Bài 3 PHƯƠNG TRÌNH bậc HAI với hệ số THỰC

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC Mục tiêu  Kiến thức + Nắm vững cách giải phương trình bậc hai với hệ số thực trên tập số phức  Kĩ năng + Giải được phương trình bậc hai với hệ số th

CHUYÊN ĐỀ 4 BÀI 3 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC Mục tiêu

 Kiến thức

+ Nắm vững cách giải phương trình bậc hai với hệ số thực trên tập số phức

 Kĩ năng

+ Giải được phương trình bậc hai với hệ số thực trên tập số phức và vận dụng vào giải được một

số bài toán liên quan

+ Vận dụng định lý Vi-ét vào giải một số bài toán chứa nhiều biểu thức đối xứng đối với hai nghiệm của phương trình

+ Biết cách giải các phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hệ số thực

+ Vận dụng các kiến thức đã học để giải quyết một số bài toán tổng hợp

I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

1 Căn bậc hai của một phức

Định nghĩa

Cho số phức w Mỗi số phức z thỏa mãn 2



z w được gọi là một căn bậc hai của w

Tìm căn bậc hai của số phức w

 w là số thực.

+ Nếu w0 thì w có hai căn bậc hai là i w và  i w

+ Nếu w0 thì w có hai căn bậc hai là w và  w

 w a bi  a b,  , b0

Nếu z x iy  là căn bậc hai của w thì x iy 2  a bi

Do đó ta có hệ phương trình:

2x







y b

Mỗi nghiệm của hệ phương trình cho ta một căn bậc hai của

w

2 Giải phương trình bậc hai với hệ số thực

Xét phương trình az2bz c 0 a b, ,c;a0

Ta có  b2 4ac

 Nếu  0 thì phương trình có nghiệm thực

2

 b x a

 Nếu  0 thì phương trình có hai nghiệm thực phân biệt:

1

2

  

 b

x

a ; 2

2

  

 b x

a

 Nếu  0 thì phương trình có hai nghiệm thực phân biệt:

1

2

  

 b i

x

a ; 2

2

  

 b i x

a

Hệ thức Vi-ét đối với phương trình bậc hai với hệ số thực

Phương trình bậc hai ax2bx c 0 a0 có hai nghiệm phân

biệt x , 1 x (thực hoặc phức) thì2

1 2









b

a c

P x x

a

Nhận xét:

+) Số 0 có đúng một căn bậc hai

là 0 +) Mỗi số phức khác 0 có hai căn bậc hai là hai số đối nhau (khác 0)

Chú ý:

Mọi phương trình bậc n:

1



luôn có n nghiệm phức (không nhất thiết phân biệt) với n nguyên dương.

SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA

II CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Giải phương trình Tính toán biểu thức nghiệm

Phương pháp giải

Cho phương trình:

az bz c a b, ,c;a0

 Giải pương trình bậc hai với hệ số thực

 Áp dụng các phép toán trên tập số phức để

biến đổi biểu thức

Ví dụ: Xét phương trình 2

a) Giải phương trình trên tập số phức b) Tính z1  z2

Hướng dẫn giải

a) Ta có:   ' 1 54 2i 2

Phương trình có hai nghiệm là:

1 2 2

z i ; z2  2 2i

Suy ra z1  z2 2 2 2 2 4 2 

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Tất cả các nghiệm phức của phương trình 2

5 0

 

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC

Cho phương trình bậc hai

24bac

0

Phương trình có hai nghiệm

phức phân biệt

;

Phương trình có nghiệm thực duy nhất

Phương trình có hai nghiệm thực

phân biệt

;

Hệ thức Vi-ét

A 5 B 5i C  5i D  5

Hướng dẫn giải

5

 





Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phức là z1 5i và z2  5i

Chọn C

Ví dụ 2 Gọi z , 1 z là hai nghiệm của phương trình 2 2z2  z 1 0 Giá trị của biểu thức Az12 z2 2

là

Hướng dẫn giải

Ta có  7 7i nên phương trình có hai nghiệm là:2

 

 

Suy ra Az12 z2 2 1

Chọn B

Ví dụ 3 Trong các số sau, số nào là nghiệm của phương trình z2 1 z z  ?

A 1 3

2

2

2

2

Hướng dẫn giải

Ta có z2 1 z z 

2

i

Chọn A

Ví dụ 4 Phương trình z2az b 0 a b,   có nghiệm phức là 3 4 i Giá trị của a b bằng

Hướng dẫn giải

Cách 1: Do z 3 4i là nghiệm của phương trình z2az b 0 nên ta có:

3 4 i2a3 4 i  b 0 3a b  7  4a24i0

Chú ý: Nếu z là0

nghiệm của phương trình bậc hai với hệ số thực thì z cũng là0

Do đó a b 19

Cách 2: Vì z1  3 4i là nghiệm của phương trình z2az b 0 nên z2  3 4i

cũng là nghiệm của phương trình đã cho

Áp dụng hệ thức Vi-ét vào phương trình trên ta có 1 2

1 2

 









z z b

19 25







a b b

Chọn C

nghiệm của phương trình

Ví dụ 5 Gọi z là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình 0 z26z34 0 Giá trị của

0 2

z i là

Hướng dẫn giải

Ta có  ' 25 5i Phương trình có hai nghiệm là 2 z 3 5i; z 3 5i

Do đó z0  3 5i z0 2 i   1 4i  17

Chọn A

Ví dụ 6 Gọi z là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình 1 z2 2z 5 0

Tọa độ điểm biểu diễn số phức

1

7 4 i

z trên mặt phẳng phức là

A P3; 2 B N1; 2  C Q3; 2  D M1;2

Hướng dẫn giải

1 2

 



      



Theo yêu cầu của bài toán ta chọn z1 1 2i Khi đó:

1

7 4 1 2

3 2

i

Vậy điểm biểu diễn của số phức là P3; 2

Chọn A

Ví dụ 7 Gọi z , 1 z là hai nghiệm phức của phương trình 2 z2 4z 5 0 Giá trị của biểu thức

z112019z212019 bằng

Hướng dẫn giải

Xét phương trình 2  2 1

2

2

2

 





Khi đó ta có: z112019z2 12019  1 i20191 i2019

    21009     21009

1    2 1009 1   2 1009

 2 1009 1  1    2 1010  2 505.21010 21010

Chọn D

Bài tập tự luyện dạng 1

Bài tập cơ bản

Câu 1: Nghiệm của phương trình z2 z 1 0 trên tập số phức là

 

 

Câu 2: Gọi z và 1 z là hai nghiệm của phương trình 2 z2 2z10 0 Tính giá trị của biểu thức

Câu 3: Phương trình z22z10 0 có hai nghiệm là z , 1 z Giá trị của 2 z1 z bằng2

Câu 4: Biết số phức z 3 4i là một nghiệm của phương trình z2az b 0, trong đó a, b là các số

thực Giá trị của a b là

Câu 5: Kí hiệu z là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình 0 2z2 6z 5 0 Hỏi điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn của số phức iz ?0

A 1

1 3

;

2 2

2 2



2 2

M

Câu 6: Cho z là nghiệm phức của phương trình x2  x 1 0 Giá trị của biểu thức P z 42z3 z là

A 1 3

2

2

Câu 7: Kí hiệu z là số phức có phần ảo âm của phương trình 0 9z26z37 0 Tọa độ của điểm biểu diễn số phức w iz là 0

A 2; 1

3

 

3

 

3



3



Câu 8: Kí hiệu z , 1 z là hai nghiệm phức của phương trình 2 z2 3z 5 0 Giá trị của z1  z bằng2

Câu 9: Kí hiệu z là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình 1 z2 2z 5 0 Giá trị của z1 2 6i

bằng

Câu 10: Gọi z và 1 z là hai nghiệm phức của phương trình 2 9z2 6z 4 0 Giá trị của biểu thức



z z bằng

A 4

3

Câu 11: Ký hiệu z , 1 z là nghiệm của phương trình 2 z22z10 0 Giá trị của z z bằng1 2

Câu 12: Gọi z , 1 z là hai nghiệm của phương trình 2 z2  2z 5 0 Giá trị của biểu thức z12z z1 2 là

Bài tập nâng cao

Câu 13: Phương trình z2 3z  có hai nghiệm phức 4 0 z , 1 z Giá trị của 2 2

1 2

z z bằng

Câu 14: Gọi z , 1 z là các nghiệm phức của phương trình 2 z2 2z  Môđun của 3 0 z z bằng13 24

Câu 15: Gọi z và 1 z là hai nghiệm phức của phương trình 2 2

0

az bz c a b   Giá trị của biểu, ,c  thức M z1z2 2z1 z22  z1  z2 2 bằng

A 4c

c a

4

c

c a



Câu 16: Gọi z là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình 0 z22z  Trên mặt phẳng tọa độ,5 0 điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn số phức 2019

0

w i z ?

A M  2;1 B M2;1 C M   2; 1 D M2; 1 

Câu 17: Gọi z , 1 z là hai nghiệm của phương trình 2 z2 4z13 0 và A, B lần lượt là hai điểm biểu diễn

cho hai số phức z , 1 z trong mặt phẳng tọa độ Oxy Diện tích tam giác OAB bằng2

Câu 18: Gọi z là một nghiệm của phương trình z2 z  Giá trị của biểu thức1 0

2019 2018

5

A 5 B 2 C 7 D 1

Câu 19: Trong tập các số phức, cho phương trình z2 6z m  , 0 m   1 Gọi m là một giá trị của0

m để phương trình  1 có hai nghiệm phân biệt z , 1 z thỏa mãn 2 z z1 1 z z2 2 Hỏi trong khoảng 0; 20

có bao nhiêu giá trị m   ?0

Câu 20: Gọi z và 1 z là các nghiệm phức của phương trình 2 z24z  5 0

Tính w 1 z11001z2100

A w250i B w 251 C w 251 D w250i

Dạng 2: Định lí Vi-ét và ứng dụng

Phương pháp giải

Định lí Vi-ét: Cho phương trình:

2

0

az bz c ; , ,ca b   ; a 0

có hai nghiệm phức z , 1 z thì 2 1 2

1 2

b

z z

a c

z z a









Ví dụ: Phương trình 2

nghiệm phức z , 1 z nên2

z z  ; z z 1 2 24

Chú ý: Học sinh hay nhầm lẫn: 1 2

b

z z

a

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1: Gọi z , 1 z là hai nghiệm phức của phương trình 2 z2 2z  Giá trị của biểu thức 5 0 z12z22

bằng

Hướng dẫn giải

Gọi z , 1 z là nghiệm của phương trình 2 z2 2z 5 0

Theo định lí Vi-ét ta có: 1 2

1 2

2

z z

z z







 Suy ra z12z22 z1z22 2z z1 2 22 2.56

Chọn C

Ví dụ 2: Phương trình bậc hai nào sau đây có nghiệm là 1 2i ?

A z2 2z 3 0 B z22z 5 0

C 2

z  z  D 2

z  z 

Hướng dẫn giải

Phương trình bậc hai có hai nghiệm phức là liên hợp của nhau nên phương

trình bậc hai có nghiệm 1 2i thì nghiệm còn lại là 1 2i

Khi đó tổng và tích của hai nghiệm lần lượt là 2; 5

Vậy số phức 1 2i là nghiệm của phương trình z2 2z 5 0

Chọn C

Chúng ta có thể giải từng phương trình:

+) z2 2z 3 0

z 12 2i2

+) 2

z  z 

z 12 4i2

1 2

  

1 2

  

+) z2 2z 5 0

z 12 4i2

1 2

  

1 2

  

+) z22z 3 0

z 12 2i2

Ví dụ 3: Kí hiệu z , 1 z là nghiệm phức của phương trình 2 2z24z  Tính giá trị biểu thức3 0

Pz z i z z

2

2

P 

Hướng dẫn giải

Ta có z , 1 z là hai nghiệm của phương trình 2 2z24z 3 0

Theo định lý Vi-ét ta có

1 2

2 3 2

z z

z z











2

2

Pz z i z z  i    i      

 

Chọn D

Ví dụ 4: Gọi z , 1 z là hai nghiệm phức của phương trình 2 z2 4z  7 0

Giá tị của P z 13z bằng32

Hướng dẫn giải

Theo định lý Vi-ét ta có 1 2

1 2

4

z z

z z









z z  z z z  z z z

    2 

Cách khác:

Ta có:

z  z 

 2 2

1

2

  

 

 



Do đó:

1  2

z z

20



Chọn A

Ví dụ 5: Gọi z và 1 z là hai nghiệm phức của phương trình 2 3z2 2z27 0 Giá trị của z z1 2 z z2 1

bằng

Hướng dẫn giải

Áp dụng định lý Vi-ét, ta có 1 2

2 3

z z  và z z 1 2 9

Mà z1 z2  z z1 2  z z1 2  9 3

2

3

z z z z z z  z z  

Chọn A

Ví dụ 6: Cho số thực a 2 và gọi z , 1 z là hai nghiệm phức của phương trình 2 z2 2z a  Mệnh đề0

nào sau đây sai?

A z1z2 là số thực B z1 z2 là số ảo

C 1 2

z  z là số thực

Hướng dẫn giải

Ta có z1 z2 b 2

a

   Đáp án A đúng

Phương trình bậc hai với hệ số thực có hai nghiệm là số phức liên hợp Gọi z1 x yi; ,x y   là một

nghiệm, nghiệm còn lại là z2  x yi

Suy ra z1 z2 2yi là số ảo Đáp án B đúng

 2

Vậy C là đáp án sai và D đúng

Chọn C

Bài tập tự luyện dạng 2

Bài tập cơ bản

Câu 1: Phương trình nào dưới đây nhận hai số phức i 3 và 3i làm nghiệm?

A z  2 5 0 B z  2 3 0 C z  2 9 0 D z 2 3 0

Câu 2: Phương trình bậc hai nào dưới đây nhận hai số phức 2 3i và 2 3i làm nghiệm?

A 2

z  z  B 2

z  z 

Câu 3: Kí hiệu z , 1 z là hai nghiệm phức của phương trình 2 z2 3z  Giá trị của 5 0 z z bằng1 2

A 5 B 1

2

2

Bài tập nâng cao

Câu 4: Gọi z , 1 z là các nghiệm của phương trình 2 z2 2z  Giá trị của biểu thức 5 0 P z 14z24 là

Câu 5: Cho số phức z có 0 z 0 2018 Diện tích của đa giác có các đỉnh là các điểm biểu diễn của z và0

các nghiệm của phương trình

z z  z z được viết dạng n 3, n   Chữ số hàng đơn vị của n là

Câu 6: Cho phương trình z2 mz   trong đó m là tham số thực Tìm m để phương trình có hai5 0 nghiệm z , 1 z thỏa mãn 2 2 2

z z 

Câu 7: Có bao nhiêu giá trị thực của a sao cho phương trình z2 az2a a 2  có hai nghiệm phức có0 môđun bằng 1?

Câu 8: Gọi z , 1 z là nghiệm phức của phương trình 2 z24z  Số phức 7 0 z z1 2z z1 2 bằng

Dạng 3: Phương trình quy về phương trình bậc hai

Phương pháp giải

 Nắm vững cách giải phương trình bậc hai

với hệ số thực trên tập số phức

 Nắm vững cách giải một số phương trình

quy về bậc hai, hệ phương trình đại số bậc

cao;…

Ví dụ: Giải phương trình: z4 z2 6 0 trên tập

số phức

Hướng dẫn giải

Đặt z2  , ta có phương trình:t

6 0

2

t

t t

t





     

 Với t 3 ta có z2  3 z 3 Với t 2ta có z2  2 zi 2 Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm z  3;

2

zi

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1: Tổng môđun bốn nghiệm phức của phương trình 2z4 3z2 2 0 là

Hướng dẫn giải

Ta có:

2

2 2 2

2

2 2

z z z

 











 



Khi đó, tổng môđun bốn nghiệm phức của phương trình đã cho bằng 2 2 2 2 3 2

Chọn A

Ví dụ 2: Kí hiệu z , 1 z , 2 z , 3 z là bốn nghiệm phức của phương trình 4 4 2

z  z   Giá trị của

z  z  z  z bằng

Hướng dẫn giải

Ta có:

2

2

1 1 1

5 5

5

z z z

z









 



 

 Phương trình có bốn nghiệm lần lượt là: z  , 1 1 z  , 2 1 z3 i 5, z4 i 5

Chọn B

Ví dụ 3: Gọi z , 1 z , 2 z , 3 z là các nghiệm phức của phương trình 4 z2z24z2z12 0 Giá trị của biểu thức S z12 z22 z32 z42 là

Hướng dẫn giải

Ta có: z2z24z2z12 0

Đặt t z 2 , ta có z 2 2

4 12 0

6

t

t







Suy ra:

1 2 2

4

1 2

2

z z

z

i z





 





  



2

S               

Chọn C

Ví dụ 4: Gọi z , 1 z là hai nghiệm của phương trình 2

4

z z

z   Khi đó z1z2 bằng

Hướng dẫn giải

Điều kiện: z 0

Ta có:

2

2

4 0

Vậy 1 2

1 1

z z    i  i   

Chọn A

Ví dụ 5: Cho số thực a, biết rằng phương trình z4az2  có bốn nghiệm 1 0 z , 1 z , 2 z , 3 z thỏa mãn4

 2   2   2   2 

A

1

19

2

a

a







 



B

1 19 2

a a







 



C

1 19 2

a a







 



D

1 19 2

a a







 



Hướng dẫn giải

Nhận xét: z2 4 z2  2i 2 z2i z   2i

Đặt f x  z4az21, ta có:

 2   2   2   2  4   4      

16i4 4ai2 1 16  i4 4ai2 1 17 4a2

Theo giả thiết, ta có  2

1

2

a a

a







 



Chọn B

Ví dụ 6: Cho số phức z thỏa mãn 11z201810iz201710iz11 0 Mệnh đề nào dưới đây đúng?

2z  2

Hướng dẫn giải

Đặt z a bi  có  

 

 

2

11 10

iz



Đặt tz t  ta có phương trình 0 2017 2

2

t



Nếu t 1 VT 1; VP 1

Nếu t 1 VT 1; VP 1

Nếu t 1 z 1

Chọn D

Bài tập tự luyện dạng 3

Câu 1: Gọi z , 1 z , 2 z là các nghiệm của phương trình 3 iz3 2z21 i z i  0 Biết z là số thuần ảo.1

Đặt Pz2 z3 , hãy chọn khẳng định đúng?

A 4P5 B 2P3 C 3P4 D 1P2

Câu 2: Kí hiệu z , 1 z , 2 z và 3 z là các nghiệm phức của phương trình 4 z4 5z2 36 0 Tính tổng

T z  z  z  z

Câu 3: Gọi A, B, C là các điểm biểu diễn các số phức z , 1 z , 2 z là nghiệm của phương trình3

z  z  z  Tính diện tích S của tam giác ABC

2

4

S 

Câu 4: Cho số phức z thỏa mãn 11z201810iz201710iz11 0 Mệnh đề nào sau đây đúng?

A 1 3;

2 2

z  

 B z 1;2 C z 0;1 D z 2;3

Câu 5: Cho phương trình z4 2z36z2 8z  có bốn nghiệm phức phân biệt là 9 0 z , 1 z , 2 z , 3 z 4

Tính giá trị của biểu thức  2   2   2   2 

Câu 6: Biết z , 1 z2  5 4i và z là ba nghiệm của phương trình 3 z3bz2cz d  0 b c d   , trong, , 

đó z là nghiệm có phần ảo dương Phần ảo của số phức 3 w z 1 3z22z3 bằng

Câu 7: Cho số phức z thỏa mãn 11z10 10iz910iz11 0 Tính môđun của số phức z

Câu 8: Cho số phức z thỏa mãn z6 z5z4 z3z2 z  Tìm phần thực của số phức1 0

 2 1

W z z  z

C Phần thực bằng 2 D Phần thực bằng 1

2

Câu 9: Kí hiệu z , 1 z , 2 z , 3 z , 4 z , 5 z là các nghiệm phức của phương trình6

Tính  2   2   2   2   2   2 

A T 20182 B T 20172 C T 20162 D T 20142

Câu 10: Kí hiệu z , 1 z , 2 z , 3 z là các nghiệm của phương trình 4

4

1 1 2

z

z i







  Tính giá trị của biểu thức

 2   2   2   2 

T  z  z  z  z 

9

9

T 

Câu 11: Cho số phức z a bi  a b, ,a0 có z  Kí hiệu 1 a là phần thực của biểu thức0

z  z z Giá trị nhỏ nhất của a0 1

a

 là

Câu 12: Cho số thực z thỏa mãn 3    

5z  i 4 z 2 i 4 Phần thực của số phức z3 là

A 12

4 5

1 5

HƯỚNG DẪN GIẢI

Dạng 1: Giải phương trình, tính toán biểu thức nghiệm

11- C 12- B 13- D 14- C 15- D 16- A 17- D 18- B 19- D 20-B

Dạng 2: Định lí Vi – ét và ứng dụng

Dạng 3: Phương trình quy về phương trình bậc hai

11- B 12- B