Vậy hai đường thẳng như thế nào thì được gọi là đồng phẳng Hai đường thẳng gọi là đồng phẳng nếu chúng cùng nằm trong một mặt phẳng b Ta nói a và b đồng phẳng... a b a và b chéo nhau Ha
Trang 1VÀ HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG
Trang 2c
Có mặt phẳng chứa cả
hai đường thẳng a và b
Không có mặt phẳng nào chứa
cả hai đường thẳng a và c
Có mặt phẳng nào chứa cả hai đường thẳng a và
b không?
a và c không đồng phẳng
Ta nói
Có mặt phẳng nào chứa cả hai đường thẳng a và c không?
Vậy hai đường thẳng như thế nào thì được gọi
là đồng phẳng
Hai đường thẳng gọi là đồng phẳng nếu chúng cùng nằm trong một mặt
phẳng b
Ta nói a và b
đồng phẳng
Trang 3Xảy ra các trường hợp nào?
a b
a và b chéo nhau
Hai đường thẳng gọi là chéo nhau
nếu chúng không đồng phẳng
Ta nói
β
Vậy hai đường thẳng như thế nào thì được gọi là chéo nhau
Khi a và b đồng phẳng thì có những khả năng nào có thể xảy ra?
a
b
Trang 4• I VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG
Hai đường thẳng gọi là đồng phẳng nếu chúng cùng nằm trên một mặt phẳng Hai đường thẳng gọi là chéo nhau nếu chúng không đồng phẳng
Trường hợp a và b đồng phẳng , có hai khả năng sau:
a và b không có điểm chung a và b có một điểm chung duy nhất
Ta nói :a và b song song với nhau
Kí hiệu: a//b
Vậy hai đường thẳng như thế nào thì được gọi là song song
Nếu chúng đồng phẳng
và không có điểm chung
a b
I
Ta nói:a và b cắt nhau tại I
Ta viết: a ∩ b = I
Trang 5Hai đường thẳng gọi là đồng phẳng nếu chúng cùng nằm
trong một mặt phẳng
Hai đường thẳng gọi là chéo nhau nếu chúng không đồng phẳng
Hai đường thẳng gọi là song song nếu chúng đồng phẳng
và không có điểm chung
Cho hai đường thẳng bất kì trong không gian
ĐỊNH NGHĨA
Hãy phân biệt hai
đường thẳng chéo
nhau và hai đường
thẳng song song
Giống nhau
Khác nhau
Không có điểm chung
Chéo nhau: không đồng phẳng Song song: đồng phẳng
Trang 6• I VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG
Hai đường thẳng gọi là đồng phẳng nếu chúng cùng nằm trong một mặt phẳng
Hai đường thẳng gọi là chéo nhau nếu chúng không đồng phẳng Hai đường thẳng gọi là song song nếu chúng đồng phẳng
và không có điểm chung ĐỊNH NGHĨA
B
C
D
Hai đường thẳng AB
và CD có chéo nhau
không?
Khi đó 2 đường thẳng AB và CD chéo nhau
Giả sử AB và CD đồng phẳng thì
4 điểm A, B, C, D đồng phẳng
(mâu thuẩn với ABCD là tứ diện)
Vậy AB và CD chéo nhau
Thật vậy
AC và BD ;AD và BC Hãy chỉ ra cặp đường
thẳng chéo nhau khác
Trang 7• II TÍNH CHẤT
d
M ∉
Giả sử ta có điểm M và đường thẳng d,
Khi đó điểm M và d xác định
1 mặt phẳng (M,d)
Trong (M,d) có một và chỉ một
đường thẳng d’ đi qua M và d’//d
Trong kgian nếu có d” đi qua M và d”//d
thì d” cũng nằm trong (M,d)
Vậy d’’ trùng với d’
Định lí 1 Trong mặt phẳng , qua một điểm không nằm trên đường
thẳng cho trước, có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho
Chứng minh
M
d d’
(M,d)
Trong không gian
Trong không gian có tính chất này không?
°
Trang 8• I VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG
• II TÍNH CHẤT
Định lí 1
Bài toán: Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) Một mặt phẳng (R) cắt (P)
và (Q) lần lượt theo các giao tuyến a và b.Nếu a và b cắt nhau
tại I thì
I có phải là điểm chung của hai mặt phẳng (P) và (Q)
không?
I là điểm chung của (P) và (Q)
Nếu 3 mặt phẳng phân biệt đôi một cắt nhau theo 3 giao tuyến phân biệt thì 3 giao tuyến ấy có vị
trí như thế nào?
Nếu hai giao tuyến song song Đồng quy
Nếu hai giao tuyến cắt nhau
đôi một song song P
Q R
I
R
P
Q
c a
b
Trang 9• II TÍNH CHẤT
Định lí 1
P
Q R
I
Nếu ba mặt phẳng phân biệt cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy như thế nào?
Hoặc đồng quy hoặc đôi một song song với nhau
P
Q
R
c
Trang 10• I VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG
• II TÍNH CHẤT
Định lí 1
P
Q R
I
P
Q
R
c
Định lí 2:
Nếu ba mặt phẳng phân biệt đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song với nhau
P
Q
R
c
Trang 11• II TÍNH CHẤT
Định lí 1
P
Q
R
c
Định lí 2: Nếu ba mặt phẳng phân biệt đôi một cắt nhau theo ba giao
tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song với nhau
NHÌN HÌNH VẼ Nếu ta đã có hai đường thẳng
a//b, 2 mặt phẳng (P) và (Q) cắt
nhau theo giao tuyến c và lần
lượt đi qua 2 đường thẳng a và
b thì có nhận xét gì về vị trí của
c với 2 đường thẳng a và b
Song song hoặc trùng với a hoặc b
Trang 12• I VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG
• II TÍNH CHẤT
P
Q
c
Hệ QUả: Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường
thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó
a
c b
Trang 13• II TÍNH CHẤT
Hệ QUả: Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường
thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó
VÍ DỤ 2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD
A
B
C
D
a) Xác định giao tuyến của (SAD) và (SBC)
Nhận xét: + S là điểm chung của (SAD) và (SBC)
+ 2 mp (SAD), (SBC) lần lượt chứa hai
đường thẳng AD và BC song song nhau
Vậy giao tuyến của hai mp(SAD) và (SBC)
là đường thẳng d đi qua S và
song song với AD
d S
Trang 14• I VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG
• II TÍNH CHẤT
VÍ DỤ 2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD
S
A
B
C
D
a) Xác định giao tuyến của (SAD) và (SBC)
d b) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD, BC
J
I P
Q
Nhận xét: +(P) cắt (ABCD) theo giao tuyến IJ
+ (P) cắt (SCD) theo giao tuyến PQ
+ (SCD) cắt (ABCD) theo giao tuyến CD
Theo ĐLí 2: IJ , CD, PQ đôi một song song
Vậy IJPQ là hình thang
Mp(P) đi qua IJ và cắt SC, SD lần lượt tại P, Q CMR: IJPQ là hình thang
P
°
°
Trang 15• II TÍNH CHẤT
S
A
B
C
D d
J
I P
Q
P
Nhìn hình vẽ ta thấy: hai
đường thẳng PQ và IJ chúng
cùng song song với đường
thẳng CD và chúng cũng
song song với nhau
Vậy trong không gian ta cũng
có tính chất:
Hai đường thẳng phân biệt
cùng song song với đường
thẳng thứ ba thì chúng song
song với nhau
Định lí 3: Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng
thứ ba thì song song với nhau Khi hai đường thẳng a và b cùng song song với
đường thẳng c ta kí hiệu a // b // c
Và gọi là ba đường thẳng song song
P
R
a
b
c
Q
Trang 16• I VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG
• II TÍNH CHẤT
VÍ DỤ 3: Cho tứ diện ABCD Gọi M, N, P, Q, R và S lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AC, BD, AB, CD, AD và BC Chứng minh rằng các đoạn thẳng MN, PQ, RS đồng quy tại trung điểm của mỗi đoạn
A
B
C
D P
Q S
R M
G N
Nhận xét: + PRQS là hình bình hành
Gọi G là giao điểm của PQ và RS thì
G là trung điểm của RS + MRNS là hình bình hành
Do đó G cũng là trung điểm của MN
Vậy MN, PQ, RS đồng quy tại
trung điểm của mỗi đường
*GHI CHÚ: Điểm G như thế được
gọi là trọng tâm của tứ diện
Trang 17(A) Hai đường thẳng chéo nhau có 1 điểm chung
(D) Hai đường thẳng không cắt nhau thì song song
(C) Hai đường thẳng không song song thì chéo nhau
(B) Hai đường thẳng phân biệt không song song và cũng không cắt nhau thì chéo nhau
CÂU 2:
°
°
°
°
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang
ABCD ( AB // CD) M, N lần lượt là trung điểm
của SA và SD, Mp(P) đi qua MN và cắt SC,
SB lần lượt tại P và Q.Gọi d là giao tuyến
của (SAD) và (SBC)
S
A
C
M
P Q
Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau
(A) d song song với AD
(D) 4 điểm A, D, P, Q đồng phẳng (B) MN, PQ và d đôi một song song với nhau
d
(C) NC và d cắt nhau
B
D N
đúng
Trang 18KI ẾN THỨC CẦN NHỚ
I Kh ái niệm hai đường thẳng đồng phẳng, chéo nhau, song song
II Các định lí.
III Ph ương pháp:
+ Chứng minh hai đường thẳng chéo nhau
+ Chứng minh hai đường thẳng song song
+ Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
GIảI CÁC BÀI TậP TRONG SGK