Bài 4 hàm số mũ hàm số logarit

- Casio: Áp dụng cho các hàm số trong đó không chứa hàm số lũy thừa + Nhập hàm số cần tìm tập xác định Ví d ụ điển hình L ời giải: Chọn A.. D ạng 2: Tính đạo hàm các cấp của hàm số mũ v

TỰ HỌC ĐIỂM 9 MÔN TOÁN

BÀI 4 HÀM S Ố MŨ, HÀM SỐ LÔGARIT

I – L Ý THUYẾT

1 Hàm s ố mũ:

 Tập xác định:

 Tập giá trị:

 Tính đơn điệu

 Dạng đồ thị: Nhận trục hoành làm tiệm cận ngang

2 Hàm s ố logarit:

 Tập xác định:

 Tập giá trị:

 Tính đơn điệu

 Dạng đồ thị: Nhận trục tung làm tiệm cận đứng

3 Đạo hàm

x

y=a a> a≠

D= 

(0, )

1

loga , 0, 1

y= x a> a≠

(0, )

T = 

1

( )'

.ln

.ln '

( )x ' x

'

log

ln

a x

log

ln

a

u u

1

II – D ẠNG TOÁN

1 D a ̣ng 1: Tập xác định của hàm số

a) Phương pháp giải:

- T ự luận thuần túy: Tìm điều kiện của hàm số và giải điều kiện ta thu được tập xác định của

hàm số

- Casio: Áp dụng cho các hàm số trong đó không chứa hàm số lũy thừa

+ Nhập hàm số cần tìm tập xác định

Ví d ụ điển hình

L ời giải: Chọn A

Casio báo Math ERROR thì loại bỏ các đáp án D

Ví d ụ 2: Tập xác định của hàm số

L ời giải: Chọn B

Giải theo pp tự luận: Điều kiện:

, ta loại đáp án D

Phân tı́ch các sai lầm dễ mắc phải của học sinh: Học sinh sử dụng Casio

Casio nhận được giá trị 2.302585093 nên chọn đáp án C

( )' 1 ( )

x

lnu u

u

2

2

( )

( )

+ > > −

 − > ⇔ < ⇔ < < ⇒ =

 − >  >

0

x= 4

x=

ln 1

x

−

2

2

0 1

x

>





0

0

1 3

e + e +

<

−

2

x= 0

x=

y=xπ

Ví d ụ 3: Tìm tất cả các giá trị của tham số sao cho hàm số có tập xác định là

L ời giải: Chọn A

Giải theo pp tự luận: Hàm số có tập xác định tương đương

Ví d ụ 4: có tập xác định khi:

L ời giải Chọn B

Hàm số có tập xác định là khi và chỉ khi

Ví d ụ 5: có tập xác định khi đó có bao nhiêu giá trị nguyên dương

của tham số m ?

L ời giải Chọn B

có tập xác định

Ta có

m

2 3

1

y

=



2

3

2

3

+∞

2

3

2

3

2

2 3

,

x



2

2





2

3

m> ⇔ >m

2

1 4

4

4

2x 0,

(*)⇔ − + > ∀ > ⇔ > − ∀ > ⇔ >t t m 0; t 0 m t t ; t 0 m max t t− 2

t− = −t  −t ≤

max

t−t = ⇒ >m

1 2

log

x

+

+

1 2

log

x

+

+

( )2

x

x

6

m<

2 D ạng 2: Tính đạo hàm các cấp của hàm số mũ và hàm số logarit; Tìm min, max của hàm số mũ

và hàm s ố logarit

a) Phương pháp giải:

* Đối với bài toán tính đạo hàm hoặc chứng minh đẳng thức chứa đạo hàm

- Dùng các công thức tính đạo hàm đã học

- Thay vào các đẳng thức chứa đạo hàm ta thu được kết quả

* Đối với bài toán tìm min, max

- Tìm đạo hàm của hàm số

- Tìm các nghiệm thuộc khoảng đang xét

- Tính giá trị của hàm số tại các điểm đầu mút và các điểm vừa tìm được

- Kết luận

Ví d ụ 1: Đạo hàm của hàm số tại bằng bao nhiêu ?

L ời giải

Ch ọn B

Giải theo tự luận

Ta có

- Sử dụng Casio

Nhập vào máy tính:

Qyqhk2Q)$qKa6=

Từ đó ta được đáp án cần tìm

Ví d ụ 2: Đạo hàm của hàm số là

Lời giải :

Chọn C

Ta có

Ví d ụ 3: Cho Giá trị bằng

Hướng dẫn giải

Ch ọn D

cos 2 x

y=e

6

=

3 2

e

3

π

 

′

 

8

8

x y

−

′ =

2

x y

−

′ =

ln 8

x y

−

′ =

2

y

′

( ) 2 11

x x

f x

− +

1

Cách 1 Sử dụng công thức tính đạo hàm

Cách 2 Sử dụng máy tính

Nhập vào máy tính:

Qy2^aQ)p1RQ)+1$q0=

Từ đó ta được đáp án cần tìm

Ví d ụ 4: Cho hàm số Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau

L ời giải Chọn C

Ta có

Ví d ụ 5 : Đạo hàm của hàm số là

Lời giải Chọn B

Ta có

Ví d ụ 6 : Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên là

Lời giải

Chọn A

Ta có

Vậy

Ví d ụ 7: Gọi lần lượt là giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của hàm số trên đoạn

L ời giải : Chọn B

( )

1

2

−

+

1

1

y x

= +

( )2 ( )

1

1

x

′

+

1

x xy

1 ln

1 1

x

+

y= x+ x +

2

1 1

x y

+

′ =

1 1

y x

′ =

2 1

y x

′ =

2 1

x y

x

′ =

+

2

1

1

x

x y

1

1

x

+

( )0 0; ( )2 ln 3

[ ] 0;2 miny=0 ,

M +N

Ta có : ; vô nghiệm

Mà

3 D ẠNG 3: SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ MŨ, LOGARIT a) Phương pháp giải

- T ự luận thuần túy:

+ Nếu là các hàm số khác ta xét sự biến thiên của hàm số theo các bước: TXĐ⇒BBT⇒Kết luận

- Casio:

+ Dùng MODE 7 để khảo sát tính tăng giảm, giảm của hàm số để chọn được đáp án

Ví d ụ điển hình

Ví d ụ 1: Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên R?

L ời giải

Ch ọn A

Ví d ụ 2: Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên tập xác định của nó?

L ời giải

Ch ọn A

L ời giải

Ch ọn C

2

1 4

y x

′ =

+ y′=0

−

x

a

3

x

y  π

3

x

y  

x

y e

 

=   

4

x

y  π

=   

= x

log

1

3

log

= a

( ) ln

y=g x = x +

2017 ( )

2018

x

= a

= x

2018

x

=  

2

2

0

x y

x

( 2 )

1

x y

x

′ = >

Ví d ụ 4: Cho hàm số sau: Tìm tổng các giá trị nguyên của để hàm số nghịch biến trên TXĐ là S thì giá trị của S sẽ là:

L ời giải

Ch ọn C

+) TXĐ

Hàm số nghịch biến trên TXĐ khi

Đáp án C

4 D ẠNG 4: BÀI TOÁN CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT

Phương pháp:

* Đối với bài toán cực trị hàm một biến

- Tính đạo hàm của hàm số

- Tìm các nghiệm của phương trình

- Xét dấu đạo hàm

- Suy ra cực đại, cực tiểu của hàm số

* Đối với bài toán nhiều biến

- Tìm cách biến đổi về biểu thức liên hệ giữa các biến

- Khéo léo xét hàm số để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức

Ví d ụ 1: Cho hàm số Tìm cực tiểu đại của hàm số

L ời giải:

Ch ọn B

Tập xác định:

Ta có

đổi dấu từ sang nên hàm số đạt cực tiểu tại

Ví d ụ 2 : Tìm điểm cực tiểu của hàm số

L ời giải

Ch ọn B

Tập xác định

Ta có

D=R

f x′ = x − m+ x+ e

2

′

⇔ ∆ ≤ ⇔ − ≤ ≤ −

0

y′=

1

x

e y x

= + 0

{ }

D= −

1

x

xe

x

+

ln

y=x x

e

1

e

(0; )

1

e

Đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương nên hàm số đạt cực tiểu tại

Ví d ụ 3: Tìm điểm cực tiểu của hàm số

Hướng dẫn giải

Ch ọn B

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số đa ̣t cực tiểu ta ̣i

Ví d ụ 4: Xét các số thực dương thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của

L ời giải:

Ch ọn D

Ta có

Xét hàm số

Khi đó

Vậy

1

x e

=

2 ln

y=x x

e

e

=

0

x>

2 ln

y′ = x x+x y 0 2 lnx x x 0 x 1

e

1

x e

=

3

1

2

xy

P= +x y

min

9 11 19 9

9

21

3

=

1

2

xy

+

( ) log3 , 0

f t = t+t t>

ln 3

t

x

x

−

+

2

min

0

Ví d ụ 5: Cho các số thực dương thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức

Ch ọn A

TH1 Với

TH2 Với

Vậy

Với

Vậy

Ví d ụ 6: Cho hai số thực dương thỏa mãn Biết giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Ch ọn C

Vì vậy

Trong đó

Vậy

Ví d ụ 7: Cho các số thực thuộc đoạn thỏa mãn Tính giá trị của

lớn nhất

,

4 9.3+ x − y = 4 9+ x − y 7 y x− +

P

x

=

2 2

4 9.3+ t = 4 9 7+ t −t ⇔7 4 9.3t + t =49 4 9+ t

4 7t 7 7 3 t 7 3t t+ 4.7 7t− 1 7 3 t 1 7 3t− −t

3

t

−

 

0 2

0

VT

VP

>



<

 0 2

0

VT

VP

<



>



2

t=

2

minP= ⇔ =9 x 4,y=7

,

a b a> >b 1

loga 6 log b

a

b

a

m+ n+ p m n p, ,

T = + +m n p

1

2

1

log

2

a

a

a a

b

b a

−

3 0;1

t

t

−

( )

t= b∈ ∀ > >a b

, ,

a b c [ ]1; 2 log32a+log32b+log32c≤1

5

1 3

3.2

Ch ọn D

Ta có

Thật vậy, ta có

Vì vậy

Dấu bằng xảy ra khi

Ví d ụ 8: Xét các số thực Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Ch ọn D

Do

với

Ví d ụ 9: Cho hai số thực thỏa mãn và Biết giá trị

giá trị của

Ch ọn B

Ta có

Vậy

log a≥ − ∀ ∈a 1, a 1; 2 ⇔ f a =log a− + ≥ ∀ ∈a 1 0, a 1; 2

a

[ ] ( ) { ( ) ( ) ( 2 ) } ( ) ( )

1;2

min f a =min f 1 ,f 2 , f log e = f 1 = f 2 =0

{ }1; 2

a∈

a b c

a b c

∈





( ]

, , 1; 2

a b c∈

4

289

( )3 ( )3 ( )3 2( ) ( )3 2( ) ( )3 (2( )3 )

+

1 3x 2 3y 3z

+ + + x=log2a y; =log2b z; =log2c⇒ <0 x y z, , ≤1

P

,

3 log  x+1 y+1 y+ = −9 x−1 y+1

57

a+b

28

9

1

y

y

+

( ) log3

1

y

+

P= x+y − xy x+y − x+y

Đặt

Điều kiện của

Ta có

Mặt khác

Xét hàm số

Vậy

t= + ⇒ = −x y P t −t t− t= +t t − t

t

2 2

4

t

(x−1)(y− ≥ ⇒1) 0 xy≥ + − ⇒ = + +x y 1 8 x y xy≥2t− ⇔ ≤1 t 4, 5

3 81 , 4; 4, 5

g t = +t t − t t∈

4;4,5

ming t =g − +1 2 7 =83 112 7− =P ⇒ =a 83;b= −112⇒ + = −a b 29

5 D ẠNG 5: ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ MŨ, LOGARIT a) Phương pháp giải

Hàm s ố mũ (a > 0, a ≠ 1)

• Tập xác định: D = R

• Tập giá trị: T = (0; +∞)

• Khi a > 1 hàm số đồng biến, khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến

• Nhận trục hoành làm tiệm cận ngang

• Đồ thị:

Hàm s ố logarit (a > 0, a ≠ 1)

• Tập xác định: D = (0; +∞)

• Tập giá trị: T = R

• Khi a > 1 hàm số đồng biến, khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến

• Nhận trục tung làm tiệm cận đứng

• Đồ thị:

Ví d ụ điển hình

Ví d ụ 1: Phát biểu nào sau đây sai?

A Hai hàm số và có cùng tình đơn điệu trên TXĐ

D Hai hàm số và đều có đồ thị nằm phía trên trục hoành

L ời giải

Ch ọn D

Căn cứ vào tính chất của đồ thị hàm mũ ta rút ra kết quả là đáp án D

x

y=a

a

y=log x

x

y=a y=loga x (a>1)

x

y=a (a>0,a≠1)

loga

y= x (a>0,a≠1)

x

y=a y=loga x (0< <a 1)

1

+ Hai hàm số và cùng đồng biến trên TXĐ

Ví d ụ 2: Cho hàm số Một trong bốn đồ thị cho trong bốn phương án dưới đây

L ời giải

Ch ọn D

Ví d ụ 3: Cho các hàm số và có đồ thị như hình vẽ bên Đường thẳng cắt trục

đề nào sau đây là đúng?

L ời giải Theo giả thiết, ta có

Do

Ch ọn C

Ví d ụ 4: Cho hàm số có đồ thị Hàm số nào sau đây có đồ thị đối xứng với qua đường

thẳng

L ời giải Trước tiên ta đưa hàm số về dạng chuẩn:

x

y=a y=loga x (a>1)

0;

x

a > ∀ ∈x R

loga

'( )

y= f x

loga

loga

2

  5;0 , 5;log 5 , 5;log 5a   b 

CB AB CB  BA    

3

3

1

3

2

log

.

2x

1

2x

x

2

1

2 2

x x

y      

Ví d ụ 5: Biết hai hàm số và có đồ thị như hình vẽ đồng

thời đồ thị của hai hàm số này đối xứng nhau qua đường thẳng

Tính

A

B

C

D

L ời giải Giả sử là điểm thuộc hàm số ; là điểm đối xứng của qua đường

thuộc đồ thị hàm số

Cách 2 Lấy đối xứng đồ thị hàm số qua là được đồ thị hàm số

thẳng

Ví d ụ 6: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , cho hình vuông có diện tích bằng đường thẳng

L ời giải Do nằm trên đường thẳng

x

:

 3 3a.

f a  a

3

 3 3.

f a  

 3 3a.

f a  a

x

ya y

1

O

 

yf x

-1

y x

 M; M

,

M N

0

M

d

d

MN n





 



 M; M

M

0

 3 loga 3 3.

f a   a  

x

x x

y a

a

   

 

x

1 x

y a

 



 1

x

.

yx  2

f  x x  f a  a  

loga , log a

3

,

Từ đó suy ra ,

Theo đề bài

hoặc Ch ọn D

 m; 

m

B a m 

m

2

C a 



6 36

6 2

m m

ABCD

AB S

m



      





6

12

3

m a

  





12 3

m a

 



 



6 D ẠNG 6: BÀI TOÁN LÃI SUẤT; BÀI TOÁN THỰC TẾ, LIÊN MÔN

a) Phương pháp giải:

- T ự luận thuần túy: Một vài công thức cần nhớ

Bài toán 1: Gởi vào ngân hàng số tiền là A đồng, với lãi suất hàng tháng là trên một kì hạn

tháng)

Bài toán 2: Một người, hàng tháng gửi vào ngân hàng số tiền là đồng (Gởi đầu tháng) Biết lãi suất hàng tháng là Tổng tiền sau tháng là:

Bài toán 3: (Vay tra góp) Một người vay vốn A đồng, lãi suất trên tháng, hàng tháng trả đồng (Trả cuối tháng) Số tiền nợ còn lại sau tháng là:

- Casio: Từ giả thuyết bài toán ta xây dựng được một đẳng thức, bất đẳng thức Sử dụng chức năng CALC để thử đáp án hoặc SOLVE ( SHIFT CALC) để tìm ra đáp án

Ví d ụ điển hình

Ví d ụ 1: (Sở GD Hưng Yên lần 1) Một người gửi tiết kiệm số tiền vào ngân hàng với

nhiêu? (làm tròn đến đơn vị nghìn đồng?

L ời giải: Chọn C

Giải theo pp tự luận: Theo công thức ở bài toán 1, ta có

Ví d ụ 2: (Đề thi thử Sở Thanh Hóa) Một người vay ngân hàng 100 triệu đồng với lãi suất là 0,7%/tháng

theo thỏa thuận cứ mỗi tháng người đó sẽ trả cho ngân hàng 5 triệu đồng và cứ trả hàng tháng như thế cho

đến khi hết nợ (tháng cuối cùng có thể trả dưới 5 triệu) Hỏi sau bao nhiêu tháng thì người đó trả được hết

nợ ngân hàng

L ời giải: Chọn B

Giải theo pp tự luận:

Theo công thức ở bài toán 3, ta có

Sau tháng thứ n trả hết nợ nên

r

a

r

n T A(1 r)n a[(1 r)n 1]

r

100.000.000 VNĐ

( )15

0, 7%

Vậy sau tháng thứ 22 thì người đó trả hết nợ

Giải theo pp tự luận kết hợp Casio:

Chú ý: Phải CALC giá trị n từ bé đến lớn

Ví dụ 3: Cường độ một trận động đất M (richter) được cho bởi công thức M = logA – logA0, với A là

biên độ rung chấn tối đa và A0 là một biên độ chuẩn (hằng số) Đầu thế kỷ 20, một trận động đất ở San Francisco có cường độ 8,3 độ Richter Trong cùng năm đó, trận động đất khác Nam Mỹ có biên độ mạnh hơn gấp 4 lần Cường độ của trận động đất ở Nam Mỹ là

A 2,075 độ Richter B 33.2 độ Richter C 8.9 độ Richter D 11 độ Richter

L ời giải: Chọn C

Giải theo pp tự luận:

Cường độ trận động đất ở San Francisco là

Trận động đất khác Nam Mỹ có biên độ là

Ví d ụ 4: Hiện tại bạn sinh viên A đang có một khoản tiền, sau 1 năm nữa sau khi ra trường bạn A mới cần

dùng đến số tiền đó để mua xe Hiện tại ngân hàng Vietinbank đang có các loại hình gửi tiết kiệm như sau:

+) Kỳ hạn 1 tháng, lãi suất 12% một năm

+) Kỳ hạn 3 tháng, lãi suất 12% một năm

+) Kỳ hạn 6 tháng, lãi suất 12% một năm

+) Kỳ hạn 12 tháng, lãi suất 12% một năm

Hỏi bạn A nên gửi tiền theo hình thức nào

Ch ọn A

1 0,7%

5

0, 7%

21, 6

n

T

n n

+

⇔ ≈

0, 7%

21

22

0

8, 3=logA−logA

4 A

(1 )n

T = A +r

1% /

1 (1 0, 01)

T = A + 3% /

2 (1 0, 03)

T =A + 6% /

3 (1 0, 06)

T = A +

TH4: tháng và khi đó

Từ 4 kết quả trên bạn A nên chọn phương án gửi theo kỳ hạn 1 tháng để có số tiền là lớn nhất

Ví d ụ 5: Thầy Hùng dự định mua một chiếc xe Lexus RX 350 với trị giá khoảng 3 tỷ đồng Thầy quyết

định gửi ngân hàng Techcombank 2 tỷ đồng trong vòng 3 năm để tiết kiệm tiền mua xe với mức lãi suất như sau:

- Lãi suất 1,0%/1 tháng trong 12 tháng đầu tiên

- Lãi suất 1,1%/1 tháng trong 18 tháng tiếp theo

- Lãi suất 1,2%/1 tháng trong 6 tháng cuối cùng

Biết rằng Ngân hàng Techcombank tính lãi gộp theo quý Tổng số tiền cả gốc lẫn lãi mà Thầy Hùng ĐZ nhận được sau 3 năm gần với giá trị nào nhất trong các giá trị sau:

A 2,93 tỷ B 3,12 tỷ C 3,4 tỷ D 4 tỷ

Ch ọn A

Ta có:

Do đó sau 12 tháng đầu tiên số tiền cả gốc lẫn lãi là:

Do đó sau 18 tháng tiếp theo số tiền cả gốc lẫn lãi là:

Ví d ụ 6: Giả sử anh T có 180 triệu đồng muốn đi gửi ngân hàng trong 18 tháng Trong đó có hai ngân

hàng A và ngân hàng B tính lãi với các phương thức như sau:

* Ngân hàng A: Lãi suất 1,2% /tháng trong 12 tháng đầu tiên và lãi suất 1,0%/tháng trong 6 tháng còn lại

* Ngân hàng B: Mỗi tháng anh T gửi vào ngân hàng 10 triệu với lãi suất hàng tháng là 0,8%/tháng

Hỏi rằng số tiền mà anh T sau 18 tháng được nhận (tính và vốn lẫn lãi) khi gửi ở ngân hàng A hay B được nhiều hơn và nhiều hơn bao nhiêu (đơn vị triệu đồng và làm tròn đến số thập phân thứ nhất)?

Ch ọn B

Khi anh T gửi ngân hàng A:

*Trong 12 tháng đầu tiên số tiền anh T có là

triệu đồng

*Trong 6 tháng còn lại số tiền anh T có cả gốc lẫn lãi là

triệu đồng Khi anh T gửi ngân hàng B:

*Cuối tháng thứ 18, anh T có số tiền cả gốc lẫn lãi là

12% /

(1 )n

T = A +r

4

1 2(1 3%)

6

2 1(1 3, 3%)

T =T +

2

3 2(1 3, 6%) 2, 9356

26, 2

12

12 (1 )n 180.(1 0, 012) 207, 7

6

207, 7.(1 0, 01) 220, 5

A

*Với triệu đồng

Ví d ụ 7: Theo số liệu từ Facebook, số lượng các tài khoản hoạt động tăng một cách đáng kể tính từ thời

đó là số tháng kể từ sau tháng 2 năm 2004 Biết số lượt tài khoản hoạt động tăng theo hàm số

biết sau hai tháng thì số tài khoản hoạt động là 108 160 người

Hướng dẫn giải

Do đề đã cho công thức tổng quát và có dữ kiện là sau hai tháng số tài khoản hoạt động là 108

160 người Do đó thay vào công thức tổng quát ta sẽ tìm được A Khi đó

Khi đó công việc của ta chỉ là tìm sao cho

hay 1 năm 5 tháng

Ví d ụ 8: Bạn Hùng trúng tuyển vào đại học nhung vì không đủ nộp tiền học phí Hùng quyết định vay ngân

đại học Hùng phải trả góp hàng tháng số tiền T (không đổi) cùng với lãi suất tháng trong vòng năm Số tiền T mà Hùng phải trả cho ngân hàng (làm tròn đến hàng đơn vị) là

Hướng dẫn giải Chọn D

+ Tính tổng số tiền mà Hùng nợ sau 4 năm học:

Sau 1 năm số tiền Hùng nợ là: +

Sau 2 năm số tiền Hùng nợ là:

Tương tự: Sau 4 năm số tiền Hùng nợ là:

+ Tính số tiền mà Hùng phải trả trong 1 tháng:

Ví d ụ 9: Giả sử vào cuối năm thı̀ một đơn vi ̣ tiền tê ̣ mất 10% giá tri ̣ so với đầu năm Tı̀m số nguyên dương

nhỏ nhất sao cho sau năm, đơn vi ̣ tiền tê ̣ sẽ mất đi ı́t nhất 90% giá tri ̣ của nó?

Hướng dẫn giải Cho ̣n D

B B

a

(1 )n 1 (1 ) 194, 3

B

a

26, 2

T −T =

( )

U x x

( ) 1 0, 04( )x

194790

100000

x

0, 25% /

5

3 3r =3 1 r( + )

3 1+r +3 1+r

3 1+r +3 1+r +3 1+r +3 1+r =12927407, 43=A T

60

60

232.2

1

9 1

8

T r

r

r

n