Bài 3 logarit

Hướng dẫn giải Chọn A.. Do đó Ta chọn đáp án đúng là D... a Phương pháp giải - Dựa vào các định nghĩa, tính chất để chọn đáp án - Đối với các đẳng thức: chuyển về 1 vế , sử dụng CALC

TỰ HỌC ĐIỂM 9 MÔN TOÁN

Fanpage: Tài liệu KYS Group: Kyser ôn thi THPT

BÀI 3: LOGARIT

A KIẾN THỨC CƠ BẢN

1 Đi ̣nh nghı̃a:

Cho hai số dương a b, với a≠1 Số α thỏa mãn đẳng thức aα =b được go ̣i là lôgarit cơ số a của b

và kı́ hiê ̣u là loga b Ta viết: α =loga b⇔aα =b

2 C ác tı́nh chất: Cho a b, >0,a≠1, ta có:

• loga a=1, log 1a =0

• log

, log ( α) α

a b

a

3 Lôgarit c ủa mô ̣t tı́ch: Cho 3 số dương a b b v, 1, 2 ới a ≠1, ta có

• log ( )a b b1 2 =loga b1+loga b 2

4 Lôgarit c ủa mô ̣t thương: Cho 3 số dương a b b v, 1, 2 ới a≠1, ta có

2

loga b =loga b −loga b

b

• Đă ̣c biê ̣t : với a b, >0,a≠1 loga1 = −loga b

5 Lôgarit c ủa lũy thừa: Cho a b, >0,a≠1, với mọi α , ta có

• loga bα =αloga b

• Đă ̣c biê ̣t: log n = 1log

6 Công th ức đổi cơ số: Cho 3 số dương a b c, , với a≠1,c≠1, ta có

log

a

c

b b

a

• Đă ̣c biê ̣t : log 1

log

=

a

c

c

a và log α 1log

α

a b b với α ≠ 0

 Lôgarit th â ̣p phân và Lôgarit tự nhiên

 Lôgarit thâ ̣p phân là lôgarit cơ số 10 Viết : log10b=logb=lgb

 Lôgarit tự nhiên là lôgarit cơ số e Viết : log e b=lnb

DẠNG 1 TÌM ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH CỦA BIỂU THỨC LOGARIT a) Phương pháp giải:

0

b



⇔  >

- Sử dụng máy tính cầm tay, CALC tại các giá trị thuộc các đáp án đề ra để thử

Ví dụ điển hình

C D=[0;+∞) { }\ 2 D D=(0;+∞) { }\ 2

Hướng dẫn giải Chọn C

2

x x

≥

Vậy tập xác định của hàm số là D=[0;+∞) { }\ 2

Vı́ dụ 2: Với giá trị nào của x thì biểu thức B=log (22 x− xác định? 1)

2

x∈ +∞

1

; 2

x∈ −∞ 

1

\ 2

 

 

 D.x∈ − +∞( 1; )

Hướng dẫn giải Chọn A

2

x− > ⇔ >x

ln(4 )

A x∈ −( 2; 2) B.x∈ −[ 2; 2] C.x∈\ [ 2; 2]− D.x∈\ ( 2; 2)−

Hướng dẫn giải Chọn A

4−x > ⇔ − < <0 2 x 2

Vı́ dụ 4: Với giá trị nào của x thì biểu thức 1

2

1 log 3

x A

x

−

=

A.x∈ −[ 3;1] B x∈\ [ 3;1]− C.x∈\ ( 3;1)− D.x∈ −( 3;1)

Hướng dẫn giải Chọn B

1 3

x x

x x

< −



−

> ⇔  >

Vı́ dụ 5: Với giá trị nào của x thì biểu thức: 2

6

( ) log (2 )

A 0< < x 2 B x> 2 C − < < 1 x 1 D x< 3

Hướng dẫn giải Chọn A

2x−x > ⇔ ∈0 x 0; 2

5

C x∈ −( 1; 0)∪(2;+∞) D x∈(0; 2)∪(4;+∞)

Hướng dẫn giải Chọn C

( 1; 0) (2

2

C x∈ −∞ − ∪( ; 2) (3;+∞ ) D x∈ −∞ − ∪( ; 2) ( ) (2;3 ∪ 3;+∞ )

Hướng dẫn giải Chọn D

(x −4)(x −6x+ > ⇔9) 0 (x −4) x−3 > ⇔0 ( ; 2) ( ) (2;3 3; )

VẬN DỤNG

V ı́ dụ 8: Với giá trị nào của m thì biểu thức f x( )=log (5 x−m) xác định với mọi x∈ − +∞( 3; )?

Hướng dẫn giải Chọn C

Biểu thức ( )f x xác định ⇔ x− > ⇔ >m 0 x m

Để ( )f x xác định với mọi x∈ − +∞( 3; ) thì m≤ −3 Ta chọn đáp án C

2

( )=log (3− )( +2 )

2

≥

Hướng dẫn giải Chọn C

Thay m=2 vào điều kiện (3−x x)( +2 )m > 0 ta được (3−x x)( +4)> ⇔ ∈ −0 x ( 4;3) mà [ 4; 2]− ⊄ −( 4;3) nên các đáp án B, A, D loại Ta chọn đáp án đúng là C

V ı́ dụ 10: Với giá trị nào của m thì biểu thức f x( )=log3 (m−x x)( −3 )m xác định với mọi x∈ −( 5; 4]?

3

>

3

< −

Hướng dẫn giải Chọn D

- Thay m=2 vào điều kiện (m−x x)( −3 )m > 0 ta được (2−x x)( − > ⇔ ∈6) 0 x (2; 6) mà ( 5;4] (2;6)− ⊄ nên các đáp án B, A loại

- Thay m= −2 vào điều kiện (m−x x)( −3 )m > 0 ta được ( 2− −x x)( + > ⇔ ∈ − − mà 6) 0 x ( 6; 2) ( 5; 4]− ⊄ − − nên các đáp án C loại Do đó Ta chọn đáp án đúng là D ( 6; 2)

D ẠNG 2: RÚT GỌN BIỂU THỨC a) Phương pháp giải:

Vận dụng các tính chất, quy tắc tính logarit, đổi cơ số

V ı́ dụ điển hı̀nh

V ı́ dụ 1: Rút gọn biểu thức 3 2loga b

P=a − (a>0,a≠1,b>0) bằng:

Hướng dẫn giải Chọn A

a

b

- MTCT: Gán A=2,B=5 Tính 3 2loga b

a − ( thay a b, bằng A B, ) Bấm các đáp án, đáp án nào trùng vói kết quả thì chọn

V ı́ dụ 2: loga a2 315a2 57 a4

a

9

Hướng dẫn giải Chọn A

- TL:

2 4

2 4 7

3

3 5 15 7

15 7

15

loga a a a log (a a a a ) log (a a ) a

a

a

+ + −

- MTCT: Gán A=2 Tính

2 3 2 5 4

15 7

a

( thay a bằng A)

2

A 2

3

6

Hướng dẫn giải Chọn C

2

5

x

⇒ =

logb 2 logb logb loga logab logb

H ướng dẫn giải

logb 2 logb logb loga logab logb

logb a 1 logb a 1

a> b> a≠ b≠ n∈  , một học sinh tính biểu thức

2

P

logb logb logb n

II P=log ( b a a2 a n)

P= a+ + + +

IV P=n n( +1 log) b a

Bạn học sinh trên đã giải sai ở bước nào

1 2 3

2

n n

+ + + + =

Ví d ụ 6: Kết quả rút gọn của biểu thức C= loga b+logb a+2 log( a b−logab b) loga b là:

loga b

H ướng dẫn giải

3 2

Ví dụ 7: Với mọi số tự nhiên n , Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A log log2 2 2

bậc hai

n can

n=



bậc hai

n can

n= −





C. 2 log log2 2 2

bậc hai

n can

n= +



2 2

b E c hai

n can

n= −



H ướng dẫn giải

Đặt - log log2 2 2

n

m

=



c¨n bËc hai

2

log 2 =2−m⇔ 2 =2

Ta thấy :

2

1

2

2

n n

Do đó ta được: 2−m =2−n ⇔ =

n

n= −



c¨n bËc hai

a) Phương pháp giải:

Vận dụng các tính chất, quy tắc tính logarit, đổi cơ số

Ví dụ điển hình:

V ı́ dụ 1: Cho (a>0,a≠1), biểu thức 4log 2 5

a

5

Hướng dẫn giải

Ch ọn A

4 log 5 4log 5 log 25

- MTCT: Gán a bằng 5 ( so thể bằng một giá trị dương khác 0, 1)

Nhập biểu thức 4log 2 5

a

3

1 log 7 2 log 49 log

7

Hướng dẫn giải Chọn A

2

3 3

1 log 7 2 log 49 log log 7 2 log 7 log 7

7

−

A= −log 73 +2 log 73 +2 log 73 =3log 73

3

1 log 7 2 log 49 log

7

Chuyển các đẳng thức các đáp án về 1 vế, nhập từng đáp án nếu kết quả bằng 0 thì chọn

V ı́ dụ 3: Biểu thức log2 2 sin log2 cos

Hướng dẫn giải

Chọn A

V ı́ dụ 4: Cho lgx=a, ln10=b Tính log10e( )x bằng:

A

1

ab b

b b

2 1

ab b

a b

+

Hướng dẫn giải Chọn A

log

e

x

+

+

f = f m n+ = f m + f n +m n ∀m n∈  Khi đó giá trị của biểu thức

(2017) (2016) 17 log

2

A 3 B 4 C 6 D 9

H ướng dẫn giải

Áp dụng hệ thức f m n( + )= f m( )+ f n( )+m n

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )











( ) ( ) ( 1 )

1

2

2017 2017 2016 2035153

2

2016 2016 2015 2033136

2

2

Ví d ụ 6: Xét các số thực a b, thỏa mãn a> > b 1 Tìm giá trị nhỏ nhất Pmin của biểu thức

2 2

log a 3logb

b

a

b

H ướng dẫn giải

2

2 2

log

b b

b

−

3

t

t

+

f t

Suy ra Pmin = f ( )2 =15

Ví d ụ 7: Cho log9x=log12 y=log16(x+y) Giá trị của tỉ số x

y là:

2

−

2

+

2

− +

2

− −

H ướng dẫn giải

9 1

16

t t

t

x

 =



 + =



4

t

 

   

Ví d ụ 8: Cho x y, >0 thỏa mãn log2x+log2 y=log (4 x+y) Tìm x y, để biểu thức 2 2

P=x +y đạt giá trị nhỏ nhất

2

2; 2

2; 2 2

H ướng dẫn giải

2

2 log xy=log (x+y)⇔ + =x y (xy)

u − v≥ u> v>

Mà u=v2 ⇒v4−4v≥ ⇔0 v3− ≥ ⇔ ≥4 0 v 34 Ta có 4 3

P=v − v=g v v≥

g v′ = v − > ∀ >v nên minP=2 43 khi

3

3 3

4

2 16

v

u

 =



=

Ví d ụ 9: Cho m=loga ab với a b, >1 và P=log2a b+54 logb a Khi đó giá trị của m để P đạt giá trị nhỏ nhất là?

H ướng dẫn giải

Áp dụng bất đẳng thức AM GM− dạng x+ + ≥y z 33 xyz ta được:

3

log

a

b

Ví d ụ 10: Cho a b c, , lần lượt là độ dài của hai cạnh góc vuông và cạnh huyền của một tam giác vuông, trong đó c b− ≠1;c b+ ≠1 Khi đó logc b+ a+logc b− a bằng:

A 2 log− c b+ a.logc b− a B 3logc b+ a.logc b− a C 2 logc b+ a.logc b− a D 3log− c b+ a.logc b− a

H ướng dẫn giải

a b+ =c ⇔a = −c b

(1 ) (1 ) log ( ( ) ) log( ( ) ) log( ( ) )( ( ) )

D ẠNG 4: CÁC MỆNH ĐỀ LIÊN QUAN LÔGARIT

a) Phương pháp giải

- Dựa vào các định nghĩa, tính chất để chọn đáp án

- Đối với các đẳng thức: chuyển về 1 vế , sử dụng CALC đề thử giá trị cụ thể

Ví dụ điển hình

V ı́ dụ 1: Cho các số thực dương a b, với a≠1 Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A loga( )bc =loga b+loga c B loga( )bc =loga b.loga c

C loga( )bc =loga b−loga c D loga( )bc =loga b.logb c

L ời giải

Ch o ̣n A

Theo tính chất của logarit

V ı́ dụ 2: Cho các số thực dương a b, với a≠1 Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

L ời giải

Ch o ̣n A

Nhập vào máy tính : loga c−(loga b+loga c), CALC với a=2,b=4,c=3được kết quả 2 0− ≠

Ví dụ 3 Cho các số thực dương a b c, , với a≠ Kh1 ẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

log

a a

a

b b

a =b

L ời giải

Ch o ̣n A

Theo tính chất của logarit

Ví dụ 4 Cho các số thực dương a b c, , với a≠1,b≠1, Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

log

a b

a

b c

c

log

b b

a

a c

c

L ời giải

Ch o ̣n A

Theo tính chất của logarit

Ví dụ 5 Cho các số thực dương a b c, , với a≠ Kh1 ẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

C logaαb 1loga b

α

L ời giải

Ch o ̣n A

Ví dụ 6 Cho a là số thực dương, a≠ Khẳng định nào sau đây sai? 1

A ( )log 1

0,125 a =1 B loga 1 1

a = − C

3

log

3

a

9 a =2a

L ời giải

Ch o ̣n D

0,125 =1

loga loga a 1

a

−

3

a

−

Dễ thấy D sai

Ví dụ 7 Cho hai số thực $a,b$ với 1 a b< < Khẳng đi ̣nh nào sau đây là đúng:

2016

x

x

  < ⇔ >

2017

x

x

  < ⇔ >

L ời giải

Ch ọn C

A sai vı̀ 2017 2016>

B sai vı̀ với a> th1 ı̀ a x >0 với mọi x dương

C đúng vı̀ với a<1 ax<1 với mọi x dương

Ví dụ 8 Cho các số thực dương a, b với a≠ Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? 1

1 1

1

1

L ời giải Chọn A

( )

2

Ví dụ 9 Cho các số thực dương a b a, , ≠1 Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

1 log ( ) log

1 log ( ) log

C 3

1 log ( ) log

1 1

L ời giải Chọn D

3

Ví dụ 10 Cho các số thực a b, thỏa mãn a> > Chb 1 ọn khẳng định sai trong các khẳng định

sau:

A loga b>logb a B loga b>logb a C lna>lnb D 1( )

2

0

log ab <

L ời giải

Ch ọn A

b

a

> > ⇒ > > ⇒ > = > → C đúng

1> loga b ⇒loga b.logb a> loga b ⇒logb a>loga b→ B đúng

2

log ab =log − ab = −1.log ab < →0 D đúng

Ví dụ 11 Cho hai số thực a, b với 1 < a < b Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A logab < 1 < logb a B 1 < logab < logba

Hướng dẫn giải Chọn D

Từ giả thiết 1 < a < b ta có 0<loga a<loga b⇔1<loga b, áp dụng công thức đổi cơ số thì

1 log log

1 1 log

a

b

Ví dụ 12 Cho a>0;b>0thỏa mãn 2 2

7

A 3log( ) 1(log log )

Hướng dẫn giải Chọn B

a +b = b⇔ a b+ = ab

2 log log logb

3

a b

a

+

a b

+

Ví dụ 13 Cho a b c d, , , là các số thực dương, khác 1 bất kì Mệnh đề nào dưới đây đúng?

 

ln

ln

ln

 

 

Hướng dẫn giải Chọn D

ln

Ví dụ 14 Gọi ( )x y là nghi; ệm nguyên của phương trình 2x+ =y 3 sao cho P= +x y là số dương nhỏ nhất

Khẳng định nào sau đây đúng?

A log2 x+log3 y không xác đinh B log2(x+y)= 1

C log2(x+y)> 1 D log2(x+y)> 0

Lời giải Chọn A

Vì x+ >y 0 nên trong hai số x và y phải có ít nhất một số dương mà

x+ = − >y x nên suy ra x < mà x nguyên nên 3 x= ± ±0; 1; 2;

+ Nếu x= suy ra 2 y= −1 nên x+ =y 1

+ Nếu x= suy ra 1 y=3 nên x+ =y 2

+ Nếu x= suy ra 0 y=3 nên x+ =y 3

+ Nhận xét rằng x< thì 2 x+ >y 1 Vậy x y+ nhỏ nhất bằng 1

14

a +b = ab Khẳng định nào sau đây là sai ?

a b+ = a+ b

4

a b

L ời giải Chọn C

4

a b

a +b = ab⇔ a b+ = ab⇔ +  =ab

ab

( ) ( )2 ( )

,

a b

( ) ( )2 ( )

2 log a b+ =log a b+ =log 16ab = +2 log a+log b vậy C sai

4

a b

+

a) Phương pháp giải

- Sử dụng các tính chất của logarit

- Casio: - Bước 1 : Dựa vào hệ thức điều kiện buộc của đề bài chọn giá trị thích hợp cho biến

- Bước 2 : Tính các giá trị liên quan đến biến rồi gắn vào A B C, , nếu các giá trị tính được lẻ

- Bước 3 : Quan sát 4 đáp án và chọn đáp án chính xác

V ı́ dụ điển hı̀nh

V ı́ dụ 1: Đặt a=log 3,2 b=log 3.5 Hãy biểu diễn log 45 theo a và b 6

A log 456 a 2ab

ab

+

2 6

ab

−

C log 456 a 2ab

ab b

+

=

2 6

ab b

−

= +

L ời giải

Ch o ̣n C

3

log 2

a

a

b

=

( )

2 3

6

1 2 log 3 5

log 45

1

1

b

ab b a

+

V ı́ dụ 2: Nếu log 612 =a, log 712 = thì : b

A log 72

1

a b

=

− B log 72

1

b a

=

− C log 72

1

a b

= + D log 72

1

b a

= +

L ời giải

Ch o ̣n C

 Tính log 6 rồi lưu vào 11 A

i12$6=qJz

 Tính log 7 rồi lưu vào 12 B

i2$Qz$d=

1

b a

i2$7$paQxR1pQz=

V ı́ dụ 3: Nếu log 612 =a; log 712 = thì: b

A log 72

1

a a

=

− B log 72

1

a b

=

− C log 72

1

a b

= + D log 72

1

b a

=

−

L ời giải

Ch o ̣n D

* Phương pháp: Sử dụng máy tính (FX 570 VN (ES) PLUS) để tính biểu thức logarit:

+ Gán các biểu thức đề bài cho vào các ẩn A, B, trên máy tính

+ Lần lượt thử các khẳng định trong 4 đáp án để tìm đáp án đúng

– Cách giải

Gán giá trị đề bài cho bằng cách bấm:

( ) 12

Lần lượt kiểm tra từng đáp án

*Sử dụng các tính chất lôgarit:

12

7

12

log 6

log 7

b

Ví dụ 4 Đặt a=log 3,30 b=log 530 Hãy biểu diễn log 1350 theo a và b 30

Lời giải

Chọn C

log 1350=log 30.3 5 = +1 2 log 3 log 5 1 2a b+ = + +

Ví dụ 5 Đặt alog 15,3 blog 10.3 Hãy biểu diễn log 150 theo a và 3 b

A log 1503 ab B log 1503   C.a b log 1503   a b D log 1503 a

b



Lời giải Chọn C

Ta có : log 1503 log 153 log 103   a b

Ví dụ 6 Cho log 153 = Tính a A=log 1525 theo a

A

( )

2 1

a A

a

=

2 1

a A a

=

a A

a

=

a A a

=

−

Lời giải

Ch ọn C

Có a=log 153 ⇒log 5 log 33 + 3 = ⇒a log 53 = − a 1

( )

3

log 3.5

log 15

Ví dụ 7 Cho a=log 5;3 b=log 57 Khi đó khẳng định nào sau đây đúng?

A log 2115 a b

ab b

+

= + B log 2115

1

a b a

+

= + C log 2115

1

a b a

−

= + D log 2115 a b

ab b

−

= +

Lời giải Chọn A

log 5 , log 5

a

b

15

ln 7

log 21

ln 5

1

ln 3

a

a b b

Ví dụ 8 Cho log 32 =a; log 53 =b Khi đó log 90 t12 ı́nh theo a , b bằng:

2

a

2

a

2

a

2

a

+

L ời giải

Ch ọn D

log

c

c

b

a

2

log 90 log 90 ; log 12 log 3.4 log 3 log 4 2

( ) 3 ( )

3

log 45 log 90 log 2.45 log 2 log 45 1 1 log 9.5

12

log 90

2

a

+

loga

loga 16 logb

nhất

2

Lời giải Chọn A

Cách 1: Tự luận

3 3

b a m

=

−

m

−

m

( )2

48

18 6

m

′

− ( ) 0 3 1 2 1

Bảng biến thiên

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 12 tại m= 1

Cách 2: Trắc nghiệm

3 3

b a m

=

−

m

−

Thay các đáp án, nhận được đáp án A thỏa mãn yêu cầu P=12,m=1