Bài 2 bài 2 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC cơ bản

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN Mục tiêu: Nắm vững 4 phương trình lượng giác cơ bản và cách giải..  Kiến thức + Biết cách áp dụng công thức nghiệm đối với từng phương trình lượng giác cơ

Trang 1

BÀI 2 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN Mục tiêu: Nắm vững 4 phương trình lượng giác cơ bản và cách giải.

 Kiến thức

+ Biết cách áp dụng công thức nghiệm đối với từng phương trình lượng giác cơ bản

+ Vận dụng để giải những trường hợp mở rộng của 4 phương trình lượng giác cơ bản

I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

1 Phương trình sin x = a

 Nếu a  : Phương trình vô nghiệm.1

 Nếu a  Đặt 1 a sin hoặc a sin, phương trình tương đương với

2 in

2



 



 k   

.360

in sin

s

360

x





arcsin 2 in

arc

s

x a





Tổng quát:

2





Các trường hợp đặc biệt

2

x  x k  k   

2

x  x  k  k   

 sinx 0 x k k   

2 Phương trình cos x a

 Nếu a  : Phương trình vô nghiệm.1

 Nếu a  Đặt 1 acos hoặc acos, phương trình tương đương với

cosxcos  x  k2 k   

cosxcos  x   k.360 k   

cosx a  xarccosa k 2 k   

Tổng quát:

cos f x cosg x  f x g x k 2 k   

Trang 2

 cosx 1 x k 2 k   

 cosx 1 x  k2 k   

2

x  x k k   

3 Phương trình tan x a

Điều kiện cosx 0.

 tanxtan  x  k k   

 tanxtan  x   k.180 k   

 tanx a  xarctana k k   

Tổng quát:

tan f x tang x  f x g x k k   

5 Phương trình cot x = a

Điều kiện sinx 0.

 cotxcot  x  k k   

 cotxcot  x   k.180 k   

 cotx a  x arc cota k k   

Tổng quát:

cot f x cotg x  f x g x k k   

Trang 3

SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA

II CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Phương trình sin x = a

Ví dụ mẫu

Trường hợp 1:

Phương trình vô nghiệm

Trường hợp 2:

Đặt

đặc biệt

không đặc biệt

Điều kiện: ,

Đặt đặc biệt không đặc biệt

Trường hợp 1: Phương trình vô nghiệm Trường hợp 2:

Đặt đặc biệt

không đặc biệt

Điều kiện , Đặt

đặc biệt không đặc biệt

Phương trình lượng giác cơ bản

tan

x = a

cot

x

= a

Trang 4

Ví dụ 1 Giải phương trình 2sin 3 3

4

x 

   1

Hướng dẫn giải

2

k   

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là

2







k   

Ví dụ 2 Giải phương trình sin 3 2 sin 7 0

k





k   

8 15 11

60 2

k x









k   

Ví dụ 3 Tìm số nghiệm nguyên dương của phương trình  2 



Ta có sin 3 9 2 16 80 0 3 9 2 16 80



3x 9x 16x 80 4k 9x 16x 80 3x 4k

2

x k

k











2

k

Trang 5

Vì x   nên * 9x* 3k 2 Ư  98      1; 2; 7; 14; 49; 98  

Lại có

*

x

k

 









  3k 21; 2;7;14; 49;98  k1;3;17

 Với k 1 thì x 12 (thỏa mãn 3x4k)

 Với k 3 thì x 4 (thỏa mãn 3x4k)

 Với k 17 thì x 12 (không thỏa mãn 3x4k)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm nguyên dương là x 4;12 .

Bài tập tự luyện dạng 1

Câu 1: Cho phương trình sin  2

1

m x

m

 , m là tham số Với giá trị nào của m thì phương trình có

nghiệm?

4

2

m 

Câu 2: Phương trình sin 1

2

x  có nghiệm thỏa mãn



  là

6

x

3

x

Câu 3: Số nghiệm của phương trình sin 2 0

1 cos

x

x 

 trên đoạn 0;3 là

Câu 4: Cho phương trình sin 2 9

3

x m

  , m là tham số Với giá trị nào của m thì phương trình vô

nghiệm?

ĐÁP ÁN

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Câu 1

Phương trình sin  2

1

m x

m

 có nghĩa  x  D, m 1

Trang 6

Ta có  

2 1

1

2 1 1

m m x

m m







 



 



 

1

2

Giải  1 Ta có

1

2

m









m



Kết hợp nghiệm ta có 1

2

m 

Câu 2.

Phương trình sin 1

2

x  có nghĩa  x  D

Do sin 1



 nên

5



k   

Vì

   nên

6

x

Câu 3.

Phương trình sin 2 0

1 cos

x

x 

 có nghĩa  1 cosx 0 cosx 1 x k 2  D\k2

Ta có sin 2 0 sin 2 0

x



Kết hợp với điều kiện ta có

2 1 2







  



k   

Do 0;3 

2

x   x , x , 3

2

x  , 5

2

x  , x3 Vậy phương trình có 5 nghiệm

Câu 4.

Phương trình sin 2 9

3

x m

  có nghĩa  x  D

3

x

            (vô lí)

Vậy phương trình vô nghiệm với   m

Dạng 2: Phương trình cos x = b

Trang 7

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Giải phương trình 2cos 2 2

6

x 



k   

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là 24

5 24











k   

Ví dụ 2 Giải phương trình cos 2 sin 5 0

3

2

k



k   

Vậy nghiệm của phương trình là

2

k x







k   

Ví dụ 3 Cho phương trình cos  2

1

m x

m

 , m là tham số Tìm m để phương trình đã cho có nghiệm

Phương trình cos  2

1

m x

m

 có nghĩa  x  D, m 1

2 1

1

2 1 1

m m x

m m







 



 



 

1

2

Trang 8

Giải  1 Ta có

1

2

m









m



2

m 

Vậy với 1

2

m  thì phương trình đã cho có nghiệm.

Câu 1: Phương trình 2cosx  2 0 có nghiệm là

A

2 4

3

2 4









3 2 4 3 2 4











,k  .

C

5

2 4

5

2 4











2 4 2 4











,k  

Câu 2: Phương trình 2cos 3 0

2

x

  có nghiệm là

3

6

x  k  k 

6

3

x  k  k 

Câu 3: Phương trình cos3 cos

15

x  có nghiệm là

15

45 3

k

x   k 

45 3

k

45 3

k

x   k 

Câu 4: Phương trình 2 1

cos

2

x  có nghiệm là

2

x  k k  

2

x  k  k 

Câu 5: Phương trình cos 2xcosx có cùng tập nghiệm với phương trình

Trang 9

A sin3 0

2

x

Câu 6: Số nghiệm của phương trình 2 cos 1

3

x 

  với 0 x 2 là

Câu 7: Phương trình sin 5 cos 1





  có bao nhiêu họ nghiệm?

A 1 họ nghiệm B 4 họ nghiệm C 6 họ nghiệm D 2 họ nghiệm.

ĐÁP ÁN

Câu 1.

Phương trình 2cosx  2 0 có nghĩa  x  D

2

x   x

Do cos3 2

 

 nên

3 2

3

2 4











k   

Câu 2.

Phương trình 2cos 3 0

2

x

  có nghĩa  x  D

Do cos5 3

 





Câu 3.

Phương trình cos 3x cos12 có nghĩa  x  D

Do cos12 cos

15



  nên cos3 cos12 cos3 cos

15

2

k



k   

Câu 4.

Phương trình cos2 1

2

x  có nghĩa  x  D

Trang 10

Ta có 2

2 cos

cos

2

x x

x







 







x  x   x  k  k   

x  x   x  k  k   

Kết hợp nghiệm ta được

k

x   k   

Câu 5.

Phương trình cos 2xcosx có nghĩa  x  D

Ta có

2

3

k









k   

     k   ;

2

x  x k  k   ;

k

x  x k   x   k   ;

x  x k   x k k   

Vậy phương trình sin3 0

2

x

 có cùng tập nghiệm với phương trình cos 2xcosx

Câu 6

Phương trình 2 cos 1

3

x 

  có nghĩa  x  D

Ta có

2

7

2 12









Do 0 x 2 nên 23

12

x  ; 17

12

x  Vậy phương trình có 2 nghiệm thỏa mãn 0 x 2

Câu 7.

Phương trình sin 5 cos 1





  có nghĩa  x  D

Trang 11

Vì sin 1

6 2



 nên

5







1 cos

cos

1

cos

7

10

x















(vì  1 cosx1)

       k   ;

1

       k   1 2

3

   k   ;

        k   1 cos 7 2

10





   k    Vậy phương trình có 6 họ nghiệm

Dạng 3: Phương trình tan x = m

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Giải phương trình 3tan 5 3

4

x 

Điều kiện cos 5 0 5

k

          ,k   

x  k ,k   

Ví dụ 2 Giải phương trình tan 2 cot

4

Điều kiện

3

sin 0

k

x





k l   ; 

k

Trang 12

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là ,( )

Câu 1: Nghiệm của phương trình tanx    với 15  1 90 x270 là

A x 210 B x 135 C x  60 D x 120

Câu 2: Phương trình 3 tanx   có nghiệm là 3 0

A

3

x  k  ,k  

C

6

3

x  k ,k  .

Câu 3: Phương trình tan2 x  có nghiệm là 3

A

3

x  k,k  .

3

x k ,k  .

Câu 4: Nghiệm của phương trình tan tan

5

x  trong khoảng ;

2



  là

A 4

5



3



5



5



Câu 5: Phương trình tan sin 4 3





  có bao nhiêu họ nghiệm?

A 2 họ nghiệm B 6 họ nghiệm C Vô nghiệm D 4 họ nghiệm.

Câu 6: Phương trình lượng giác 2 tan 2 2 0



A

2

x k ,k  .

3

x  k ,k  .

ĐÁP ÁN

Câu 1.

Ta có tan 45  1 tanx15  tan 45  x15 45 k.180  x30 k.180 k    Với 90 x270  90 30 k.180 270  k 1 x210

Câu 2.

Phương trình 3.tanx   có nghĩa 3 0 cos 0 \

x x  k D  k

Trang 13

Ta có 3 tan 3 0 tan 3 tan tan

x   x  x   x  k k   

Câu 3

Phương trình tan2x  có nghĩa 3 cos 0 \

x x  k D  k

Ta có tan2 3 tan 3

x x

x

  



Xét tan 3 tan tan

x  x   x k k   

Xét tan 3 tan tan

x  x   x k k   

Vậy

3

x  k k   

Câu 4.

Phương trình tan tan

5

x x  k D  k

Ta có tan tan tan tan

x   x   x k k   

2

x  

  nên 4

5

x 

Câu 5.

Phương trình xác định với  x  D



Với k 0 thì 4 tan3 4 1 sin 4 1

2

Với k 1 thì 4 tan3 4 1 sin 4 1

2

Vậy đã cho phương trình vô nghiệm

Câu 6.

Phương trình 2 tan 2 2 0



Trang 14

Dạng 4: Phương trình cot x = n

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Giải phương trình cot 2 1

x 

   1

Điều kiện sin 2 0 2

k

2

x  k x  k

      ,k   

x k ,k   

Ví dụ 2 Giải phương trình tan 4 2cot 3

Điều kiện

18

x





, k m   ; 

cot

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là 5

18

x  k ,k   

Câu 1: Phương trình 3cotx  3 0 có nghiệm là

A

6

3

x k ,k  .

3

x k  ,k  . D Vô nghiệm.

Câu 2: Cho phương trình cot 3 2 4

4

  , m là tham số Với giá trị nào của m thì phương trình

trên vô nghiệm?

Trang 15

C   m D Không tồn tại giá trị của m.

Câu 3: Phương trình cot cot 2x x  1 0 có nghiệm là

A

4

5 6









,k  

C

6

x k ,k  .

ĐÁP ÁN

Câu 1.

Phương trình 3cotx  3 0 có nghĩa sinx 0 x k   D\k k   

Ta có 3cot 3 0 cot 3 cot cot

x   x  x   x k k   

Câu 2.

Tập giá trị cot 3

4

y x  

   nên với   m phương trình luôn có nghiệm

Vậy không tồn tại giá trị m để phương trình vô nghiệm.

Câu 3.

Phương trình cot cot 2x x  1 0 có nghĩa sin 0

x



Tập xác định \

2

k

D x 

Ta có

2 2

1

sin sin sin

1

x x

x









Nếu

2 6 sin sin

5 6

2 6

x









Nếu

2 6 sin sin

7 6

2 6

x













Trang 16

5 6









k   

Định dạng
Số trang	16
Dung lượng	1,18 MB