Bài 1 lũy thừa

Định nghĩa lũy thừa và căn - Cho số thực b và số nguyên dương n n≥2.. ° Khi xét lũy thừa với số mũ không nguyên thì cơ số a phải dương... Yêu cầu: Vận dụng thành thạo định nghĩa, tính c

TỰ HỌC ĐIỂM 9 MÔN TOÁN

CHƯƠNG II: LŨY THỪA – MŨ VÀ LOGARIT

B ÀI 1: LŨY THỪA

I – L Ý THUYẾT

1 KIẾN THỨC CƠ BẢN

a Định nghĩa lũy thừa và căn

- Cho số thực b và số nguyên dương n (n≥2) Số a được gọi là căn bậc n của số b nếu n

a = b

- Chú ý: ° Với n lẻ và b∈ : Có duy nhất một căn bậc n của b , kí hiệu là n b

°Với n chẵn: b=0 : Có một căn bậc n của b là số 0

0 :

b> Có hai căn bậc n của a là hai số đối nhau, căn có giá trị dương ký hiệu

là n b, căn có giá trị âm kí hiệu là −n b

a

*

n

aα =a = ⋅  (a a a n thừa số a) 0

1

aα =a =

*

n n

n

a

α = − =

*

m

n

m

m n n

aα =a = a ,

a = ⇔ =b a b

*

lim , (r n r n ,n )

aα = a

b Một số tính chất của lũy thừa

- Giả thuyết rằng mỗi biểu thức được xét đều có nghĩa:

;

aα⋅aβ =aα β+ a a ;

a

α

α β β

−

(aα β) =aα β ; (ab)α =aα⋅bα; a a ;

α

  =

 

 

−

- Nếu a > thì a1 α >aβ ⇔ > ; Nếu 0α β < < thì a a 1 α >aβ ⇔ < α β

- Với mọi 0 a b< < , ta có: a m <b m⇔ > ; m 0 a m >b m⇔ < m 0

- Chú ý: ° Các tính chất trên đúng trong trường hợp số mũ nguyên hoặc không nguyên

°Khi xét lũy thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số a phải khác 0

° Khi xét lũy thừa với số mũ không nguyên thì cơ số a phải dương

c Một số tính chất của căn bậc n

a b∈ ∈ , ta có:

° 2n a2n =,∀ ; a a ° 2n+1a2n+1 = ,∀ a a

° 2 2 2

n

ab = ⋅  ∀a b ab≥ ; ° 2 1 2 1 2 1

,

°

2 2

2

n n

n



n n

n

a b

+ +

+

-Với ,a b∈  ta có: ,

° n m ( )n m, 0

a = a ∀ >a , n nguyên dương, m nguyên

° n m nm , 0

a = a ∀ ≥a , n,mnguyên dương

°Nếu p q

n =m thì n a p =m a q,∀ >a 0, ,m nnguyên dương, p q, nguyên Đặc biệt: n a =m n⋅ a m ( Yêu cầu: Vận dụng thành thạo định nghĩa, tính chất của lũy thừa.)

II – D ẠNG TOÁN

1 D a ̣ng 1: Biến đổi biểu thức liên quan

Phương pháp giải

- T ự luâ ̣n thuần túy

- Tr ắc nghiê ̣m (Cách nhâ ̣n xét bài toán, me ̣o mực để lo ̣a trừ)

- Casio, Công th ức giải nhanh

…

V ı́ dụ điển hı̀nh

Ví dụ 1: Kết luận nào đúng về số thực a nếu 3 1

(2a+1)− >(2a+1)−

A

1

0 2

1

a a

− < <





< −



1

a a

< <



 < −

Lời giải

Chọn A

(2a+1)− >(2a+1)− khi

1

2

1

a

a



< + < − < <

⇔

Ví dụ 2: Khẳng định nào sau đây đúng:

A a−nxác định với mọi ∀ ∈a \ 0 ;{ } ∀ ∈n N B ;

m

n m n

a = a ∀ ∈ a

m

n m n

a =a ∀ ∈ ∀a  m n∈

Lời giải

Chọn A

Áp dụng tính chất của lũy thừa với số mũ thực ta có đáp án A là đáp án chính xác

2 D a ̣ng 2: Rút gọn biểu thức

Ví dụ 3: Đơn giản biểu thức 4 2

81a b , ta được:

Lời giải

Chọn B

81a b = 9a b = 9a b =9a b

Ví dụ 4: Cho

1 2

−

= −    − + 

y y

x x vớix>0,y>0 Biểu thức rút gọn của K là?

Lời giải

Chọn A

Giải theo tự luận

Rút gọn

−

Giải theo casio

Ta hiểu nếu đáp án A đúng thì K x= hay hiệu

1 2

x x

−

giá trị x y; thỏa mãn điều kiện x>0,y> 0

- Nhập hiệu trên vào máy tính Casio

(Q)^a1R2$$pQn^a1R2$$)d(1p2saQnRQ)$$+aQnRQ)$)^p1pQ)

Chọn 1 giá trị X =1.25 và Y = bất kì thỏa 3 x>0,y>0rồi dùng lệnh gán giá trị CALC

r1.25=3=

- Ta đã tính được giá trị x vậy dễ dàng tính được giá trị log 9

y= 12^i9$Qz=

Vậy ta khẳng định 90% đáp án A đúng

- Để cho yên tâm ta thử chọn giá trị khác, ví dụ như X =0.55,Y =1.12

r0.55=1.12=

Kết quả vẫn ra là 0, vậy ta chắc chắn A là đáp số chính xác

Chú ý: Nếu 1 khẳng định ( 1 hệ thức đúng ) thì nó sẽ đúng với mọi giá trị x y, thỏa mãn điều kiện đề bài Vậy ta chỉ cần chọn các giá trị , X Y > để thử và ưu tiên các giá trị này hơi lẻ, 0

tránh số tránh (có khả năng xảy ra trường hợp đặc biệt)

3 D a ̣ng 3: Dạng khác

Ví dụ 5: Một người gửi số tiền M triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất 0,7% / tháng Biết rằng

nếu người đó không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi tháng, số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu (người ta gọi đó là lãi kép) Sau ba năm, người đó muốn lãnh được số tiền là 5 triệu đồng, nếu trong khoảng thời gian này không rút tiền ra và lãi suất không đổi, thì người đó

cần gửi số tiền M là:

Lời giải

Chọn A

Giải theo tự luận

Áp dụng công thức trên với T n = , 5 r=0, 007, n=36, thì số tiền người đó cần gửi vào ngân hàng trong 3 năm (36 tháng) là:

( )36

5

3,889636925

n n

T M

r

VÍ D Ụ TỔNG HỢP

Ví dụ 1 Cho ( ) x x63 2

f x

x

= khi đó f ( )1, 3 bằng:

Hướng dẫn giải

C họn đáp án B

Phương pháp tự luận

Vì x=1, 3> nên ta có: 0 ( )

2 1

1 6

6

x

x

= = = ⇒ f ( )1, 3 =1, 3

Ví dụ 2 Cho f x( )= 3 x x x4 12 5 Khi đó (2,7)f bằng

Hướng dẫn giải

C họn đáp án C

Phương pháp tự luận

Vì x=2, 7> nên ta có: 0 ( ) 3 4 12 5 13 14 125

f x = x x x =x x x =x⇒ f ( )2, 7 =2, 7

Ví dụ 3 Đơn giản biểu thức 4 2

81a b , ta được:

Hướng dẫn giải

C họn đáp án B

81a b = 9a b = 9a b =9a b

Ví dụ 4 Đơn giản biểu thức 4 8( )4

1

x x+ , ta được:

A 2( )

1

1

x x

1

1

x x+

Hướng dẫn giải

C họn đáp án D

Phương pháp tự luận 4 8( )4 4 2( )4 2( ) 2

x x+ = x x+ = x x+ =x x+

Ví dụ 5 Đơn giản biểu thức 3( )9

3 x x+1 , ta được:

A ( )3

1

x x

1

1

1

x x+

Hướng dẫn giải

C họn đáp án B

Phương pháp tự luận ( )9 ( ( )3)3 ( )3

3

Ví dụ 6 Khẳng định nào sau đây đúng

A a0 = ∀ 1 a B a2 > ⇔ > 1 a 1 C 2 3<3 2 D

−

  < 

   

   

Hướng dẫn giải

C họn đáp án C

Đáp án A và B sai do áp dụng trực tiếp lí thuyết

Dùng máy tính để kiểm tra kết quả đáp án A và D

Ví dụ 7 Nếu ( ) 2

a+

thì

Hướng dẫn giải

C họn đáp án A

Do 2 3 1 1− > nên ( ) 2

a

+

Ví dụ 8 Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào sai?

A ( ) 2 ( ) 2

0, 01− > 10 − B ( ) 2 ( ) 2

0, 01− < 10 −

C ( ) 2 ( ) 2

0, 01− = 10 − D a0 = ∀ ≠ 1, a 0

Hướng dẫn giải

C họn đáp án B

Dùng máy tính kiểm tra kết quả

Ví dụ 9 Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào đúng?

11− 2 > 11− 2 7

3− 2 < 3− 2 5

Hướng dẫn giải

C họn đáp án C

Dùng máy tính kiểm tra kết quả

Ví dụ 10 Nếu ( )2 2

m−

thì

2

2

2

2

m≠

Hướng dẫn giải

C họn đáp án C

2

m

Ví dụ 11 Cho n nguyên dương(n≥2) khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A

1

n n

a = a ∀ > a 0 B

1

n n

a = a ∀ ≠ a 0

C

1

n n

1

n n

a = a ∀ ∈  a

Hướng dẫn giải

C họn đáp án A

Áp dụng định nghĩa lũy thừa với số mũ hữu tỉ ta có đáp án A là đáp án chính xác

Ví dụ 12 Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

A ab = a b ∀a b, B 2n a2n ≥0∀ ,a n nguyên dương(n≥ 1)

C 2n a2n = a ∀ ,a n nguyên dương(n≥ 1) D 4 a2 = a ∀ ≥ a 0

Hướng dẫn giải

C họn đáp án A

Áp dụng tính chất căn bậc n ta có đáp án A là đáp án chính xác

Ví dụ 13 Cho a>0,b<0, khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

A 4a b4 4 =ab B 3a b3 3 =ab

C a b2 2 = ab D a b4 2 = −a b2

Hướng dẫn giải

C họn đáp án A

Áp dụng tính chất căn bâc n ta có đáp án A là đáp án chính xác

Ví dụ 14 Tìm điều kiện của a để khẳng định 2

(3−a) = −a 3 là khẳng định đúng?

Hướng dẫn giải

C họn đáp án D









Ví dụ 15 Chon∈N n; ≥ kh2 ẳng định nào sau đây đúng?

A

1

n n

a = a,∀ ≠ B a 0 a1n = n a,∀ > a 0

C

1

n n

a = a,∀ ≥ D a 0 1n n

a = a,∀ ∈  a

Lời giải:

C họn đáp án B

Đáp án B đúng Đáp án A, C, D sai vì điều kiện của a

Ví dụ 16 Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

A ab = a b ∀a b, B 2 2

0

n n

a ≥ ∀ ,a n nguyên dương(n≥2)

C 2n a2n = a ∀ ,a n nguyên dương(n≥2)

2 4

a = a ∀ ≥ a 0

Hướng dẫn giải

C họn đáp án A

Vì đẳng thức chỉ xáy ra khi 0

0

a b

≥



 ≥

Ví dụ 17 Cho a>0,b< , kh0 ẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

A 4a b4 4 =ab B 3a b3 3 =ab C a b2 2 = ab

a b =ab

Hướng dẫn giải

C họn đáp án A

Do a>0,b< nên 0 4 4 4 4 4

a b = ab = ab = − Đáp án A là đáp án chính xác ab

Ví dụ 18 Nếu

1 1 6 2

a >a và 2 3

b >b thì

A a>1; 0< <b 1 B a>1;b<1 C 0< <a 1;b<1 D a<1; 0< < b 1

Hướng dẫn giải

C họn đáp án A

2> nên 6 a12 >a16 ⇒ >a 1

Vì 2 < 3nên b 2 >b 3 ⇒ < <0 b 1vậy đáp án A là đáp án chính xác

Ví dụ 19 Choa,b là các số dương Rút gọn biểu thức ( )4

4

a b P

a b

A ab 2 B a b 2 C ab D a b 2 2

Hướng dẫn giải

C họn đáp án C

4

2

a b

a b

a b

Ví dụ 20 Cho 3α <27 Mệnh đề nào sau đây là đúng?

3

α α

< −



 >

Hướng dẫn giải

C họn đáp án D

Ta có 3α <27⇔3α <33 ⇔ α < ⇔ − < <3 3 α 3 Vậy đáp án D là đáp án chính xác

Ví dụ 21 Giá trị của biểu thức ( ) (1 ) 1

A= a+ − + b+ −

a= + − và ( ) 1

Hướng dẫn giải

C họn đáp án C

Vậy đáp án C là đáp án chính xác

Ví dụ 22 Cho các số thực dương a và b Biểu thức thu gọn của biểu thức

+

+

Hướng dẫn giải

C họn đáp án B

+

Ví dụ 23 Cho các số thực dương a và b Biểu thức thu gọn của biểu thức

A

3 3

ab

3

ab

a+ b D 3 ab(3 a+3b)

Hướng dẫn giải

C họn đáp án C

( 1 1) ( ) 3 3 ( ) 3 3 3 2 3 2

2

2

2

+

+

Ví dụ 24 Cho số thực dương x Biểu thức x x x x x x x x được viết dưới dạng lũy thừa với số

mũ hữu tỉ có dạng x a b, với a

b là phân số tối giản Khi đó, biểu thức liên hệ giữa a và b là:

A a+ =b 509 B a+2b=767 C 2a+ =b 709 D 3a− =b 510

Hướng dẫn giải

C họn đáp án B

Cách 1: x x x x x x x x

1 2

x x x x x x x x

3 2 2

x x x x x x x

15 8

x x x x x

=

15 16

x x x x x

= ⋅ = x x x x1631 = x x xx3132 = x x x6332 63

64

x x x

= ⋅ = x x12764 = x x127128 = x x⋅ 128255 = x255128 =x255256 Do đó a=255,b=256

Nhận xét:

8 8

256 2

−

Ví dụ 25 Cho các số thực dương phân biệt a và b Biểu thức thu gọn của biểu thức

4

P

là:

A 2m− = − n 3 B m+ = − n 2 C m− = n 0 D m+3n= − 1

Hướng dẫn giải

C họn đáp án A

P

2