Bài 5 phương trình mũ logarit

Tìm tập nghiệm S của phương trình 2 2 3 Cách2.CALC với các giá trị của đáp án xem giá trị nào là nghiệm... Tổng các nghiệm của phương trình là một số nguyên.. Với giá trị nào tham số m

TỰ HỌC ĐIỂM 9 MÔN TOÁN

B ÀI 5: PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT PHẦN 1 – PHƯƠNG TRÌNH MŨ

I – L Ý THUYẾT

A- Lũy thừa:

1 Định nghĩa lũy thừa và căn

• Cho số thực b và số nguyên dương n n( ≥2) Số a được gọi là căn bậc n của số b nếu n

a = b

• Chú ý:  Với n lẻ và b∈  : Có duy nhất một căn bậc n của b, ký hiệu n

b

 Với n chẵn: b=0 : Có một căn bậc n của b là 0

b>0 : Có hai bậc n của a là hai số đối nhau, căn có giá trị

Chú ý: - Các tính chất trên đúng trong trường hợp số mũ nguyên hoặc không nguyên

- Khi xét lũy thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số α phải khác 0

- Khi xét lũy thừa với số mũ không nguyên thì cơ số α phải dương

3 Một số tính chất của căn bậc n

a b∈ n∈ , ta có:

n n

+ +

y=a nghịch biến, khi đó ta luôn có: a f x( )>a g x( )⇔ f x( )<g x( )

u u

x x

Vậy tọa độ giao điểm cần tìm là (−3;11)

Ví dụ 4 Tìm tập nghiệm S của phương trình 2 2 3

Cách2.CALC với các giá trị của đáp án xem giá trị nào là nghiệm

2x + +x − 8x

CALC tạiX=1tađược0

Ví dụ 5 Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình 2

3 2

.2

2016 2017x x=2016 x Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A Phương trình đã cho có hai nghiệm âm phân biệt

B Phương trình đã cho có một nghiệm bằng 0 và một nghiệm âm

C Phương trình đã cho có một nghiệm bằng 0 và một nghiệm dương

D Phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu và một nghiệm bằng 0

• Dạng : ma x + nb x + pc x = q (a, b, c là bội của nhau)

Ví dụ 1 Nghiệm của phương trình 1 1

2x+2x+ =3x+3x+ là:

2

3log4

3

2log3

x=

Lời giải Chọn D

3 2

L ời giải

Ch ọn B

( 3 )

2 3

1

2

x x

1 3

x

x

A Tích các nghiệm của phương trình là một số âm

B Tổng các nghiệm của phương trình là một số nguyên

C Nghiệm của phương trình là các số vô tỉ

D Phương trình vô nghiệm

Lời giải Chọn A

Lời giải Chọn A

Ví dụ 1 Nghiệm của phương trình 2 2

2 x−3.2x+ +32= là: 0

A x∈{ }2;3 B x∈{ }4;8 C x∈{ }2;8 D x∈{ }3; 4

Lời giải Chọn A

3

x x

x

x x

Ví dụ 9 Phương trình 1 1

9

x x

− = +     có bao nhiêu nghiệm âm?

Lời giải Chọn A

Phương trình tương đương với

Đặt t=3 (x t>0),khi đó phương trình đã cho tương đương với

Ví dụ 11 Cho phương trình (7+4 3) (x+ 2+ 3)x =6.Khẳng định nào sau đây là đúng?

Lời giải Chọn A

Phương trình tương đương với

Với t = 1, ta được 3 1x− ⇔ = x 0

Với t = 3, ta được 3x = ⇔ = 3 x 1

Vậy phương trình có nghiệm x=0,x= 1

Ví dụ 13 Nghiệm của phương trình 6.4 13.6 6.9x− x+ x = là: 0

Vậy tổng hai nghiệm bằng 0

Ví dụ 18 Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình 2 12

4 x+2 x− = trên đoạn 3 0 [0;3π ]

A T = π B 3

.2

π π ππ

Vì 0≤ ≤x 3π → =x {0; ; 2 ; 3π π π} (thỏa mãn)→ =T 6 π

Ví dụ 19 Phương trình 2 2 ( )2

1 1

4x +x+2−x =2x+ + cĩ tất cả bao nhiêu nghiệm? 1

Ví dụ 20 Tính S là tổng tất cả các nghiệm của phương trình ( 2 2 ) ( )

32

1 2

DẠNG 4 LÔGARIT HÓA HAI VẾ Phương trình có dạng a f(x) = kb f(x) hoặc a f(x) b f(x) = k (với UCLN của (a, b) = 1)

Khi đó lôgarit hai vế cơ số a hoặc b (nên chọn cơ số có số mũ phức tạp)

2 x+ >0 nên để phương trình có nghiệm thì x>0

Lấy logarit cơ số 2 của hai vế phương trình, ta được log5(x+3)=log2x

Ví dụ 3 Gọi T là tổng tất cả các nghiệm của phương trình 2

3 2x x =1 Mệnh đề nào sau đây là đúng?

T < −

Lời giải

 Lấy logarit cơ số 1

x

−

+

x x

x x

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x=2

Ví dụ 7 Tìm tập nghiệm S của phương trình 1 2 2

P=

Lời giải

Chọn A

Xét hàm số f(x) = �𝐚𝐚𝐜𝐜�𝐱𝐱 + �𝐛𝐛𝐜𝐜�𝐱𝐱- 1 trên R => f(x) luôn đồng biến hoặc nghịch biến mà f(x o ) = 0

=> Phương trình có một nghiệm duy nhất x = x o

Ví dụ 1 Tìm số nghiệm của phương trình 2x +2 x = 3.

A Có 2 nghiệm B Có vô số nghiệm

C Có 1 nghiệm D Không có nghiệm

Lời giải Chọn D

Đk: x>0

Xét 0< <x 1⇒

11

x x

101

x x

A Phương trình ( )1 có nghiệm duy nhất

B Phương trình ( )1 vô nghiệm

C Phương trình ( )1 có tổng các nghiệm bằng 0

D Phương trình ( )1 có nhiều hơn hai nghiệm

Lời giải Chọn C

Hàm số ( )f x nghịch biến trên do các cơ số 3 2 1; 3 2 1

Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất x=1

Ví dụ 6 Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình sin 2 cos 2

2017 x−2017 x =cos 2x trên đoạn [ ]0;π

Ví dụ 7 Biết rằng phương trình 2 1 ( 2 ) 1

3x− + x −1 3x+ =1 có đúng hai nghiệm phân biệt Tổng lập phương

hai nghiệm của phương trình bằng:

2016x − + x −1 2017x =1 Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A Phương trình đã cho có tổng các nghiệm bằng 0

B Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất

C Phương trình đã cho có hai nghiệm dương phân biệt

D Phương trình đã cho có nhiều hơn hai nghiệm

Lời giải Chọn A

 Kiểm tra x= ±1 thỏa mãn phương trình đã cho

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x= − = , 1 x1 x= =1 x2

Suy ra phương trình đã cho có tổng các nghiệm bằng 0

Vậy nghiệm duy nhất của phương trình là S=( )1; 5

Ví dụ 3 TínhPlà tích tất cả các nghiệm của phương trình 6 2.2 81.3 162 0.x− x− x+ =

Dựa vào bảng biến thiên:

+ nếu m<2 thì phương trình (1’) vô nghiệm => pt (1) vô nghiệm

+ nếu m=2 thì phương trình (1’) có đúng một nghiệm t= =>1 pt(1)có đúng một nghiệm

+ nếu m>2 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt => pt(1) có hai nghiệm phân biệt

Ví dụ 2 Với giá trị nào tham số m thì phương trình ( ) 1

Ví dụ 3 Với giá trị nào của tham số m thì phương trình 1

4x−m.2x+ +2m= 0 có hai nghiệm x x 1, 2 với thỏa mãn x1+x2= ? 3

A m=4 B m=2 C m=1 D m=3

Lời giải Chọn A

Thử lại ta được m=4thỏa mãn

Ví dụ 4 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 2 1 2

Vì 2x−1có miền giá trị là  nên 2 1

2 x− có miền giá trị là (0;+∞), do đó phương trình có nghiệm

Cách 2 Ycbt ⇔ phương trình ( )2 có hai nghiệm t1, t 2 thỏa mãn 1 2

00

Ví dụ 7 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sin 1 sin

Ví dụ 8 Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình 1

Theo định lí Viet, ta có 2 2x1 x2 =2m⇔2x1+x2 =2m⇔ =4 2m⇔ = (thỏa) m 2

Ví dụ 10 Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình 2 1

Theo Viet, ta có 2017 2017x1 x2 =2017m⇔2017x1+x2 =2017m⇔2017=2017m⇔ = m 1 Thử lại với m = 1 ta thấy thỏa mãn

+ Nếu a > 1 thì loga b>loga c⇔ > b c

+ Nếu 0 < a < 1 thì loga b>loga c⇔ < b c

a

c c

1 Dạng 1: Phương trình logarit cơ bản

- Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa

- Casio: Nhập hàm – dùng chức năng Solve trong máy tính để tìm nghiệm ( Chỉ áp dụng được với một số phương trình)

- Ví dụ điển hình:

Ví dụ 1 Tập nghiệm của phương trình log (3x 7)2 − = là 3

Lời giải Chọn C

b a

b a

Điều kiện 3 7 0 7

3

x− > ⇔ > x

Vậy phương trình có tập nghiệm là S ={ }5

Ví dụ 2 Tập nghiệm của phương trình log x2 = là 5

Lời giải Chọn D

- Phương pháp giải: Dùng các công thức biến đổi logarit để đưa về các logarit có cùng cơ số,

từ đó đưa về phương trình dạng cơ bản

- Casio: Dùng chức năng Solve trong máy tính hoặc có thể dùng chức năng Calc đối với các câu trắc nghiệm hỏi tập nghiệm của phương trình

- Một số ví dụ:

Ví dụ 1 Tìm số nghiệm của phương trình log 3 x.log3x.log9x=8

Lời giải Chọn C

ĐKXĐ: x>0

3

Vậy phương trình có 1 nghiệm

Ví dụ 2 Tìm số nghiệm của phương trình log (5 x+2)=log (45 x+6)

Lời giải Chọn B

x x

24( )

- Phương pháp giải: Biến đổi phương trình về dạng chỉ chứa một loại hàm số logarit, đặt ẩn phụ

t để đưa phương trình biến số x đã cho về phương trình mới với biến t, giải phương trình này rồi tìm t, từ đó tìm x

-Casio: Thử nghiệm hoặc dùng chức năng Solve

>

 ≥

x x

log 2x −2 log 4x − =8 0( )1 Khi đó phương trình ( )1 tương đương

với phương trình nào dưới đây:

Chú ý rằng hai phương trình tương đương với nhau khi chúng có cùng tập nghiệm Như vậy, ta

sẽ sử dụng máy tính tìm các nghiệm của phương trình ( )1 , sau đó thử vào các phương trình ở dưới

Bấm máy tính ta giải ra được nghiệm x=0, 25 và x=2 Thử các đáp án, ta chỉ thấy có đáp án

4x −9x+ = 2 0

2 2

x x

x x

ban đầu vào các đáp án ta thấy D thoả mãn

4 Dạng 4: Giải phương trình logarit bằng phương pháp mũ hóa

- Phương pháp giải: Đưa phương trình đã cho về một trong các dạng sau:

trình theo ẩn t, giải phương trình này tìm t, từ đó tìm x

- Sai lầm thường gặp: Học sinh thường quên đặt điều kiện dẫn đến thừa nghiệm

Ví dụ 2 Số nghiệm của phương trình log2(2x− = − là: 1) 3 x

x

x x

( ) ( )

2 2

Kết hợp điều kiện suy ra tổng bình phương các nghiệm là 5

Ví dụ 2 Phương trình log2x+2 log5x= +2 log2x.log5x có tích các nghiệm là:

Lời giải Chọn B

Vậy tích 2 nghiệm của phương trình là 20

Ví dụ 3 Tổng các nghiệm của phương trình 2 ( )

log x−logx log 4x +2 log x=0 là:

Lời giải Chọn B

2

- Phương pháp giải: Ta thường sử dụng các tính chất sau:

Tính chất 1: Nếu hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trong khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = C có

không quá một nghiệm trong khỏang (a;b) ( do đó nếu tồn tại x0 ∈ (a;b) sao cho f(x0) = C thì đó

là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = C)

Tính chất 2 : Nếu hàm f tăng trong khỏang (a;b) và hàm g là hàm một hàm giảm trong khỏang

(a;b) thì phương trình f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm trong khỏang (a;b) ( do đó nếu tồn tại x0 ∈ (a;b) sao cho f(x0) = g(x0) thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = g(x))

- Ví dụ điển hình:

Ví dụ 1 Giải phương trình log3(x+ +1) log5(2x+ =1) 2 ta được tập nghiệm là:

A S = {2} B S = {2;3} C S = {3} D S = {0}

Lời giải Chọn A

Mặt khác f x( )= f ( )2 = ⇔ =2 x 2 Kết hợp điều kiện suy ra nghiệm là x = 2

Ví dụ 2 Phương trình x+log(x2− −x 6)= +4 log(x+2) có mấy nghiệm?

Lời giải Chọn B

Mặt khác f x( )= f ( )4 = ⇔ =4 x 4 Kết hợp điều kiện suy ra nghiệm của phương trình là x =

4

Ví dụ 3 Nghiệm của phương trình log5x=log7(x+2) là:

Lời giải Chọn B

x

x x

Thay t = 1 vào (1) suy ra x = 5

Dạng 7: Phương trình logarit có chứa tham số

- Phương pháp giải: Dùng kết hợp các phương pháp đặt ẩn, mũ hóa, đưa về cùng cơ số, đánh giá

tính đơn điệu của hàm số

Từ bảng biến thiên ta thấy 2≤m≤6thỏa mãn yêu cầu bài toán

Ví dụ 2 Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình 2

2

log (− −x 3x− +m 10)= có 2 nghiệm thực 3phân biệt trái dấu

A m<4 B m>2 C m<2 D m>4

Lời giải Chọn C

2 2

m m