MỘT SỐ KĨ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔSII. Các dạng khác nhau của bất đẳng thức Côsi.[r]
Trang 1BÀI GIẢNG SỐ 2 MỘT SỐ KĨ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI
I Các dạng khác nhau của bất đẳng thức Côsi
1 Dạng tổng quát Cho n số không âm x , x , , x 1 2 n 0 Khi đó, ta có:
* Dạng trung bình cộng và trung bình nhân: 1 2 n n 1 2
n
x x x
x x x n
* Dạng tổng sang tích: 1 2 n 1 2
x x x n x x x
* Dạng tích sang tổng: 1 2 1 2
n n n
x x x
x x x
n
1 2
n n
x x x
n
Dấu “=” xảy rax1x2 xn
2 Dạng hai số Cho x, y 0 Khi đó, ta có:
* xy2 xy
*
2 2
x y
xy
;
2
xy
3 Dạng ba số Cho x, y, z 0 Khi đó, ta có:
* x y z 33xyz
*
3 3
x y z
xyz
;
3
xyz
II Một số kỹ thuật
1 Kĩ thuật phân tích số mũ
Ví dụ 1:
1 Cho a, b, c 0 Chứng minh rằng
a a3 + b3 + c3 a2b + b2c + c2a
b a3b3c3 a2 bcb2 cac2 ab
Lời giải
a Có a a b 33 a3a3b3 3a2b
Cosi 3 3
3 2a3 + b3 3a2b
Tương tự, ta có: 2b3 + c3 3b2c, 2c3 + a3 3c2a
Trang 2 3(a3 + b3 + c3) 3(a2b + b2c + c2a) a3 + b3 + c3 a2b + b2c + c2a (đpcm)
Dấu “=” xảy ra a3 = b3 = c3 a = b = c
b Có a a a a b c 66 a12b3c3 6a2 bc
Cosi 3 3 3 3 3
3
Tương tự, ta có: b3c3a3 b2 ca, c3a3b3 c2 ab
) ab c ca b bc a ( 6 ) c
b
a
(
Dấu “=” xảy ra a3 = b3 = c3 a = b = c
Ví dụ 2:
a Cho a, b, c, d > 0 Chứng minh rằng a b c d
a
d d
c c
b b
a
2 3 2 3 2 3 2
3
b Cho x, y, z > 0, x + y + z 1 Chứng minh: 1
x
z z
y y
x
4 5 4 5 4
5
Lời giải
b
a 3 b b
b
a
3 2
3 Cosi 2
3
b
a
2
3
Tương tự, ta có: b c
c
b
2
3
d
c
2
3
a
d
2
3
a
d d
c
c
b
b
a
2 3 2
3
2
3
2
3
Dấu “=” xảy ra a = b = c = d
y
x x 5 y y y y y
x 5 y y y y
y
x
4
5 5
4
5 Cosi 4
5
x
z , z 4 y z
y
4 5 4
5
x
z z
y y
x
4 5 4 5 4
5
Ví dụ 3:
Cho a, b, c 0 và a + b + c = 3 Chứng minh rằng
a a3 + b3 + c3 3 c 3 a 3 b 3 c 3
b a9 + b9 + c9 a3 + b3 + c3 d 5 a 5 b 5 c 3
Lời giải
a Có a3 1 1Cosi33 a3.1.1 a a3 a 2
Tương tự, ta có: b3 3b – 2, c3 3c – 2
Trang 3 a3 + b3 + c3 3(a + b + c) – 6 = 3 3 – 6 = 3 đpcm
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1
b Có a9 1 1Cosi33 a9.1.1 a3 a9 a3 2
Tương tự: b9 3b3 – 2, c9 3c3 – 2 a9 + b9 + c9 3(a3 + b3 + c3) – 6 =
= a3 + b3 + c3 + 2(a3 + b3 + c3 – 3)
) a (
a3 + b3 + c3 + 2(3 – 3) = a3 + b3 + c3 (đpcm) Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1
c Có
3
2 a a 3
2 a 3
1 1 a 1 1 a
Tương tự, ta có:
3
2 c c , 3
2 b
3 3
6 3 3
6 c b a c b
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1
d Có
5
4 a a 5
4 a 5
1 1 1 1 a 1 1 1 1 a
Tương tự:
5
4 c c , 5
4 b
5
12 3 5
12 c b a c b
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1
2 Kĩ thuật đổi biến số
Ví dụ 4:
(BĐT Nesbitt ra đời 1905 với 45 cách chứng minh) Cho a, b, c > 0 Chứng minh
2
3 b a
c a c
b c b
a
Lời giải
Đặt x = b + c > 0, y = c + a > 0, z = a + b > 0 x + y + z = 2(a + b + c)
2
z y x c , 2
y z x b , 2
x z y a 2
z y x
c
b
) 2 ( 6 z
y z
x y
x y
z x
z x
y 2
3 z
2
z y x y
y x z
x
2
x
z
y
Trang 4Có 6VP(2)
z
y z
x y
x y
z x
z x
y 6
)
2
(
Cosi
(2) đúng đpcm
Ví dụ 5:
[YHP – 2000] Cho ABC Chứng minh
3 c b a
c b
a c
b a
c b
a
Lời giải
Đặt x = b + c – a > 0, y = c + a – b > 0, z = a + b – c > 0
x + y + z = a + b + c
2
y x c , 2
x z b , 2
z y
6 z
y z
x y
x y
z x
z x
y 3 z 2
y x y
x
z
x
2
z
y
(2)
z
y z
x y
x y
z x
z x
y 6
)
2
(
Cosi
(2) đúng đpcm
3 Kĩ thuật ghép nghịch đảo
Biến đổi về
a) (x y)(1 1) 4 x 0, y 0
b) (x y z)(1 1 1) 9 x 0, y 0, z 0
n
Ví dụ 6 :
(BĐT Nesbitt ra đời 1905 có 45 cách chứng minh)
Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng
2
3 b a
c a c
b c b
a
Lời giải
2
3 3 ) 1 b a
c ( ) 1 a c
b ( ) 1
c
b
a
(
)
1
2
9 b a
c b a a c
c b a c b
c b a
2
9 ) b a
1 a c
1 c b
1 )(
c
b
a
b a
1 a c
1 c b
1 )(
c 2 b a 2
Trang 5 9
b a
1 a c
1 c b
1 ) b a ( ) a c
(
)
c
b
b a
1 a c
1 c b
1 3 ) b a )(
a c )(
c b
(
3
Cosi
đpcm Dấu “=” xảy ra khi a = b = c
Ví dụ 7:
Cho tam giác ABC Chứng minh rằng
3 c b a
c b
a c
b a
c b
a
Lời giải
c b a
c 2 b a c
b a
c
b
a 2
)
1
9 ) 1 c b a
c 2 ( ) 1 b a c
b ( ) 1 a
c
b
a
2
9 ) c b a
1 b
a c
1 a
c b
1 )(
c
b
a
c b a
1 b
a c
1 a
c b
1 ) c b a ( ) b a c ( )
a
c
b
VP 9 c b a
1 b a c
1 a c b
1 3 ) c b a )(
b a c )(
a c
b
(
3
Cosi
Vậy bài toán được chứng minh
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c ABC đều
4 Kĩ thuật ghép cặp đôi
2
1 ) z y ( 2
1 ) y x ( 2
1 z y
Ví dụ 8:
Cho a, b, c > 0, a2 + b2 + c2 = 1 Chứng minh
c
ab
b
ca
a
bc
c
ab
b
ca
a
bc
Trang 6Lời giải
a) Có
Cosi
) a
bc c
ab ( 2
1 ) c
ab b
ca ( 2
1 ) b
ca a
bc (
2
1
a
bc c
ab 2 2
1 c
ab b
ca 2 2
1 b
ca
a
bc
2
2
1
đpcm
c
b a b
a c a
c b ) c
ab b
ca
a
bc
2 2 2
2 2 2
2 2 2
Cosi 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2
2
2
2
2
2 ) a
c b c
b a ( 2
1 ) c
b a b
a c ( 2
1 ) b
a c a
c b ( 2
1 2 c
b a b
a
c
a
c
b
3 2 ) c b a ( 2 a
c b c
b a 2 2
1 c
b a b
a c 2 2
1 b
a c
a
c
b
2
2
2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2
2
c
ab b
ca
a
bc
2) Chứng minh mọi x, ta có: x x x x x x
5 4 3 ) 3
20 ( ) 4
15 ( ) 5
12
Có x xCosi x )x 2.3x
4
15 ( ) 5
12 ( 2 ) 4
15
(
)
5
12
x x
x Cosi
x
x
5 2 ) 3
20 ( ) 4
15 ( 2 )
3
20
(
)
4
15
4 2 ) 5
12 ( ) 3
20 ( 2 ) 5
12 ( ) 3
20
5 4 3 2 ) 3
20 ( ) 4
15
(
)
5
12
(
3
20 ( ) 4
15 ( ) 5
12
5 Kĩ thuật kiểm tra dấu bằng
Ví dụ 9:
Cho a, b, c 0 và a + b + c = 1 Chứng minh
a)
9
1 c b
a3 3 3
b) 3 a 3 b 3 c 3 9
c) 3(a4 + b4 + c4) a3 + b3 + c3
Trang 7Lời giải
a) Có
27
2 3
a a 9
a 3 ) 3
1 ( ) 3
1 ( a 3 ) 3
1 ( )
3
1
(
Cosi 3 3
3
Tương tự:
27
2 3
c c , 27
2 3
b
b3 3
9
1 9
2 3
1 27
6 3
c b a c
b
3
2 a ( 3
9 a ) 3
2 a ( 3
9 ) 3 3
1 3
1 a ( 9 3
1 3
1 a 9
a
3 3 3
3 Cosi 3
3
3
2 c ( 3
9 c ), 3
2 b ( 3
9 b
3 3 3
3 3
3
3
6 c b a ( 3
9 c b
c) Có
81
1 3
a 4 a 3 3
a 4 ) 3
1 ( a a a 4 ) 3
1 ( a a
a
3 4 3
Cosi 4 4 4
4
Tương tự:
81
1 3
c c , 81
1 3
b b
3 4 3
4
) a ( 3 3 3 3
3 3 3
3 3 4
4
9
1 c b a ( 3
1 ) c b a ( 81
3 ) c b a ( 3
4 ) c b
a
(
c b a ) 9
1 9
1 ( 3
1 ) c
b
a
Ví dụ 10:
Cho ABC vuông ở C Chứng minh rằng
a)
B
B cos
A
A
b)
B
B cos A
A
Lời giải
Do ABC vuông ở C
2 B
A cos2A + cos2B = cos2A + sin2A = 1
a) Có
2
1 A 2 A
A cos 3 2
1 A 2 A
A
3
2
6 Cosi
2 6
2
1 A 2 A cos
3
A
A
cos
2 2
6
Trang 8Tương tự:
2
1 B 2 B cos 3 B
B cos
2
2 6
B
B cos
A
A
cos
2 2
2 6
6
B
B cos A
A cos 1 1 2
2
2
Vậy bài toán được chứng minh
Dấu “=” xảy ra
4 B
b) Có
Cosi 2
2
5 5
2
1 2 A 2 2 A 2 A
A cos A
A
cos
A cos 2 5 2
1 2 A 2 2 A 2 A
A cos
A
A
cos
2 2
5 5
2
1 2 A 4 A cos 2 5 A
A
cos
5
Tương tự:
2
1 2 B 4 B cos 2 5 B
B cos
5
B
B cos A
A
cos
(
5 5
B
B cos A
A cos 2
2 2 2
2
2
đpcm
Dấu “=” xảy ra
4 B
A
6 Phối hợp nhiều kỹ thuật
Ví dụ 11 :
Cho x > 0, y > 0 và x + y 4 Tìm min của 2
3 2
y
y 2 x
4 x
Lời giải
Có
Cosi 2
2
2
y ) 4
y 4
y y
2 ( ) x
1 4
x ( 2
x y y
2 x
1
4
x
2
9 MinA 2
9 2
5 2
4 2
3 1 2
y x 2
y 4
y 4
y y
2 3 x
1
4
x
2
2
x
3
Trang 9
2 y
2 x 4
y
x
4
/
y
y
/
2
x
/
1
4
/
x
2
Ví dụ 12:
Cho a, b, c > 0,
2
3 c b
a Chứng minh rằng:
2
15 c
1 b
1 a
1 c b
a
Lời giải
Có
Cosi 3
3 Cosi
abc
3 ) c b a ( c
1 b
1 a
1 3 ) c b a ( ) c
1 b
1 a
1 ( ) c b
a
(
) c b a ( 4
9 )
c b a ( c b a
9 ) c b a ( 3
c b a
3 )
c
b
a
(
2
15 2
9 3 2
3 4
27 ) c b a ( 4
9 ) c b a ( 2 )
c
b
a
(
4
27
đpcm
Dấu “=” xảy ra
2
1 c b
a
Ví dụ 13:
Cho a, b, c > 0 và a + b + c 1 Chứng minh: 82
c
1 c b
1 b a
1
2 2 2
Lời giải
c
1 c ( 2 ) b
1 b ( 2 ) a
1 a
(
)
1
c
1 c ( w ), 2 , b
1 b ( v ), 2 , a
1 a
(
c
1 b
1 a
1 ( c b a w
v
u
Do |u||v||w||uvw|
18 ) c b a ( ) c
1 b
1 a
1 ( 18 ) c
1 b
1 a
1 ( ) c b a ( )
1
(
VT
2 2
Vì a, b, c > 0 và a + b + c 1 a b c
c
1 b
1 a
1
Trang 10Cosi 3
3 Cosi
) c b a ( abc
3 ) c b a ( c
1 b
1 a
1 3 ) c b a ( )
c
1
b
1
a
1
64 ) c b a ( ) c
1 b
1 a
1 ( 8 1 1
9 ) c b a
(
c
b
a
VT(1) 64 18 82 VP(1) đpcm
Dấu “=” xảy ra
3
1 c b
III Bài tập tự giải
1 Cho a > b > 0 Chứng minh rằng:
)
b
a
(
b
4
) 1 b )(
b a (
4
xy
1 2
z ( z ) zx
1 2
y ( y ) yz
1 2
x ( x
3 Cho 0 x 3, 0 y 4 Tìm max của A = (3 – x)(4 – y)(2x + 3y)
4 Cho a 3, b 4, c 2 Tìm max của
abc
4 b ca 3 a bc 2 c ab
5 Cho a, b, c > 0 thoả mãn
4
3 c b
Chứng minh 3 a b3 b3c3 c3a 3 Dấu “=” xảy ra khi nào
6 Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng
a)
a
c c
b b
a ) a
c ( )
c
b
(
)
b
a
a
1 b b
a a
1 b b
a
3 3 3
3
b)
b
c a
b c
a ) a
c ( )
c
b
(
)
b
a
b
1 a a
b a
1 b b
a
3 3 3
3
7 Cho ABC Chứng minh rằng
c b a
c b a c
b a
c
b
b)
2
c b a b a
c a
c
b
c
b
Trang 11c)
3
c b a b a 2
c a c
2
b
c
b
8 Cho x, y, z > 0 và xyz = 1 Chứng minh:
2
3 x 1
z z 1
y y 1
9 Cho x, y, z > 0 và xyz = 1 Tìm min của
y y x x
) y x ( z x x z z
) x z ( y z z
2
y
y
) z
y
(
x
P
2 2
2
10 Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 6 Tìm giá trị lớn nhất
1 c
c 1 b
b 1 a
a A
11 Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng:
abc 2
c b a ab c
1 ca b
1 bc a
1
2 2
2
12 Cho x, y, z > 0 và 4
z
1 y
1 x
1
Chứng minh
1 y x z 2
1 x
z y
1 z
y
x
1
13 Cho a, b > 0, a + b = 1 Chứng minh rằng
b
a
1
ab
1
2
b a
3 ab
2
2
14 Chứng minh mọi x > 0, y > 0 ta có ) 256
y
9 1 )(
x
y 1 )(
x 1
Khi nào dấu “=” xảy ra
15 Cho x, y, z > 0 thoả mãn xyz = 1 Chứng minh
3 3 zx
x z 1 yz
z y 1 xy
y
x
Dấu “=” xảy ra khi nào