Bài 2 hàm số lũy thừa

Tính chất của hàm số lũy thừa trên khoảng 0;+∞ khảo sát hàm lũy thừa.. Gi ải theo Casio Sử dụng bảng kết quả để loại trừ... Gi ải theo Casio Sử dụng bảng kết quả để loại trừ.. Nếu h

TỰ HỌC ĐIỂM 9 MÔN TOÁN

B ÀI 2: HÀM SỐ LŨY THỪA

I – L Ý THUYẾT

1 Định nghĩa: Hàm số y=xα, với α∈ , được gọi là hàm số lũy thừa

2 Tập xác định: Tập xác định của hàm số y=x là: α

=

 D  nếu α là số nguyên dương

{ }

=(0;+∞)

3 Đạo hàm: Hàm số y=xα, (α∈ ) có đạo hàm với mọi x>0 và 1

(xα)′ =α.xα−

4 Tính chất của hàm số lũy thừa trên khoảng (0;+∞) (khảo sát hàm lũy thừa)

, 0

α α

A Tập khảo sát: (0;+∞) A Tập khảo sát: (0;+∞)

B Sự biến thiên:

0, 0

α

 Giới hạn đặc biệt:

0

→+∞

x x

Tiệm cận: Không có

B Sự biến thiên:

0, 0

α

 Giới hạn đặc biệt:

0

→+∞

x x

Tiệm cận:

Trục Ox là tiệm cận ngang

Trục Oy là tiệm cận đứng

D Đồ thị:

Đồ thị của hàm số lũy thừa y x= α luôn đi qua điểm (1;1).I

Lưu ý: Khi khảo sát hàm số lũy thừa với số mũ cụ thể, ta

phải xét hàm số đó trên toàn bộ tập xác định của nó Chẳng

, ,

y=x y=x− y=xπ

II – D ẠNG TOÁN

1 D ẠNG 1: TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM LŨY THỪA, HÀM VÔ TỶ a) Phương pháp giải

- Tự luận thuần túy:

Xét hàm số y = f x( )α

Khi α nguyên dương: hàm số xác định khi và chỉ khi ( )f x xác định

Khi α nguyên âm: hàm số xác định khi và chỉ khi ( ) 0f x ≠

Khi α không nguyên: hàm số xác định khi và chỉ khi ( ) 0f x >

- Sử dụng MTCT:

MODE 7 → NHẬP HÀM → START: a →END: b → STEP: (b-a):19

* V ı́ dụ điển hı̀nh

V ı́ dụ 1: Tập xác định D của hàm số ( 2 )3

y= x − −x là

A D= −( 4;1 ) B D=[ ]1; 7 C D=[ ]1; 7 D D= R

L ời giải

Ch o ̣n D

Gi ải theo tự luâ ̣n

Hàm số xác định khi và chỉ khi 2

6x − −x 5 xác định ⇔ ∈ x

Gi ải theo Casio

Sử dụng bảng kết quả để loại trừ.

V ı́ dụ 2: Tập xác định D của hàm số ( 2 ) 8

1

y= x − − là

A D= R B D=R { }±1 C D= −∞ − ∪ +∞( ; 1] [1; ) D D= −( 1;1 )

L ời giải

Ch o ̣n B

Gi ải theo tự luâ ̣n

Hàm số xác định khi và chỉ khi 2

− ≠ ⇔ ≠ ±

Gi ải theo Casio

Sử dụng bảng kết quả để loại trừ

V ı́ dụ 3: Tập xác định D của hàm số ( )3

4

1

y= x+ là

A D= R B D=R { }−1 C D= −∞ −( ; 1 ) D D= − +∞( 1; )

L ời giải

Ch o ̣n D

Gi ải theo tự luâ ̣n

Hàm số xác định khi và chỉ khi x+ > ⇔ > −1 0 x 1

Gi ải theo Casio

Sử dụng bảng kết quả để loại trừ.

V ı́ dụ 4: Tập xác định D của hàm số ( ) 5

2

1 2018

−

L ời giải

Ch o ̣n C

Gi ải theo tự luâ ̣n

Hàm số xác định khi và chỉ khi x− ≥ ⇔ ≥1 0 x 1

Gi ải theo Casio

Sử dụng bảng kết quả để loại trừ

V ı́ dụ 5: Tập xác định D của hàm số

3 2

x y

−

=  − +  là

2

= +∞

  D D=(0;+∞)

L ời giải

Ch o ̣n B

Gi ải theo tự luâ ̣n

Hàm số xác định khi và chỉ khi 22 3

−

x

2

x

x

 ≠



Gi ải theo Casio

Sử dụng bảng kết quả để loại trừ

V ı́ dụ 6: Tìm tập xác định của hàm số

1 4 1

e

x y x

−

 − 

=  + 

 

A D =\{ 1}.− B D = −∞ − ∪( ; 1) [4;+∞)

L ời giải

Ch o ̣n D

Gi ải theo tự luâ ̣n

Hàm số xác định khi và chỉ khi − >

1

x

x ⇔ ∈ −∞ − ∪x ( ; 1) (4;+∞ )

Gi ải theo Casio

Sử dụng bảng kết quả để loại trừ

* Lưu ý: Chỉ dùng MTCT để loại trừ là chính, và không dùng MTCT để chọn trực tiếp đáp án Đối với TXĐ an toàn nhất vẫn là giải theo tự luận

2 D ẠNG 2: ĐẠO HÀM, MAX-MIN CỦA HÀM SỐ LUỸ THỪA 2.1 Đạo hàm của hàm số luỹ thừa

D a ̣ng 1: Tính đạo hàm của hàm số lũy thừa

a) Phương pháp giải

- T ự luâ ̣n thuần túy: Dựa vào công thức đạo hàm

xα =α xα−

uα =αuα− u

Và các công thức tính đạo hàm đã học

- Tr ắc nghiê ̣m: Dùng Casio

x x

d

dx = − ≈ (thường ra số có dạng a.10−n với n nguyên dương)

0

0

( )

1 '( )

x x

d Shift f x dx

f x

=

≈

*V ı́ dụ điển hı̀nh

V ı́ dụ 1: Tính đạo hàm của hàm số 9

y=x

y = x

Lời giải

Chọn D

Áp dụng công thức ( )'

1

xα =α xα−

Dùng MTCT:

V ı́ dụ 2: Đạo hàm của hàm số 4

y=x− là

4x−

4x−

3 x

4x−

Lời giải

Chọn B

Áp dụng công thức ( )'

1

xα =α xα−

Dùng MTCT:

V ı́ dụ 3: Đạo hàm của hàm số 2 43

(3 )

y= −x − là

A 8 ( 2) 3

3x x

−

−

3x x

−

−

Lời giải

Chọn A

Áp dụng công thức ( )'

1 '

uα =αuα− u

Dùng MTCT:

1

8

3

x

d

dx

−

=

D a ̣ng 2: Tính đạo hàm của hàm số tại một điểm

a) Phương pháp giải

- T ự luâ ̣n thuần túy:

+ Tính đạo hàm của hàm số tại x∈ D

+ Thay x= vào x0 '

( )

f x

- Tr ắc nghiê ̣m: Dùng Casio ( )

0

( )

x x

d Shift f x

*V ı́ dụ điển hı̀nh

V ı́ dụ 1: Đạo hàm của hàm số y=(x−1)13 tại điểm x= là 2

A 1

Lời giải

Chọn A

uα =αuα− u

2 3

y

−

Dùng MTCT:

1 3 2

( 1) 0.333333333

x

d

dx

=

Chọn A

V ı́ dụ 2: Cho hàm số y x2

π

= có đồ thị( )C Lấy M∈( )C có hoành độ x0 =1 Hệ số góc của tiếp tuyến của

( )C tại M là

π

− 2

Lời giải

Chọn C

Hệ số góc của tiếp tuyến của ( )C tại M là '(1)y

xα =α xα−

Dùng MTCT:

2 1

1.570796327

x

d Shift x

dx

π

=

 

=

 

 

Bấm 4 phương án, chọn C

V ı́ dụ 3: Đạo hàm của hàm số 3

(5 )

y= −x tại điểm x= là 4

Lời giải

Chọn A

uα =αuα− u

3 1

'(4) 3.(5 4) 3

y

−

Dùng MTCT:

4

(5 ) 1.732050808

x

d

D a ̣ng 3: Tính đạo hàm cấp cao của hàm số lũy thừa

a) Phương pháp giải

- T ự luâ ̣n thuần túy:

+ Dựa vào định nghĩa đạo hàm cấp cao ( ) ( ( 1) )'

*V ı́ dụ điển hı̀nh

V ı́ dụ 1: Cho hàm số 2 3

y= −x Tính y''(1) được kết quả là

Lời giải

Chọn A

uα =αuα− u

' 3.(4 ) (4 ) ' 6 (4 )

Dùng công thức ( )'u v =u v uv' + '

'' 6(4 ) 6 2(4 )( 2 ) 6(4 )(10 24)

y

V ı́ dụ 2: Cho hàm số 2

y= x+ − Hệ thức giữa y và y '' không phụ thuộc vào x là

A y'' 2+ y=0 B 2

( '')y −4y=0

Lời giải

Chọn A

uα =αuα− u

y = − x+ − ⇒ y = x+ −

Thay vào 4 phương án, chỉ có phương án B bằng 0

2.2 Max - min của hàm số luỹ thừa

a) Phương pháp giải

- T ự luâ ̣n thuần túy:

Nếu hàm số đơn điệu trên một đoạn thì GTLN, GTNN đạt được tại các đầu mút của đoạn

Nếu hàm số không đơn điệu thì tiến hành việc tìm GTLN, GTNN theo quy tắc

1 Tìm các điểm x1, x2, …, xntrên các khoảng (a;b), tại đó f’(x) bằng 0 hoặc f’

2 Tính f(a), f(x1), f(x2),…, f(xn), f(b)

3 Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên Ta có

) ( min ),

( max

]

; [ ]

;

M

b

a

b

=

- Sử dụng MTCT:

MODE 7 → NHẬP HÀM → START: a →END: b → STEP: (b-a):19

* V ı́ dụ điển hı̀nh

V ı́ dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số y=(x+1)32 trên đoạn 3;15 

L ời giải

Ch o ̣n A

Gi ải theo tự luâ ̣n

( )12

3

2

y = x + > ∀ ∈ x   Hàm số đạt giá trị lớn nhất tại x =15 ⇒M =y(15) 64=

Gi ải theo Casio MODE 7

Chọn giá trị lớn nhất trong bảng là 64

Phân tı́ch các sai lầm dễ mắc phải của học sinh: Các em thường lấy đạo hàm sai

V ı́ dụ 2: Gọi m là số thực để hàm số ( )3

y = x m+ đạt giá trị lớn nhất bằng 8 trên đoạn 1;2 Khẳng định nào dưới đây đúng?

A m ∈ −( 2;0) B m ∈( )2;4 C m ∈ −( )1;2 D m ∈( )0;3

L ời giải

Ch o ̣n C

y = x m+ ≥ ∀ ∈   ⇒ Hàm số đạt GTLN tại x   x =2

(2) 8

y

3 D ẠNG 3: TÍNH CHẤT, ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ LUỸ THỪA a) Phương pháp giải

- T ự luâ ̣n thuần túy:

Đồ thị luôn đi qua điểm (1; 1)

Khi α > 0 hàm số luôn đồng biến, khi α < 0 hàm số luôn nghịch biến

Đồ thị hàm số không có tiệm cận khi α > 0 khi α < 0 đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là trục Ox, tiệm cận đứng là trục Oy

*V ı́ dụ điển hı̀nh

V ı́ dụ 1: Hàm số nào sau đây là hàm số lũy thừa?

A y=x π B =πx

L ời giải

Ch o ̣n A

Theo định nghĩa hàm số lũy thừa

V ı́ dụ 2: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề sai?

A Hàm số y x= α có tập xác định tùy theo α

B Đồ thị hàm số y x= α với α > có tiệm cận 0

C Hàm số y x= α với α<0nghịch biến trên khoảng (0;+∞ )

D Đồ thị hàm số y x= α với α< có hai tiệm cận 0

L ời giải

Chọn đáp án B

Đồ thị hàm số y x= α với α >0 không có tiệm cận

V ı́ dụ 3: Đồ thị nào dưới đây KHÔNG là đồ thị của hàm số y x= α?

L ời giải

Ch o ̣n C

Đồ thị hàm số y x= αkhông đi qua điểm (0;1)

V ı́ dụ 4: Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị hàm số nào?

A

1 2

−

=

1 2

=

y

L ời giải

Ch o ̣n B

Nhận thấy đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ nên loại đáp án C và D

Nhận thấy đồ thị hàm số đi qua điểm (4; 2)nên loại đáp án A

V ı́ dụ 5: Cho là các số thức Đồ thị các hàm số trên khoảng được cho hình

vẽ bên Khẳng định nào sau đây đúng?

L ời giải

Ch o ̣n D

Mặt khác, dựa vào hình dáng đồ thị ta suy ra và Suy ra đáp án D

< < <

0 1 β < < <0 1 α 0< < <α 1 β α < < <0 1 β

0 1

x >

xα > ⇒ >α xβ > ⇒ >β

xα >xβ ⇒ >α β

1

α > β <1

4 DẠNG 4: CÁC CÂU HỎI CHƯA PHÂN DẠNG

V ı́ dụ 1:Cho hàm số 2

y=x− Mệnh đề nào sau đây là SAI?

A Đồ thị hàm số không cắt trục hoành

B Hàm số nghịch biến trên khoảng (0;+ ∞ )

C Hàm số có tập xác định là (0;+ ∞ )

D Đồ thị hàm số không có tiệm cận

L ời giải

Ch o ̣n D

Tập xác định: D=(0;+ ∞), suy ra C đúng

Do x> nên 0 2

0

x− > , suy ra A đúng

y′ = − x− − < ∀ > , suy ra B đúng x

0

lim

x +x−

→ = +∞ nên đồ thị hàm số nhận Oy làm tiệm cận đứng, đáp án D đúng

V ı́ dụ 2:Đồ thị hàm số nào sau đây nhận 2 trục tọa độ làm 2 tiệm cận:

A y=log3x B

1 5

=

−

=

L ời giải

Ch o ̣n D

0 lim+ −

5 lim − 0

→+∞ =

lim − 0

→−∞ =

x x Nên đồ thị hàm số nhận trục Ox làm tiệm cận ngang

V ı́ dụ 3: Cho hàm số y x 2, có các khẳng định sau

I Tập xác định của hàm số là D 0;

II Hàm số luôn đồng biến với mọi x thuộc tập xác định của nó

III Hàm số luôn đi qua điểm M 1;1

IV Đồ thị hàm số không có tiệm cận

Hỏi có bao nhiêu khẳng định đúng?

L ời giải

Ch o ̣n C

Do   2 nên hàm số xác định với mọi x 0 Vậy khẳng định I đúng

Do y  2.x 2 1   với mọi 0 x  0 nên hàm số đồng biến trên tập xác định Khẳng định II đúng

Do y 1 1 2  nên khẳng định III đúng 1

0

x x

V ı́ dụ 4: Cho hàm số y x2

π

= có đồ thị (C) Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M0có hoành độ

0 =1

x là:

2

y=π x+

y=π x− +π

y= −π x− +π

L ời giải

Ch o ̣n B

Tự luận:

2



2

Với x0 =1 thì y0 =1

y=π x− +π

Trắc nghiệm:

Với x0 =1 thì y0 =1 Thay vào các đáp án thấy A, D không thỏa mãn nên loại A và D

1 2 2



2

Nên hệ số góc của tiếp tuyến bằng 2

 nên loại đáp án C

Và có kết quả

Thấy kết quả không bằng π ≈3,141 nên loại đáp án C