 ⟺ a = - 4b – 7 (1)

b( a + 5b – 1 ) – 20 = 0 ab + 5b2 – b – 20 = 0 (2)

Thay (1) vào (2) ta có b2 – 8b – 20 = 0 Từ đó tính đợc b = 10 hoặc b = - 2

Với b = 10 thì a = - 47 ; với b = - 2 thì a = 1

Cách 2 : Phơng pháp hệ số bất định :

Giả sử phân tích đợc 5x4 + 6x3 + ax2 – 8x – 20 = ( x2 + x – b) ( 5x2 + cx + d )

⟺ 5x4 + 6x3 + ax2 – 8x – 20 = 5x4 + cx3 + dx2 + 5x3 + cx2+ dx – 5bx2 – bcx – bd =

= 5x4 + ( c + 5)x3 + ( d + c – 5b)x2 + ( d – bc )x – bd

Đồng nhất hệ số ta có :

c + 5 = 6 c = 1 d = b – 8 b2 – 8b – 20

= 0

d + c – 5b = a ⟺ d – 5b + 1 = a ⟺ b – 8 – 5b + 1 = a ⟺

a = - 4b – 7

d – bc = - 8 d – b = - 8 ( b – 8)b – 20 = 0

bd = 20 bd = 20

Từ đó ta cũng tính đợc kết quả nh trên

III Tìm giá trị nguyên của biến số x để f(x) g(x)

Ví dụ 1 : Tìm các giá trị nguyên của n để giá trị của biểu thức

2n2+3n+3 chia hết cho giá trị của biểu thức (2n-1)

Giải :

Đặt phép chia:

2n2+3n+ 3 2n - 1 2n2-n n+2 4n+3

4n-2 5

Đa thức 2n2+3n+3 không chia hết cho đa thức (2n -1) nhng có

những giá trị nguyên của n để giá trị của 2n2+3n+3 chia hết cho giá trị của 2n-1

Khi đó (2n-1) phải là Ư(5)∈{ ±1; ±5}

2n-1=1 2n-1= -1 2n-1=5 2n-1= -5 n=1 n= 0 n=3 n= -2

Vậy với n∈{-2;0;1;3} thì giá trị của biểu thức 2n2+3n+3 chia hết cho giá trị của biểu thức (2n-1)

Chú ý : Có thể trình bày nh sau :

2n2 + 3n + 3 = 2n2 – n + 4n – 2 + 5 = n( 2n – 1) + 2( 2n – 1) + 5

= ( 2n – 1)( n + 2) + 5 Vậy 2n2 + 3n + 3 ( 2n – 1) với n nguyên khi 5 ( 2n – 1) hay 2n – 1 là ớc của 5 Phần còn lại giải nh trên

Ví dụ 2 : Tìm số nguyên x để :

( x4 – 16) chia hết cho ( x4 – 4x3 + 8x2 – 16x + 16 )

Giải :

Đặt A =

4

16

x

−

− + − + , bài toán trở thành : Tìm số nguyên x để biểu thức A lấy giá trị tơng ứng là số nguyên Ta có :

4

2

16

1

x A

−

Vậy A có giá trị nguyên khi x là số nguyên khác 2 và x – 2 là ớc của 4

Từ đó

x – 2 ∈ { } Ta tìm đợc x ∈ { 0 , - 2 , 1 , 3 , 4 , 6 }

Ví dụ 3 : Tìm tất cả các số nguyên x để ( x3 – 8x2 + 2x ) chia hết cho x2 + 1

Giải :

Ta có x3 – 8x2 + 2x = x3 – 8x2 + x – 8 + x + 8 = x2( x – 8 ) + ( x – 8) + ( x + 8 )

= ( x – 8 )( x2 + 1 ) + ( x + 8 )

Để x3 – 8x2 + 2x chia hết cho x2 + 1 với x nguyên thì x + 8 phải chia hết cho x2 + 1 với x nguyên Trớc hết ta thấy ngay x + 8 = 0 hay x = -

8 thỏa mãn Nếu x + 8 khác 0 thì điều kiện cần để x + 8 chia hết cho x2 + 1 với x nguyên là ׀ x + 8 ׀ ≥ x2 + 1

⟺

 + ≥ +  − − ≤

⇔

 + ≤ − −  + + ≤

Dễ thẫy x2 + x + 9 ≤ 0 vô nghiệm , nên chỉ cần xét x2 – x – 7 ≤

0 với x nguyên

x2 – x – 7 ≤ 0 ⟺ x2 – x ≤ 7 ⟺ x( x – 1 ) ≤ 7 với x nguyên

Nếu x ≥ 4 thì x(x – 1) ≥ 4.3 = 12 > 7 nên x ≤ 3

Nếu x ≤ - 3 thì x(x – 1) ≥ (- 3).( - 4) = 12 > 7 nên x ≥ - 2

Vậy x ∈ { - 2 ; - 1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 }

Thử lại :

x x + 8 x2 + 1 ( x + 8):(x2

+ 1) kết luận

- 2 6 5 6 : 5 loại

- 1 7 2 7 : 2 loại

0 8 1 8 : 1 Chọn

1 9 2 9 : 2 Loại

2 10 5 10 : 5 Chọn

3 11 10 11 : 10 Loại

Đáp số x ∈ { - 8 ; 0 ; 2 }

IV Xác định hệ số trong phép chia còn d

Ví dụ 1 : Xác định a và b sao cho 2x3 + ax + b chia cho x + 1 thì d – 6 và ki chia cho x – 2 thì d 21

Giải : Cách 1 : Đặt f (x) = 2x3 + ax + b áp dụng định lý Bơ du ta có f ( - 1)

= - 6 và f (2) = 21 Vậy:

3

3

2.2 2 21

a b



Cách 2 : Đặt phép chia cột dọc ( Bạn đọc tự chứng minh )

Ví dụ 2 : Tìm a , b , c sao cho ax3 + bx2 + c chia hết cho x + 2

và khi đem chia cho x2 – 1 thì d x + 5

Giải : Đặt f (x) = ax3 + bx2 + c ; áp dụng định lý Bơ du ta có f ( - 2) =

- 8a + 4b + c = 0 (1)

Mặt khác theo định lý cơ bản thì tồn tại đa thức Q(x) sao cho :

ax3 + bx2 + c = ( x2 – 1 )Q(x) + x + 5

Cho x = 1 ta đợc : a + b + c = 6 (2)

Cho x = - 1 ta đợc : - a + b + c = 4 (3)

Kết hợp (1) , (2) , (3) ta đợc :

Từ đó có đáp số của bài tập

Ví dụ 3 : Tìm đa thức f(x) biết f(x) chia cho x – 1 thì d 2 ;

chia cho x + 1 thì d 3 và chia cho x2 – 1 thì có thơng là 3x và còn d

Giải : Theo định lý Bơ du ta có f(1) = 2 và f(- 1) = 3

Mặt khác theo định lý cơ bản ta viết đợc : f(x) = ( x2 – 1).3x + ( ax + b) (1)

Thay x = 1 vào (1) ta có 2 = a + b

Thay x = - 1 vào (1) ta có 3 = - a + b

Từ đây dễ dàng tính đợc a = - 0,5 và b = 2,5

Vậy f(x) = ( x2 – 1).3x + ( ax + b) = 3x3 – 3x – 0,5x + 2,5 = 3x3

– 3,5x + 2,5

V Tìm d trong phép chia f(x) cho g(x)

Ví dụ 1 : Không thực hiện phép chia , hãy tìm d trong phép chia

f(x) = x81 + x27+ x9 + x3 + x cho

a g(x) = x – 1

b h(x) = x2 – 1

Giải :

a áp dụng định lý Bơ du ta có d trong phép chia f(x) cho x – 1 là f(1) = 5

b Theo định lý cơ bản ta viết đợc :

f(x) = x81 + x27+ x9 + x3 + x = ( x2 – 1).Q(x) + ( ax + b ) (1) Thay x = 1 vào (1) ta có : a + b = 5

Thay x = - 1 vào (1) ta có a – b = 5

Từ đây dễ dàng tính đợc a = 5 và b = 0 Vậy d trong trờng hợp này

là 5x

Ví dụ 2 : Giả sử đa thức f(x) chia cho x + 1 d 4 ; chia cho x2 +

1 d 2x + 3 Hãy tìm d trong phép chia f(x) cho ( x + 1)( x2 + 1 )

Giải :

áp dụng định lý Bơ du ta có f( - 1 ) = 4 (1)

áp dụng định lý cơ bản ta viết đợc :

f(x) = ( x + 1)( x2 + 1 )Q(x) + ax2 + bx + c (2) Thay (1) vào (2) ta có : a – b + c = 4 (3)

Mặt khác ta viết đợc :

f(x) = ( x + 1)( x2 + 1 )Q(x) + ax2 + bx + c

= ( x + 1)x2.Q(x) + ( x + 1)Q(x) + ax2 + bx + c

= x2[( x + 1)Q(x) + a ] + [( x + 1)Q(x) + a ] + bx + c – a

= [( x + 1)Q(x) + a ]( x2 + 1 ) + bx + c – a Vậy bx + c – a chính là d trong phép chia f(x) cho x2 + 1 nên bx+

c – a = 2x + 3

Đồng nhất hệ só ta có b = 2 và c – a = 3 (4) Kết hợp (3) và (4) ta tìm thêm đợc :

a = 1,5 và c = 4,5

Vậy d trong phép chia f(x) cho ( x + 1)( x2 + 1 ) là R(x) = 1,5x2 + 2x + 4,5

VI Bài tập luyện tập chuyên đề

Bài 1 Thực hiện các phép chia sau đây

1 ( x3 – 2x2 – 5x + 6 ) : ( x + 2 )

2 ( 2x4 – 21x3 + 74x2 – 105x + 50 ) : ( x2 – 3x + 2 )

3 ( x3 – 2x2 + 5x + 8) : ( x + 1 )

4 3x4 – 2x3 – 2x2 + 4x – 8 ) : ( x2 – 2 )

5 ( 2x3 – 2bx – 24 ) : ( x2 + 4x + 3 )

Bài 2 : Tìm a , b để

1 ( x4 + ax3 + bx – 1 ) chia hết cho ( x2 – 1 )

2 ( 6x4 – 7x3 + ax2 + 3x + 2 ) chia hết cho ( x2 – x + b )

3 ( x3 + 8x2 + 5x + a chia hết cho ( x2 + 3x + b )

4 ( x4 + ax2 + b ) chia hết cho ( x2 – 3x + 2 và hãy tìm đa thức thơng

5 ( x4 – 3x3 – 3x2 + ax + b ) chia hết cho ( x2 – 3x + 4 )

6 (x4 + x3 – x2 + ax + b ) chia hết cho ( x2 + x – 2 )

7 ( ax4 + bx3 + 1 ) chia hết cho ( x – 1 )2

8 ( x3 + ax2 + 2x + b ) chia hết cho ( x2 + x + 1 )

9 ( x4 – x3 – 3x2 + ax + b ) chia cho x2 – x – 2 thì có d là 2x – 3

10 ( x10 + ax3 + b ) chia cho x2 – 1 thì d 2x + 1

Bài 3 : Tìm a , b , c để

1 ( x4 + ax3 + bx + c ) chia hết cho ( x – 3 )3

2 ( x5 + x4 – 9x3 + ax2 + bx + c ) chia hết cho ( x – 2 )( x + 2)( x + 3)

3 ( 2x4 + ax2 + bx + c ) chia hết cho x – 2 và khi chia cho x2 – 1 thì d x

Bài 4 : Tìm d trong phép chia x + x3 + x9 + x 27 + x81 + x243 cho x2 – 1 Bài 5 : Chứng minh rằng ( x2 + x – 1 )10 + ( x2 – x + 1)10 chia hết cho

x – 1

Bài 6 : Cho đa thức f(x) Hãy tìm d trong phép chia f(x) cho x2 – 2x – 3 , biết rằng f(x) chia cho x + 1 thì d – 45 và chia cho x -3 thì d – 165 Bài 7 : Tìm đa thức f(x) biết :

1 f(x) chia cho x – 3 thì d 7 , chia cho x – 2 thì d 5 , chia cho ( x – 2)( x – 3) thì có thơng là 3x và còn d

2 f(x) chia cho x – 3 thì d 2 , chia cho x + 4 thì d 9 , Chia cho x2 +

x – 12 thì đợc thơng là x2 + 3 và còn d

3 f(x) có bậc 3 và thỏa mãn : f( - 1) = 0 và chia cho x – 1 , x + 2 , x + 3 đều d 8

4 f(x) có bậc 3 và thỏa mãn : f( - 1) = - 18 và chia cho x – 1 , x – 2 , x – 3 đều d 6

5 f(x) có bậc 3 và thỏa mãn : f(0) = 10 ; f(1) = 12 ; f(2) = 4 ; f(3) =

1

6 f(x) có bậc 2 và thỏa mãn : f(0) = 19 ; f(1) = 5 ; f(2) = 1995

7 f(x) có bậc 4 và thỏa mãn : f(0) = - 1; f(1) = 2; f(2) = 31; f(2) = 47

Bài 8 : Không thực hiện phép chia hãy tìm d trong các phép chia sau :

1 ( x5 + x + 1 ) chia cho ( x3 – x )

2 ( x100 + x99 + x98 + x97 + + x2 + x + 1 ) chia cho x2 – 1

3 x2 + x9 + x1996 chia cho x2 – 1

Bài 9 : Cho đa thức P(x) bậc 4 thỏa mãn : P(1) = 0 ; P(x) – P(x – 1) = x( x + 1)( 2x + 1)

1 Xác định P(x)

2 Suy ra cách tính tổng S = 1.2.3 + 2.3.5 + + n( n + 1)( 2n +

1 ) ,với n ∈ Z+