KHOẢNG CÁCH và góc

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song + dα, = dM, , trong đó M là điểm bất kì nằm trên α + Việc tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song được quy về việc tính khoảng cách từ m

KHOẢNG CÁCH

A- LÝ THUYẾT TÓM TẮT

1 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

+ Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng a

d(M, ∆) = MH, , trong đó H là hình chiếu của M trên ∆

2 Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

+ Khoảng cách từ một điểm đến đến một mặt phẳng (α)

, trong đó H là hình chiếu của O trên (α)

Cách 1 Tính trực tiếp Xác định hình chiếu H của O trên (α) và tính OH

- Dựng mặt phẳng (P) chứa O và vuông góc với (α)

- Tìm giao tuyến ∆ của (P) và (α)

Kết quả 1 Nếu đường thẳng ∆ song song với mặt phẳng (α) và M, N ∈ ∆ thì

Kết quả 2 Nếu đường thẳng ∆ cắt mặt phẳng (α) tại điểm I và M, N ∈ ∆ (M, N không trùng với I) thì

Đặc biệt: + nếu M là trung điểm của NI thì

+ nếu I là trung điểm của MN thì

Cách 4 Sử dụng tính chất của tứ diện vuông

Cơ sở của phương pháp này là tính chất sau: Giả sử OABC là tứ diện vuông tại O (

) và H là hình chiếu của O trên mặt phẳng (ABC)

Cách 5 Sử dụng phương pháp tọa độ

Cơ sở của phương pháp này là ta cần chọn hệ tọa độ thích hợp sau đó sử dụng các công thức sau:

+ với ∆ là đường thẳng đi qua A và có vectơ chỉ phương

+ với là đường thẳng đi qua và có vtcp

3 Khoảng cách từ một đường thẳng đến một mặt phẳng song song với nó

+ d(∆, (α)) = d(M, (α)), trong đó M là điểm bất kì nằm trên ∆

+ Việc tính khoảng cách từ đường thẳng ∆ đến mặt phẳng (α) được quy về việc tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

α

=α1d(M;( )) d(N;( ))

u

∧

u u '.AA 'd( , ')

u u '

∧

∆ ∆ =

4 Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

+ d((α), ) = d(M, ), trong đó M là điểm bất kì nằm trên (α)

+ Việc tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song được quy về việc tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

5 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

+ Đường thẳng ∆ cắt cả a, b và cùng vuông góc với a, b gọi là đường vuông góc chung của a, b + Nếu ∆ cắt a, b tại I, J thì IJ được gọi là đoạn vuông góc chung của a, b

+ Độ dài đoạn IJ được gọi là khoảng cách giữa a, b

+ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đó với mặt phẳng chứa đường thẳng kia và song song với nó

+ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó

Áp dụng công thức đường cao của tứ diện vuông SABD

vuông tại A, ta có d A SBD ( ; ( ) ) = AH với

Chọn đáp án C

Câu 3: Khối chóp S.ABC có đáy tam giác vuông cân tại B và AB a SA = ⊥ ( ABC ) Góc giữa cạnh bên

SB và mặt phẳng (ABC) bằng 600 Khi đó khoảng cách từ A đến (SBC) là:

2

.2

Câu 5: Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên SA vuông góc với mặt đá; BC=9 ,m AB=10 ,m AC=17m

Biết thể tích khối chóp S.ABC bằng 73m3 Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng (SBC)

Khi đó áp dụng vào bài toán ta thấyAC ∩ ( SBD ) = O

do vậy áp dụng hệ quả trên ta được : ( ( ) )

Tam giác SAC vuông tại A theo định lí Pytago ta tính được SA a= 3

Tam giác SAD vuông tại A có AH là đường cao nên

Hướng dẫn giải:

Gọi H là trung điểm của BC, suy ra SH ⊥BC⇒SH ⊥(ABC)

Gọi K là trung điểm AC, suy ra HK ⊥AC

=

▱ABCD

a S

Chọn đáp án B

Câu 11: Cho lăng trụ ABCD A B C D ' ' ' ' có đáy ABCD là hình chữ nhật AB a AD a= , = 3 Hình chiếu vuông góc của điểm A' trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm AC và BD Tính khoảng cách từ điểm B' đến mặt phẳng (A'BD) theo a là:

Tam giác HBI vuông tại I nên sin sin sin 300

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD

Ta có d B SAD( ,( ) )=2d O SAD( ,( ) )=4d H SAD( ,( ) )

Câu 16: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD với AB=2 ,a BC=a Các cạnh bên

của hình chóp bằng nhau và bằng a 2 Khoảng cách từ A đến mp (SCD) là:

Câu 17: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B biết BC =a 3, BA a= Hình

chiếu vuông góc H của đỉnh S trên mặt phẳng đáy là trung điểm của cạnh AC và biết thể tích khối chóp

Câu 19: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a Góc BAC=600, hình chiếu của

đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm tam giác ABC, góc tạo bởi hai mặt phẳng (SAC) và (ABCD) là 60 Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SCD) theo a 0

Trong mặt phẳng (SBD) kẻ OE song song SH và cắt SD

tại E Khi đó ta có tứ diện OECD vuông tại O và

d AD SBC d A SBC d O SBC với O là tâm hình vuông ABCD

Gọi I là trung điểm ⇒ ⊥ ⇒ ⊥( ) (⇒ ) (⊥ )

Câu 22: Cho lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’, đáy ABCD là hình chữ nhật có AB a AD a= , = 3 Biết

góc giữa đường thẳng A’C và mặt phẳng (ABCD) bằng 600 Khoảng cách giữa đường thẳng B’C và C’D theo α là:

SA ABC suy ra AB là hình chiếu vuông góc

của SB lên (ABC)

Góc giữa SB và (ABC) là góc SBA=600

Hướng dẫn giải:

Bài toán này có công thức tính nhtôi, nhưng tôi không trình bầy ở đây Tôi sẽ trình bầy

cách tư duy để làm ra bài toán này nhé !

Đề bài cho các gócASC= ASB BSC= =600 và các cạnh SA=3,SB=4,SC=5 áp dụng công thức

Câu 26: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng 2a Tam giác SAD cân tại S

và mặt bên (SAD) vuông góc với mặt phẳng đáy Biết thể tích khối chóp S.ABCD bằng 4 3

Chọn đáp án B

Câu 27: Cho lăng trụ ABCD A B C D có đáy ABCD là hình chữ nhật AB = a, AD = 1 1 1 1 a 3 Hình chiếu vuông góc của điểm A1 trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm AC và BD Góc giữa hai mặt phẳng (ADD1A1) và (ABCD) bằng 600 Tính khoảng cách từ điểm B1 đến mặt phẳng (A1BD) theo

II - KHOẢNG CÁCH GIỮA ĐƯỜNG THẲNG, MẶT PHẲNG

Câu 1: Lăng trụ đứng ABCA B C' ' ' đáy tam giác vuông cân tại B, cạnh bên CC'=a 3 Biết thể tích khối trụ bằng 2 3a Khoảng cách hai đường thẳng AB và CC’ bằng 3

Câu 2: Cho lăng trụ đứng ABC A B C ’ ’ ’ có đáy ABC là tam giác

vuông tại B với AB=4 ,a BC=3a,AC=5a, cạnh bên BB' 9a= Gọi

M là điểm thuộc BB’ sao cho BB' = 3B'M Khoảng cách giữa B’C và

Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 450 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB, AC.

(SBC) chứa SC và song song với AD Đường thẳng qua

O vuông góc với BC cắt BC, AD lần lượt tại E, F Vì O

là trung điểm của È nên ta có:

⇒OH =a ⇒d AD SC = a Gọi M sao cho ABMC là hình bình hành

Vẽ AH vuông góc với BM tại H, AK vuông góc SH tại K Suy ra, AK vuông góc (SBM)

Câu 5: Cho lăng trụ tam giác ABC A B C có tất cả các cạnh bằng a, góc tại bởi cạnh bên và mặt 1 1 1

phẳng đáy bằng 300 Hình chiếu H của điểm A trên mặt phẳng (A B C1 1 1)thuộc đường thẳng B C 1 1

Khoảng cách giữa hai đường thẳng AA và 1 B C theo a bằng: 1 1

Gọi M là trung điểm của BC , dựng MN AA '⊥ tại N (1)

Gọi O là trọng tâm của ∆ABC⇒O là hình chiếu của A’ lên

ABC

V3a

Vì BD⊥ AC, BD ⊥ CC’ => BD ⊥ (OCC’) => (BC’D) ⊥ (OCC’)

Trong (OCC’),kẻ CH ⊥ OC’(H thuộc OC’) => CH ⊥ (BC’D)=>d C BC D( ,( ’ ) )=CH

Câu 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng a 3;ABC=1200 và cạnh bên

SA vuông góc với mặt phẳng đáy Biết rằng số đo của góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng

600 Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC bằng:

.5

a

Hướng dẫn giải:

Ta có ∆SAB= ∆SAD (c g c− − ), suy ra SB SD=

Lại có SBD=600, suy ra∆SBD đều cạnh

2

SB SD BD a

Trong tam giác vuông SAB, ta có SA= SB2−AB2 =a

Gọi E là trung điểm AD , suy ra OE AB và AE⊥OE

A 3a

3.7

⇒HJ = a

Chọn đáp án D

Câu 14: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC), gọi M là điểm thuộc cạnh SC sao cho

3 32

77

Tứ diện BEAM có các cạnh BE, BM, BA đôi một vuông góc

nên là bài toán quen thuộc

và (A B C1 1 1) theo giả thiết thì góc AA1H bằng 300

Xét tam giác vuông AHA có 1

Suy ra góc giữa CA’ và (AA B B chính là góc ' ' )

giữa CA’ và IA’ và bằng góc CA I' =30°

'

2 tan '

Câu 18: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A , mặt bên SAB là tam giác đều

và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M là điểm thuộc SC sao cho MC=2MS Biết AB=3, BC= 3 3 Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BM là:

3 32

77

Câu 19: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh AB=a, góc giữa hai mặt phẳng (A’BC)

và (ABC) bằng 60o Tính theo a thể tích tứ diện B’ABC và khoảng cách từ B đến mặt phẳng (AB’C)

A

3 '

Theo như đề bài dữ kiện thì ta có thể dễ dàng tính được thể tích

của khối lăng trụ tam giác đều ban đầu, từ đó suy ra thể tích của

khối tứ diện AB’BC Để tính được khoảng cách từ B đến (AB’C)

thực chất là tìm chiều cao của tứ diện, đến đây bài toán sẽ được

giải quyết nếu quý độc giả tìm được diện tích tam giác AB’C

Vì đề bài cho dữ kiện ((A’BC), (ABC))=60o, nên ta sẽ đi xác định

góc này bằng cách gọi H là trung điểm của BC Tam giác ABC

đều nên AH⊥ BC (1)

A’A⊥ (ABC) ⟹A’A ⊥ BC (2)

Từ (1) và (2) ⟹BC ⊥ A’H ⟹((A’BC), (ABC)) = A’HA = 60o

2

B ACB'

+ Kẻ đường cao CH của tam giác ABC Có CH

⊥AB ;CH⊥AA’ suy ra CH⊥(ABB’A’),Do đó

góc giữa A’C và mp(ABB’A’) là góc

Có 2 cách để tiếp cận một bài toán hình học không gian thông

thường là kẻ thêm hình và tọa độ hóa Ở bài toán này, phương

pháp tọa độ có nhiều ưu điểm hơn hẳn

Gọi 'D là trung điểm B C' ' ta có DD DC DA đôi một vuông '; ;

( ' , ') ( ,( ))

42

−

a a

3) Diện tích hình chiếu của một đa giác

Gọi S là diện tích của đa giác (H) trong (P), S′ là diện tích của hình chiếu (H′) của (H) trên (Q), ϕ

Gọi M là trung điểm BD, ( AB CD , ) ( = MF ME , )

Áp dụng định lý cosin trong tam giác EMF tính được

Khi cạnh bên tăng lên 2 lần thì thể tích là 1 3

(2 ) tan '12

V a Để thể tích giữ nguyên thì tan

Câu 3: Cho khối chóp tứ giác đều S ABCD có tất cả các cạnh bằng a Khi đó côsin góc giữa mặt bên

Do đó SA⊥(ABCD) nên SC ABCD,( )=SCA

Trong tam giác vuông SAC, có tan 1

2

= SA =

SCA AC

Chọn đáp án A

Câu 8: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh 2a, có SA vuông góc với (ABC), tam giác SBC cân tại S Để thể tích của khối chóp S.ABC là

3 32

a

thì góc giữa hai mặt phẳng (SBC)

và (ABC) là:

Gọi αlà góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB’I) Tam giác ABC là hình chiếu vuông góc của tam giác AB’I

Gọi E là trung điểm của BB' Khi đó (AME)/ / 'B C nên ta có:

Gọi E là trung điểm của BB’

( ' ; )= ( ' ;( ))= ( ';( ))= ( ;( ))

Ta có: ( ;(d B AME))= h

Tứ diện BEAM có các cạnh BE, BM, BA đôi một vuông góc

nên là bài toán quen thuộc Ta có

Câu 12: Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SAC là tam giác cân

tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, đáy là tam giác

ABC vuông cân tại B, AB a = 2 Biết góc tạo bởi SC và (ABC) bằng 45 Khoảng cách từ SB đến 0

CM được SH ⊥ ( ABC ) ⇒ ( SC ABC , ( ) ) = SCH = 450⇒ SH = a

tam giác SHB vuông cân tại H ⇒SB a= 2

.cos( ; )

Hướng dẫn giải:

Gọi P là trung điểm AO; Q là giao điểm của MC và SO, từ Q kẽ tia song song với MN trong mp(MBC) cắt BC tại R, trong mặt phẳng đáy từ R kẽ tia song song với AC cắt BD tại S

MP//SO nên MP⊥(ABCD), suy ra MNP=600

Ta tính PN bằng cách vẽ thêm hình phụ như bên, theo định lí Ta-lét 3 3