Bài 5 PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT – bất PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT

Biết cách giải các dạng phương trình lôgarit.. Biết cách giải các dạng bất phương trình lôgarit.. Giải được một số phương trình mũ và phương trình lôgarit đơn giản bằng các phương pháp đ

BÀI 5 PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT – BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT

Mục tiêu

 Kiến thức

1 Biết cách giải các dạng phương trình lôgarit

2 Biết cách giải các dạng bất phương trình lôgarit

 Kĩ năng

1 Giải được một số phương trình mũ và phương trình lôgarit đơn giản bằng các phương pháp đưa

về cùng cơ số, lôgarit hóa, mũ hóa, đặt ẩn phụ, phương pháp hàm số

2 Nhận dạng được các phương trình và bất phương trình lôgarit

Trang 1

b a

0

b a

Chú ý: Đưa cả hai vế cùng về lôgarit cơ số 3.

Ví dụ 2: Số nghiệm của phương trình log2 xlog3xlog4xlog20x là

log xlog 2.log x

Ví dụ 3: Cho phương trình log4x12 2 log 2 4 xlog 48 x3 Tổng tất cả các nghiệm củaphương trình là

14

(thỏa mãn điều kiện)

Tổng tất cả các nghiệm của phương trình là x 2 6 4

Ví dụ 4: Cho phương trình log log log2 3 2x  Gọi a là nghiệm của phương trình, biểu thức nào sau  1đây là đúng?

Khi đó log x logx  logxlogx  logx 0 x 1 x1;

Kết hợp với (*) ta được x 1; thỏa mãn

có hai nghiệm x x Khi đó 1, 2 x1 x2 bằng

1

21

log

22

Chọn A.

 Ví dụ mẫu

Ví dụ 1: Phương trình    1 

C phương trình vô nghiệm D một nghiệm kép

Sử dụng tính đơn điệu của hàm số

 Tính chất 1 Nếu hàm số yf x  đồng biến (hoặc nghịch biến) trên a b thì số nghiệm của; phương trình f x  k trên a b không nhiều hơn một và ;  f u  f v   u v u v , , a b; 

 Tính chất 2 Nếu hàm số yf x  liên tục và đồng biến (hoặc nghịch biến), hàm số y g x  liên tục và nghịch biến (hoặc đồng biến) trên D thì số nghiệm trên D của phương trình f x  g x không nhiều hơn một

Nên phương trình f x  có tối đa một nghiệm.  0

Mà f  1 0 nên phương trình có duy nhất một nghiệm x  1

Lập bảng biến thiên của hàm số trên D 1; 2  2;

Suy ra phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Với u 0 t  3 x2 2x 3 0 , phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn x0;x 2

Hướng dẫn giải

Điều kiện: x 0

Đặt tlnx, ulogx Khi đó ta được at2bt 5 0 (1), 5u2bu a 0

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt   0 b2 20a0 b220a

Trang 7

Điều kiện có nghiệm là x 2 0  x2

Nên nếu phương trình có nghiệm thì nghiệm của phương trình thỏa mãn x 2 2

Bước 3: Giải phương trình và kết hợp điều kiện.

Có thể đặt ẩn phụ hoàn toàn hoặc không hoàn

toàn để giải phương trình

Ví dụ: Biết phương trình log2 x  log 64 1x  cóhai nghiệm phân biệt Khi đó tích hai nghiệmnày bằng

C 1

12

Hướng dẫn giải

Điều kiện 0

1

x x

t t

x x

x x

log x x12 log x11 x0 là phương trình bậc hai theo ẩn log x và tham số x 3

Giải phương trình tham số x , ta được: 3

log

x x

Phương trình đã cho có nghiệm khi phương trình

Đặt log 52 x1 t Khi đó phương trình đã cho trở thành t2 t 2m0 (*)

Phương trình đã cho có nghiệm x  khi phương trình (*) có nghiệm 1 t 2

2,2

Phương trình (*) có hai nghiệm thỏa mãn  1 x1x2 khi

 

02

m m

Yêu cầu bài toán tương đương với (*) phải có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 1; 2

Xét hàm số f t   t2 t trên đoạn 1; 2 Ta có  f t 2 1,t  t 1; 2 nên

Ví dụ 6: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m   10;10 để phương trình

m 4 log 22x 2m 2 log 2x m 1 0 có hai nghiệm thỏa mãn 1x1 2 x2?

(do t  không phải là nghiệm).1

Yêu cầu bài toán tương đương với (*) phải có hai nghiệm thỏa mãn 0t1 1 t2

Câu 6: Một học sinh giải phương trình log22x log2 x2 1 0 theo các bước như sau:

Bước 1: Điều kiện 2 0 0 0

00

x x

Bước 2: Từ điều kiện trên phương trình đã cho trở thành:

log2x2 2 log2 x  1 0 log2x1

Bước 3: Vậy nghiệm phương trình là x  21 2 (nhận)

Lời giải trên sai ở bước nào?

A Bước 1 B Bước 2 C Bước 3 D Không sai bước nào Câu 7: Nghiệm của phương trình log0,4x  3 2 0 là

C phương trình vô nghiệm D một nghiệm kép

Câu 16: Phương trình log a 2 log1 0

a

a x  x có nghiệm là

Câu 17: Cho phương trình  2 

Câu 21: Tập nghiệm của phương trình log4x2log2 x là

Câu 23: Tập nghiệm của phương trình   1 2

Câu 30: Tìm số nghiệm của phương trình 2 2     

Câu 31: Tìm số nghiệm của phương trình log2x1 log 16x1

Câu 32: Tìm số nghiệm của phương trình 4

7

6

Câu 33: Tìm số nghiệm của phương trình 2 2

log x5 log x  1 7 0

Câu 34: Tìm số nghiệm của phương trình 2 2

log x log x 1 1

Câu 35: Tìm số nghiệm của phương trình 2  

log x x12 log x11 x0

Câu 36: Phương trình logxx24x 4 3 có số nghiệm là

Câu 37: Giải phương trình 4 3 2 2  

1log 2log 1 log 1 3log

2

x

  ta được nghiệm x a Khi đó giá trị

a thuộc khoảng nào sau đây?

Câu 38: Phương trình  2 

3

log x 4x12 2 Chọn phương án đúng

A Có hai nghiệm cùng dương B Có hai nghiệm trái dấu

C Có hai nghiệm cùng âm D Vô nghiệm

Câu 39: Phương trình x log 9 22  x 3 có nghiệm nguyên dương là a Tính giá trị của biểu thức

3

2

95

A 2 log 5 2  B 2 log 5 2  C log 52  D  2 log 52 

Câu 41: Số nghiệm của phương trình log3x 12 2 là

A 1 B 3 C 5 D 7

Câu 47: Phương trình 2log 5 x 3  x

 có bao nhiêu nghiệm?





 

Câu 54: Cho phương trình e mcosx sinx e2 1 sin   x 2 sinx mcosx

    với m là tham số thực Gọi S là tập các giá trị của m để phương trình có nghiệm Khi đó S có dạng  ;a  b; Tính T 10a20b

A x 2 B x 4 C 1

4

x x





 có nghiệm duy nhất

A 0m100 B m0;m100 C m 1 D Không tồn tại m Câu 68: Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình log23x m log 3 x 1 0 có nghiệm duy nhấtnhỏ hơn 1

Câu 70: Cho phương trình 2  

log x 4mx log 2x 2m1  với m là tham số thực Gọi S là tập0

tất cả các giá trị của m để phương trình có nghiệm duy nhất, khi đó S có dạng a b;  c với a b c  Tính P2a10b c

log

b a

0

b a

x x

x x

Bước 1 Sử dụng công thức lôgarit biến đổi về

lôgarit cùng cơ số

Bước 2 Giải như dạng 1.

Ví dụ: Số nghiệm nguyên của bất phương trình

2 2

log 2x  x1  có tập nghiệm là 0 a b;   c d;  Tính tổng a b c d  

A 3

Hướng dẫn giải

Chú ý: khi cơ số a  , giữ nguyên chiều bất phương trình; 01 a1 đảo chiều bất phương trình.

Ví dụ 2: Biết tập nghiệm S của bất phương trình 3 

log log x 2   0 log x 2  1 x 2 3  x5

So với điều kiện, tập nghiệm bất phương trình S 3;5

Bước 2 Chuyển phương trình về phương trình

ẩn t

Bước 3 Giải phương trình và kết hợp điều kiện

Ví dụ: Có bao nhiêu giá trị nguyên x 0;30

t t

x x

x x

x x

Ta tìm m để t2 t m có nghiệm với 0 t 6Xét hàm f t   t2 t

11

t

f t

t t





Vậy bất phương trình nghiệm đúng với mọi x  khi 3 m  khi đó có 4 giá trị nguyên m thỏa mãn6

Chọn B.

Ví dụ 2: Số giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình log 5 log x21logmx24x m 

nghiệm đúng với mọi x là

2

m m

Câu 5: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình  2   

đúng với mọi giá trị của x là

Câu 16: Bất phương trình log2xlog3 xlog4 xlog20 x có tập nghiệm là

Câu 30: Giá trị nào của tham số m thì bất phương trình  2 2   2 

0; 2

Câu 42: Tập nghiệm của bất phương trình 2

x x

10

x x

Câu 54: Mệnh đề nào sau đây đúng khi phát biểu về bất phương trình

1

4 2 log x2 3log x

A Tập xác định của bất phương trình đã cho là T 0;

B Tập xác định của bất phương trình đã cho là T 0;

C Tập xác định của bất phương trình đã cho là 0; 8 8 ;4 4; 

D Tập xác định của bất phương trình đã cho là T 0; 93   39;44;

Câu 55: Tập nghiệm của bất phương trình 1 1 2

Câu 63: Tập nghiệm của bất phương trình  2 

ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Dạng 1 Phương trình lôgarit

11- B 12- D 13- D 14- C 15- A 16- A 17- D 18- B 19- B 20- D21- B 22- A 23- A 24- A 25- B 26- A 27- C 28- D 29- A 30- C31- D 32- A 33- B 34- C 35- D 36- B 37- A 38- C 39- C 40- D41- C 42- A 43- C 44- A 45- C 46- D 47- A 48- A 49- B 50- A51- B 52- C 53- D 54- C 55- B 56- D 57- A 58- C 59- B 60- A61- D 62- A 63- B 64- B 65- A 66- C 67- B 68- B 69- A 70- B71- C 72- A 73- A 74- C

Dạng 2 Bất phương trình lôgarit

11- B 12- B 13- B 14- C 15- C 16- D 17- A 18- D 19- C 20- B21- A 22- B 23- D 24- C 25- A 26- B 27- A 28- D 29- C 30- B31- A 32- C 33- A 34- A 35- C 36- D 37- D 38- A 39- A 40- A41- C 42- B 43- A 44- A 45- D 46- A 47- D 48- D 49- A 50- D51- C 52- A 53- A 54- D 55- C 56- A 57- D 58- C 59- A 60- D61- C 62- C 63- D 64- C 65- D 66- B 67- B 68- A