BÀI 3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Mục tiêu  Kiến thức + Nắm vững khái niệm vectơ chỉ phương của đường thẳng, góc giữa hai đường thẳng, góc giữađường thẳng và mặt phẳng.. + Trình bày được cách vi

CHUYÊN ĐỀ 7 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Oxyz

BÀI 3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Mục tiêu

 Kiến thức

+ Nắm vững khái niệm vectơ chỉ phương của đường thẳng, góc giữa hai đường thẳng, góc giữađường thẳng và mặt phẳng

+ Trình bày và vận dụng được các công thức tính khoảng cách, góc

+ Trình bày được cách viết phương trình tham số của đường thẳng

+ Trình bày được các vị trí tương đối của hai đường thẳng, của đường thẳng và mặt phẳng và củađường thẳng với mặt cầu Vận dụng được các công thức để xét vị trí tương đối của hai đườngthẳng; của đường thẳng với mặt phẳng và của đường thẳng với mặt cầu

 Kĩ năng

+ Biết cách viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng

+ Biết cách tính khoảng cách, tính góc

+ Biết cách xét vị trí tương đối của hai đường thẳng, vị trí tương đối của đường thẳng với mặt

phẳng và vị trí tương đối của đường thẳng với mặt cầu

I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

1 Phương trình đường thẳng

Vectơ chỉ phương của đường thẳng

Cho đường thẳng ∆ Vectơ ur r≠0 gọi là vectơ chỉ phương của

đường thẳng ∆ nếu giá của nó song song hoặc trùng với ∆

Cho đường thẳng ∆ đi qua M x y z và có vectơ chỉ( 0; ;0 0)

+ Nếu đường thẳng ∆ đi qua hai điểm A, B thì uuur

AB là một vectơ chỉ phương.

Phương trình tham số của đường thẳng

Phương trình tham số của đường thẳng ∆ có dạng

0 0 0, (1)

Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

Cho đường thẳng ∆ đi qua M , có vectơ chỉ phương 0 u và điểm r M∉∆ Khi đó để tính khoảng cách từ

MM u

d M d

Cách 2:

+ Lập phương trình mặt phẳng ( )P đi qua M vuông góc với ∆.

+ Tìm giao điểm H của ( )P với ∆.

+ Khi đó độ dài MH là khoảng cách cần tìm.

Cách 3:

+ Gọi N d , suy ra tọa độ N theo tham số t ∈

+ Tính MN theo t 2

+ Tìm giá trị nhỏ nhất của tam thức bậc hai

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Cho hai đường thẳng chéo nhau ∆ đi qua M có vectơ chỉ phương 0 u và r ∆′ đi qua M có vectơ chỉ0′phương u Khi đó khoảng cách giữa hai đường thẳng ur′ ∆ và ∆′ được tính theo các cách sau:

u u .

Cách 2: Tìm đoạn vuông góc chung MN Khi đó độ dài MN là khoảng cách cần tìm.

Cách 3: Lập phương trình mặt phẳng ( )P chứa qua ∆ và song song với ∆′ Khi đó khoảng cách cần tìm

là khoảng cách từ một điểm bất kì trên ∆′ đến ( )P

3 Vị trí tương đối

Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

Trong không gian Oxyz, hai đường thẳng

vectơ chỉ phương uuur2 =(a b c ′ ′ ′; ; )

Để xét vị trí tương đối của d và 1 d , ta sử dụng2

+ d chéo 1 d 2 ⇔u uur uur uuuuuur1, 2.M M1 2 ≠0

Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng

0 0 0

123

0 4

Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt cầu

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng và mặt cầu

có phương trình lần lượt là:

0 0 0

Bước 1: Tìm khoảng cách từ tâm I của ( )S đến d.

của ( )d và ( )S theo số nghiệm của phương trình bậc hai theo t

Chú ý: Để tìm điểm chung của đường thẳng và

mặt cầu ta giải phương trình bậc hai theo t , sau đó thay giá trị của t vào phương trình tham số của d để tìm (x y z ; ; )

4 Góc

Góc giữa hai đường thẳng

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d d1, 2

lần lượt có các vectơ pháp tuyến là ur uur1, 2

α

Chú ý: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là

góc nhọn.

G THẲN G

Vị trí tương đối

Hai đường thẳng

; cắt chéo Đường thẳng và mặt phẳng

cắt ,

không cùng phươngĐường thẳng và mặt cầu

không cắt tiếp xúc cắt

Khoảng cách

II CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến và viết phương trình mặt phẳng

Bài toán 1: Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng

• Đường thẳng d đi qua điểm M x y z và có vectơ chỉ phương 0( 0; ;0 0) ar=(a a a có phương trình1; ;2 3)

•Đường thẳng d đi qua điểm M x y z và vuông góc với mặt phẳng 0( 0; ;0 0) ( )P cho trước: Vì d ⊥( )P

nên vectơ pháp tuyến của ( )P cũng là vectơ chỉ phương của d

Đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng ( )P , ( )Q

Cách 1: Tìm một điểm và một vectơ chỉ phương

−Tìm toạ độ một điểm A d∈ bằng cách giải hệ phương trình mặt phẳng của ( )P , ( )Q với việc chọn

giá trị cho một ẩn

−Tìm một vectơ chỉ phương của d: a= n n P, Q

r uur uur

Cách 2: Tìm hai điểm A, B thuộc d rồi viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm đó

•Đường thẳng d đi qua điểm M x y z và vuông góc với hai đường thẳng 0( 0; ;0 0) d d : Vì 1, 2 d ⊥d d1, ⊥d2nên một vectơ chỉ phương của d là: =  1, 2

Ví dụ 2 Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; 2;3) và mặt phẳng ( )P có phương trình

u là vectơ chỉ phương của đường thẳng ( )∆ thỏa mãn yêu cầu bài toán

Ta có vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( )P : uurn P =(3; 4;7− )

3; 4;71; 2;3

Ví dụ 3 Cho điểm A(1; 2;3) và hai mặt phẳng ( )P : 2x+2y z+ + =1 0, ( )Q : 2x y− +2z− =1 0.

Phương trình đường thẳng d đi qua A song song với cả ( )P và ( )Q là

Mặt phẳng ( )P có một vectơ pháp tuyến là nuuur( )P =(2; 2;1).

Mặt phẳng ( )Q có một vectơ pháp tuyến là uuurn( )Q =(2; 1; 2− )

Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là uur

Ví dụ 4 Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC với A(1; 4; 1 ,− ) (B 2; 4;3 ,) (C 2; 2; 1− ) Phương

trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A và song song với BC là

Do ∆ song song với BC nên một vectơ chỉ phương của ∆ là uuur∆ =(0;1; 2)

Vậy phương trình tham số của đường thẳng ∆ là

14

Ví dụ 6 Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có A(2;1; 1 ,− ) (B −2;3;1) và C(0; 1;3− ) Gọi d là

đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng (ABC )

Phương trình đường thẳng d là

góc của M N trên ∆ Biết rằng khi , MH =NK thì trung điểm của HK luôn thuộc một đường thẳng d

cố định, phương trình của đường thẳng d là

Gọi I là trung điểm của HK

Do MH =NK nên ∆HMI = ∆KNI ⇒IM =IN Khi đó I thuộc mặt phẳng ( )Q là mặt phẳng trung trực của đoạn MN

Ta có ( )Q đi qua trung điểm của MN là điểm J(2;3; 4) và nhận 1 (1;1;1)

2

r uuuur

n MN làm vectơ pháptuyến nên có phương trình là ( )Q x y z: + + − =9 0.

Ví dụ 8 Trong không gian Oxyz Cho điểm E(1;1;1), mặt cầu ( )S x: 2+y2 +z2 =4 và mặt phẳng

( )P x: −3y+ − =5z 3 0 Gọi ∆ là đường thẳng đi qua E , nằm trong ( )P và cắt ( )S tại hai điểm , A B sao

cho ∆OAB là tam giác đều Phương trình tham số của ∆ là

Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên AB

Ta có ∆OAB là tam giác đều cạnh R nên 3 3

Thay c= −1 thì b= −1 và a=2.

Ta được một vectơ chỉ phương của ∆ là ur=(2; 1; 1− − )

Vậy phương trình của đường thẳng ∆ là

1 211

•Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M x y z , vuông góc và cắt đường thẳng ∆.0( 0; ;0 0)

Cách 1: Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng ∆ Khi đó 0 H∈∆, uuuuurM H0 ⊥u Khiuur∆

đó đường thẳng d là đường thẳng đi qua M H 0,

Cách 2: Gọi ( )P là mặt phẳng đi qua M và vuông góc với 0 d ( )Q là mặt phẳng đi qua M và chứa0

d Khi đó d =( ) ( )P ∩ Q

•Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M x y z và cắt hai đường thẳng 0( 0; ;0 0) d d 1, 2

Cách 1: Gọi M1∈ ∩d1 d M, 2∈ ∩d2 d Suy ra M M M thẳng hàng Từ đó tìm được 0, 1, 2 M M và1, 2

suy ra phương trình đường thẳng d

Cách 2: Gọi ( )P là mặt phẳng đi qua M và chứa 0 d ; 1 ( )Q là mặt phẳng đi qua M và chứa 0 d 2Khi đó d =( ) ( )P ∩ Q Do đó một vectơ chỉ phương của d có thể chọn là =  , 

•Đường thẳng d song song với ∆ và cắt cả hai đường thẳng d d : Viết phương trình mặt phẳng 1, 2 ( )P

song song với ∆ và chứa d , mặt phẳng 1 ( )Q song song với ∆ và chứa d Khi đó 2 d =( ) ( )P ∩ Q

•Đường thẳng d là đường vuông góc chung của hai đường thẳng d d chéo nhau:1, 2

Ví dụ 1 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( )P x y z: + − − =1 0 và đường thẳng

Lấy A(4; 2; 1− − ∈) d Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng ( )P

Đường thẳng AH đi qua A(4; 2; 1− − ) và nhận uuurn( )P =(1;1; 1− ) làm vectơ chỉ phương nên AH có

phương trình là 1 1 ( 1 )

1

421

Gọi I = ∩ ∆d1 , I(1 , 1 2 ,+ − +t t t− ⇒) uurAI =(t t; 2 1;− − −t 2) là một vectơ chỉ phương của ∆.

Do urd2 =(1; 2; 2) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d và 2 ∆ ⊥d 2

A là trung điểm của MN⇒M(4 2 ;5− t −t;3+t )

Mà M∈( )P nên tọa độ M thỏa phương trình ( )P , ta được:

Ví dụ 7 Trong không gian Oxyz, cho ∆ABC có A(2;3;3) , phương trình đường trung tuyến kẻ từ B là

Phương trình mặt phẳng ( )P đi qua A và vuông góc với ∆ là: 2 x y z− − + =2 0.

Gọi H là giao điểm của ( )P và ∆ ⇒H(2; 4; 2).

Gọi A là điểm đối xứng với A qua đường phân giác ∆, suy ra H là trung điểm ′ AA′ ⇒A′(2;5;1)

Do A′∈BC nên đường thẳng BC có vectơ chỉ phương là CAuuur′ = −( 2; 2;0) = −2 1;1;0( ).

Suy ra phương trình của đường thẳng BC là

431

A B Gọi d là đường thẳng song song và cách ∆ một khoảng bằng 5 , gần đường

thẳng AB nhất Đường thẳng d cắt mặt phẳng (Oxy tại điểm nào dưới đây?)

Phương trình tham số của đường thẳng AB có dạng:

42

Để đường thẳng d thỏa mãn bài toán thì ta có hình vẽ tương ứng

Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng AB và ∆ là MN với M(0; 5;1 ,− ) (N 3;1;1)

Để d gần đường thẳng AB nhất thì d phải đi qua điểm D nằm trên đoạn MN mà

DN d d MN Do đó uuuurMN =3uuurDN ⇒ =D (2; 1;1− ).

Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là uuuur( )d =(2; 1;1− )

Suy ra phương trình tham số của d là

2 211

Hướng dẫn giải

Ta có: ∆ ∆1// 3

Gọi ( )P là mặt phẳng chứa ∆1 và ∆ ⇒3 ( )P x: +2y z− + =3 0.

Để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì uur

IJ phải cùng phương với uuur∆1 = − −(1; 1; 1)

Câu 8: Trong không gian tọa độ Oxyz, gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng ( )α :x−3y z+ =0 và

( )β :x y z+ − + =4 0 Phương trình tham số của đường thẳng d là

Bài tập nâng cao

Câu 14: Trong không gian Oxyz, gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(1; 1; 2− ), song song với mặt phẳng( )P : 2x y z− − + =3 0, đồng thời tạo với đường thẳng : 1 1

Câu 16: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2;1; 2 ,− ) (B 5;1;1) và mặt cầu ( )S có

phương trình x2 +y2+ +z2 6y+12z+ =9 0 Xét đường thẳng d đi qua A và tiếp xúc với ( )S sao cho khoảng cách từ B đến d nhỏ nhất Phương trình của đường thẳng d là

x y z Gọi ∆ là đường thẳng đi qua A(2;1;3), vuông góc với đường thẳng d

và cắt ( )S tại hai điểm có khoảng cách lớn nhất Khi đó đường thẳng ∆ có một vectơ chỉ phương là

Câu 19: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC biết A(2;1;0 ,) (B 3;0; 2 ,) (C 4;3; 4− ).

Phương trình đường phân giác trong của góc A là

z t

210

21

Câu 20: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(1;1; 2 ,) (B −2;3;1 ,) (C 3; 1; 4− ).

Phương trình đường cao của tam giác ABC kẻ từ đỉnh B là

Gọi ϕ là góc giữa hai mặt phẳng ( )∆ và ( )α

( )

3

Hướng dẫn giải

Vectơ chỉ phương của ∆1 là uru1= −( 2;1; 2)

Vectơ chỉ phương của ∆2 là uuur2 =(1;1; 4− ).

Vậy góc giữa hai đường thẳng đã cho là 45°

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng ( )d là giao tuyến của hai mặt phẳng

Mặt phẳng ( )P có vectơ pháp tuyến là uuurn( )P =(1;0; sin− α)

Mặt phẳng ( )Q có vectơ pháp tuyến là nuuur( )Q =(0;1; cos− α)

( )d là giao tuyến của ( )P và ( )Q nên vectơ chỉ phương của ( )d là:

( ) = ( ), ( )=(sin ;cos ;1)

uuur uuur uuur

Vectơ chỉ phương của ( )Oz là uuuuur( )Oz =(0;0;1).

Suy ra cos( , ) 20.sin 20.cos2 1.1 2 1 ( , ) 45

2sin cos 1 0 0 1

Ví dụ 2 Trong không gian Oxyz, d là đường thẳng đi qua điểm A(1; 1; 2− ), song song với mặt phẳng

( )P : 2x y z− − + =3 0, đồng thời tạo với đường thẳng : 1 1

5

165

Dựa vào bảng biến thiên ta có: max f t( ) = f ( )0 =5

Bài tập nâng cao

Câu 4: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( ) ( )2 2 ( )2

: −1 + + +2 =4

S x y z và đường thẳng2

Tổng tất cả các giá trị thực của tham số m để d cắt ( )S tại hai điểm phân biệt , A B và các mặt phẳng

tiếp diện của ( )S tại , A B tạo với nhau một góc lớn nhất bằng

Cho đường thẳng ( )∆ đi qua điểm M x y z0( 0; ;0 0)

và có vectơ chỉ phương ur=(a b c Khi đó; ; )

khoảng cách từ điểm M đến 1 ( )∆ được tính bởi

Ta gọi B là hình chiếu của M lên đường thẳng d khi đó MB MA ≤

Suy ra MBmax =MA nên đường thẳng d đi qua điểm A và vuông góc với MA

Đồng thời đường thẳng dnằm trong mặt phẳng ( )P nên ta có

Mặt phẳng ( )P đi qua A và nhận uurIA làm vectơ pháp tuyến có phương trình là x+2y+2z=0.

Gọi H là hình chiếu của B lên ( )P thì tọa độ của H(4; 1; 1− − ).

Ta có: d B d( ; ) ≥d B P( ;( ) ) =BH

Vậy khoảng cách từ B đến d nhỏ nhất khi d đi qua H Ta có uuur uuurd = AH =(2; 2;1− )

Suy ra phương trình đường thẳng d là:

2 2

1 22

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng

chéo nhau: ∆1 có vectơ chỉ phương ur=(a b c và; ; )

đi qua M x y z ; 0( 0; ;0 0) ∆2 có vectơ chỉ phương

u u .

Ví dụ: Trong không gian Oxyz, tính khoảng cách

giữa hai đường thẳng

Đường thẳng d đi qua điểm 2 N(1; 1;2− ) và có một

vectơ chỉ phương uuur2 =(4; 2; 2− ) .

Do ur1

u cùng phương với uur2

u và M∉d nên 2 d d 1// 2

Nếu ∆ ∆1// 2 (ur1

u và uur2

u cùng phương và M0∉∆2)thì d(∆ ∆ =1, 2) d M( 0,∆2)

Ta có uuurd =uuur uuurn( )P ;n( )Q =(1;7; 9− ) .

Vậy phương trình của đường thẳng d là 2 1

Bài tập nâng cao

Câu 4: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M(− −2; 2;1 ,) (A 1; 2; 3− ) và đường thẳng

u của đường thẳng ∆ qua M , vuông góc với đường thẳng

d đồng thời cách điểm A một khoảng nhỏ nhất.

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A d cắt và không vuông góc với ( )P B d song song với ( )P

C d vuông góc với ( )P D d nằm trong ( )P

d và mặt phẳng ( )P x my: + +(m2−1)z− =7 0 với m là tham số thực Tìm m sao

cho đường thẳng d song song với mặt phẳng ( )P

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là ur =(1;1; 1− ) và mặt phẳng ( )P có vectơ pháp tuyến là

Thay (1), (2), (3) vào (*) ta được 1 2+ − +t (2 4t) (+2 3+ − =t) 5 0.

Phương trình này có vô số nghiệm

Ví dụ 6 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng

( )P : 2(m2+ +m 2) (x+ m2−1) y+(m+2)z m+ 2+ + =m 1 0 luôn chứa đường thẳng ∆ cố định khi m thayđổi Khoảng cách từ gốc tọa độ đến ∆ là?

Vậy khoảng cách từ gốc tọa độ đến ∆ là: ( ; ) , 2

Đường thẳng d đi qua 1 A(1; 1; 2− ) và có vectơ chỉ phương là uur1=(1; 2;1)

Đường thẳng d đi qua 2 B(− − −3; 9; 2) và có vectơ chỉ phương là ( 2)

2 4;8;

uuur= m Đường thẳng d d khi và chỉ khi 1// 2 uur1

cùng phương với uuur2

và hai đường thẳng d và 1 d không trùng2nhau

Do đó hai đường thẳng này luôn có điểm chung là B nên hai đường thẳng không thể song song.

Khi đó u uur uur uuuur1, 2.MN =0.

Suy ra u u MNur uur uuuur1, ,2

Cho đường thẳng

( ) ( ) ( )

Bước 1: Tính khoảng cách từ tâm I của mặt cầu

Hướng dẫn giải

Mặt cầu ( )S có tâm I(0;0; 2− ) và bán kính R=5.Đường thẳng d đi qua M(−2; 2; 3− ) và có vectơchỉ phương là ur=(2;3; 2)

• Nếu d I d( , )<R thì d cắt ( )S tại hai điểm

phân biệt M N và , MN vuông góc với

đưa về phương trình bậc hai theo t ( )* .

• Nếu phương trình (*) vô nghiệm thì d

không cắt ( )S

• Nếu phương trình (*) có một nghiệm thì d

tiếp xúc ( )S

• Nếu phương trình (*) có hai nghiệm thì d

cắt ( )S tại hai điểm phân biệt , M N

Chú ý: Để tìm tọa độ M N ta thay giá trị t vào,

Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz, mặt cầu

S x +y + +z = cắt trục Oz tại haiđiểm ,A B Tìm độ dài đoạn AB