khoang cách và goc trong Oxyz

Viết phương trình mặt phẳng chứa A'C và tạo với mặt phẳng Oxy một góc α biÕt os 1 6 GIẢI a/ Tính h A’C,MN... Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua giao điểm của đường thẳng d với mặt ph

MỘT SỐ BÀI TẬP HAY VỀ HH-KG LỚP 12 MỘT SỐ BÀI TOÁN CÓ LIÊN QUAN ĐẾN GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH

I LIÊN QUAN ĐẾN GÓC

(5 BÀI ) Bµi 1 ( KA-2006) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình lập phương ABCD.A 'B'C'D' với

A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), D(0;1; 0), A'(0; 0;1) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB, CD

1 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A'C và MN

2 Viết phương trình mặt phẳng chứa A'C và tạo với mặt phẳng Oxy một góc α biÕt os 1

6

GIẢI a/ Tính h( A’C,MN)

- Ta có : ' (1;1;1 ,) (0;1;0 ,) ' 1;0;1

2

uuuur uuuur uuuur

- Do đó :

1 1 1 1 1 1

1 0 0 0 0 1

A C MN MA

uuuur uuuur uuuur

- Vậy : ( )

3

2 ' ,

1 0 1 2 2 ' ,

A C MN MA

h A C MN

A C MN

+ +

uuuur uuuur uuuur uuuur uuuur

b/ Lập mặt phẳng (P) chứa A’C

- Gọi (P) : ax+by+cz+d=0 (1)

- Do đi qua (A’C) cho nên : Qua A’(0;0;1) suy ra : c+d=0 (2) Suy ra c=-d = a+b

(P) qua C(1;1;0) : a+b+d =0 (3) suy ra : (P) : ax+by+(a+b)z-(a+b)=0 (*)

- Mặt phẳng (P) có : nr=(a b c; ; ), mặt phẳng (Oxy) có véc tơ pháp tuyến là kr=(0;0;1) Do đó ta có :

2a 6

b

r r

- Với : a=-2b, chọn b=-1, ta được (P) : 2x-y+z-1=0

- Với b=-2a , thì chọn a=1 , ta được (P) : x-2y-z+1=0

Bài 2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A(−1; 2; −3), B(2; −1; −6) và mp(P): x + 2y + z

−3= 0 Viết phương trình mp(Q) chứa AB và tạo với mp(P) một góc α thỏa mãn: cos 3

6

α = GIẢI

Gọi (Q) có dạng : ax+by+cz+d=0

(Q) qua A(-1;2;-3) ta có : -a+2b-3c+d=0 (1) và (Q) qua B(2;-1;-6) : 2a-b-6c+d=0 (2)

- Mặt phẳng (P) có nr=(1; 2;1) Suy ra

6

Q

Q

P

P

uur r

- Từ (1) và (2) ta có : 2 3 0

Z

A

B

C

D

’

D’

A’

M

N

MỘT SỐ BÀI TẬP HAY VỀ HH-KG LỚP 12

- Thay vào (3) :

0, 3



- Vậy có hai mặt phẳng : (Q): -4x+y-3z-15=0 và (Q’): -x+y-3=0

Bài 3 Trong không gian tọa độ Oxyz cho hai điểm A(2; −1; 1), B(0; 1: −2) và đường thẳng (d):

− Viết phương trình đường thẳng (∆) đi qua giao điểm của đường thẳng (d) với mặt phẳng (OAB), nằm trong mặt phẳng (OAB) và hợp với đường thẳng (d) một góc α sao cho cos 5

6

α= . GIẢI

- Ta có : (2; 1;1 ,) (0;1; 2) , 1 1 ; 1 2 2; 1 (1; 4; 2)

1 2 2 0 0 1

− −

- Do đó : mp(OAB): x+4y+2z=0 (1) Gọi M là giao của d với (OAB) thì tọa độ của M là nghiệm của hệ :

4 2z

4(3 ) 2(2 1) 0 10 10;13; 21 3

1 2

x t



 =

 = −



 = − +



- Vì ∆ ∈(OAB)⇒ =α (d,∆), n uuuruurP ∆ = ⇔ +0 a 4b+2c=0 ( )2 (ur=(a b c; ; ) )

- Do đó : os( , ) . 2 2 2 2 2 22 2 5( )4

6

1 1 4 6

d P

uur uur uur uur

uur uur

6 5b 25 4b 2c b c 11b 16bc 5c 0 b 11c

b c

 =



=



- Với 5 2 2 ; 5 ; / / (2; 5; 11) : 13 510 2

21 11

d

= − +





- Với b=c, thay vào (2) ta có a=-6c ( 6 ; ; )/ / ' (6; 1; 1) : 1310 6

21

∆

= − +





 = − −



Bài 3 Trong không gian tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A(0;1;−2), vuông góc với đường thẳng ( ) : 3 2

- và tạo với mặt phẳng (P): 2x + y − z +5 = 0 một góc 300

GIẢI

* Đường thẳng d có véc tơ chỉ phương ur= −(1; 1;1), đường thẳng ∆ có véc tơ chỉ phương uuur∆ =(a b c; ; ) Mặt phẳng (P) có nr=(2;1; 1− ).Gọi α =(d P; ) =(u uuur uur∆, d)

- Do đó : os , 2 2a2 2 2a2 2 2 os300 3

2

4 1 1 6

∆

uur r uur r

2 2a b c 3 6 a b c 2 2a b c 9 a b c 2

MỘT SỐ BÀI TẬP HAY VỀ HH-KG LỚP 12

- Vì : d ⊥ ∆ ⇒u uuur uurd ∆ = ⇔ − + = ⇔ = +0 a b c 0 b a c ( )3

- Thay (3) vào (2) ta được :

2a

c

c

=



- Với c-0, thay vào (3) ta có b=a suy ra ( ; ;0 / /) (1;1;0) : 1

2

x t

z

∆

=





 = −



- Với : c=-2a , thay vòa (3) ta có b=-a ( ; ; 2a / / ') (1; 1; 2) : 1

2 2

x t

∆

=





 = − −



Bài 4 Trong không gian với hệ trục toạ độ Đềcác Oxyz, cho hai đường thẳng :

∆1 :

1 2 1

x = y = z

− , và ∆2 : 1 1 1

x− = y+ = z−

− a/Chứng minh hai đường thẳng ∆1 và ∆2 chéo nhau

b/Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng ∆2 và tạo với đường thẳng ∆1 một góc 300

GIẢI a/Chứng minh hai đường thẳng ∆1 và ∆2 chéo nhau:

* Đường thẳng ∆1 có véc tơ chỉ phương uur1= −(1; 2;1) và qua O(0;0;0), còn ∆2 qua B(1;-1;1)

2 1 1 1 1 2

1 3 3 1 1 3

uur ur uur

(1)

Mặt khác : u u OBur uur uuur1, 2 =1 5( ) ( )− − + − = ≠1 2 1 1( ) 6 0 Kết hợp với (1) suy ra hai đường thẳng ∆1 và ∆2 chéo nhau

b/ Viết phương trình (P)

Đường thẳng 2

0

:

x y



* Vì (P) chứa ∆ ⇒2 ( )P thuộc chùm :

m x y+ +n − − = ⇔z m+ n x my n+ − − n= m +n ≠

Mặt khác (P) tạo với đường thẳng ∆1 một góc 30 thì :0

1

o

r ur

r ur r ur

r ur

6 2m 10n 6mn 4 2n m 2m 13mn 11n 0 m 2 n 3

 = −



= −



- Thay (3) vào (*) ta có :

- Với 11 ( ): 5 11 2 0 ( ): 5x 11 2z 4 0

m= − n⇒ P − x− y z− − = ⇔ P + y+ + =

Với m=-n thì (P): 2nx-ny-nz-2n=0 , Hay (P): 2x-y-z-2 =0

MỘT SỐ BÀI TẬP HAY VỀ HH-KG LỚP 12

Bài 5 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đờng thẳng d và d’ lần lợt có phơng trình : d :

z

y

−

−

=

1

2

và d’ :

1

5 3

2

2

−

+

=

−

=

y

x

Viết phơng trình mặt phẳng (P) đi qua d và tạo với d’ một góc 300

GIẢI Tương tự như bài 4, ta chuyển d sang dạng là giao của hai mặt phẳng : x-z=0 và x+y-2=0

Do đú (P) thuộc chựm : m(x-z)+n(x+y-2)=0 ; hay : (m+n)x+ny-mz-2n=0 (1)

Đường thẳng d’ cú ur=(2;1; 1− ) Vỡ (P) tạo với d’ một gúc bằng 0

30 cho nờn

2

+ + +

o

r ur

r ur r ur

r ur

2 2

m

= −





- Với m=-2n thay vào (1) thỡ (P): -nx+ny+2nz-2n=0 ; hay (P):-x+2y+2z-2=0

- Với n=-2m thay vào (1) thỡ (P): -mx-2my-mz+4m=0 ; hay (P): -x-2y-z+4=0

II LIấN QUAN ĐẾN KHOẢNG CÁCH

( 32 BÀI )

Bài 1.(ĐH_KD-2009)

Trong khụng gian tọa độ Oxyz , cho tứ diện ABCD cú tọa độ cỏc đỉnh A(1;2;1),B(-2;1;3),

C(2;-1;1),D(0;3;1).Viết phương trỡnh mặt phẳng (P) đi qua A và B sao cho khoảng cỏch từ điểm C đến mặt phẳng (P) bằng khoảng cỏch từ điểm D đến mặt phẳng (P)

GIẢI

- Mặt phẳng (P) cú dạng : ax+by+cz+d=0

- (P) qua A(1;2;1) thỡ : a+2b+c+d=0 (1) (P) qua B(-2;1;3) thỡ : -2a+b+3c+d=0 (2)

- Theo giả thiết : h(C,P)=h(D,P) 2a2 b c d2 2 3b c d2 2 2 2a b c d 3b c d

• Nếu a=b thay vào (1) và (2) : 3 0 0 ( ) : z 0 ( ) : 1 0

0

− + + =  = −

• Nếu : a+b+c+d=0 thay vào (1) và (2) :

Bài 2 Trong khụng gian tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt cú

phương trỡnh : (P): 2x-y-2z-2=0 và (d): 1 2

− Viết phương trỡnh mặt cầu (S) cú tõm I thuộc (d), I cỏch (P) một khoảng bằng 2 và (P) cắt (S) theo một đường trũn giao tuyến cú bỏn kớnh bằng 3

GIẢI Gọi (S) cú tõm I(a;b;c) và bỏn kớnh R Theo giả thiết :

MỘT SỐ BÀI TẬP HAY VỀ HH-KG LỚP 12

- I thuộc d thì I( -t;2t-1;t+2) (1) h(I,P)=2 2a 2 2 2 2a 2 2 6 ( )2

4 1 4

− − −

+ +

- (P) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn (C ) tâm H và bán kính r=3 thì :

3

4 9 13

h I P IH



⇔ 



- Thay (1) vào (2) :

1

2

; ;

; ;





- Vậy có 2 mặt cầu (S) :

( ) ( )

1

2



  + ÷ + − ÷ + − ÷ =



Bài 3 Trong không gian tọa độ Oxyz cho đường thẳng (d): 3 1

− và hai điểm A(2; −1; 1), B(0; 1: −2) Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng (d) sao cho tam giác ABM có diện tích nhỏ nhất

GIẢI

- Nếu M thuộc d thì M có tọ độ M=(t;3-t;2t-1)

- Ta có :

; 2 ; 2 1



uuuur

uuuur uuuur uuuur

- Do đó : 1 1 ( ) (2 )2 1 ( )2 1

S= uuuur uuuurAM BM = t+ + +t + = t+ + ≥

- Vậy : min S = 34

2 khi t=-5 và M=( -5;8;-11).

Bài 4 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1;5;0), B(3;3;6) và đường thẳng

− Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng (∆) để tam giác MAB có diện tích nhỏ nhất

GIẢI Cách giải tương tự như bài 3

- Nếu M thuộc d thì M có tọ độ M=(2t-1;1-t;2t)

- Ta có :

2 2 6 2 6 2 4 2 4 2

2 4; 2 ; 2 6

AM BM



uuuur

uuuur uuuur uuuur

(2t 24;8 12; 2 12t t )

- Do đó : 1 1 ( ) (2 ) (2 )2 23 2 1547 1

uuuur uuuur

- Vậy : min S = 1547

6 khi

23 14 5 23

; ;

MỘT SỐ BÀI TẬP HAY VỀ HH-KG LỚP 12 Bài 5 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(4;9;−9), B(−10;13;1)

và mặt phẳng (P): x + 5y − 7z − 5 = 0 Tìm tọa độ điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho

MA2 + MB2 đạt giá trị nhỏ nhất

GIẢI Gọi M (x;y;z) thuộc (P) thì ta có : x+5y-7z-5=0 (1)

2

2







uuuur

uuuur

Do đó 2 2 ( ) (2 ) (2 ) (2 ) (2 ) (2 )2

MA +MB = −x + −y + +z + +x + −y + −z

Hay : 2 2 ( ) (2 ) (2 )2

MA +MB =  x+ + y− + +z +

Từ (1) -75=1(x+3)+5(y-11)-7(z+4) Theo bất đẳng thức Bu nhe cốp ski suy ra :

75 1 x 3 5 y 11 7 z 4 1 25 49  x 3 y 11 z 4 

Do đó : ( ) (2 ) (2 )2 752

75

Và : 2 2 ( ) (2 ) (2 )2

2 3 11 4 156 2.75 156 306

Dấu đẳng thức xảy ra khi :

50

192

x

 = −

• Ta còn cách khác , sử dụng hệ thức trung tuyến : Gọi I là trung điểm của AB

Ta có : 2 2 2 2 2 ( )*

2

AB

MA +MB = MI +

Với : uuurAB= −( 14; 4;10)⇒AB2 =196 16 100 312+ + = Và I(-3;11;-4) suy ra MIuuur= +(x 3;y−11;z+4)

Do đó : 2 ( ) (2 ) (2 )2

2MI =2 x+3 + −y 11 + +z 4 

2

( Kết quả như trên )

Bài 6 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(5; 8; −11), B(3; 5; −4),

C(2; 1; −6) và đường thẳng thẳng (d): 1 2 1

Xác định toạ độ điểm M thuộc (d) sao cho

MA MB MC− −

uuur uuur uuuur

đạt giá trị nhỏ nhất

GIẢI Điểm M thuộc d thì M(2t+1;2+2t;1+t) , cho nên :

2 4; 2 6; 12

2 1; 2 1; 7





uuur

uuur uuur uuur uuuur

uuuur

MỘT SỐ BÀI TẬP HAY VỀ HH-KG LỚP 12

uuur uuur uuuur

Dấu đẳng thức xảy ra khi :

11 9

; ;

1 9

x

z

 = −







 = −



Bài 7 Trong không gian hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(1; −1; 2), B(1; 3; 0), C(−3; 4; 1) và D(1; 2; 1) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho khoảng cách từ C đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P)

GIẢI

Mặt phẳng (P) có dạng : ax+by+cz+d=0

Nếu (P) qua A(1;-1;2) thì ta có phương trình : a-b+2c+d=0 (1)

Nếu (P) qua B(1;3;0) thì ta có phương trình : a+3b+d=0 (2)

Theo giả thiết : h(C,P)=h(D,P) cho nên ta có :

Kết hợp với hai phương trình (1) và (2) ta có hai hệ xét cho hai trường hợp :

Bài 7.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):3x− 3y+ 2z+ 37 0 = và các

điểm A(4;1;5), B(3;0;1), C(−1;2; 0) Tìm toạ độ điểm M thuộc (α) để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất: MA.MB MB.MC MC.MA + +

uuuur uuur uuur uuuur uuuur uuuur

GIẢI Gọi M(x;y;z) thuộc (P) thì ta có phương trình : 3x-3y+2z+37=0 (1) Khi đó ta có :

MA= −x y− z− MB= −x y z− MC= +x y− z

và :

MA MB= −x x− +y y− + −z z− =x +y + −z − − +y

uuur uuur

MB MC= −x x+ + y y− +z z− =x +y + −z − y−

uuur uuuur

MC MA= +x x− + −y y− +z z− =x +y + −z − y− −

uuuur uuur

Lấy (2)+(3)+(4) vế với vế ta được :

( 2 2 2 ) ( ) (2 ) (2 )2

MA.MB MB.MC MC.MA 3+ + = x +y +z −4x 2− y−4z 4+ =3  x−2 + y−1 + −z 2 −5 

uuuur uuur uuur uuuur uuuur uuuur

Áp dụng bất đẳng thức Bu nhe cốp ski cho phương trình (1) :

44 3 x 2 3 y 1 2 z 2 9 9 4  x 2 y 1 z 2 

Suy ra : ( ) (2 ) (2 )2 44.44

22

MỘT SỐ BÀI TẬP HAY VỀ HH-KG LỚP 12

Hay : ( ) (2 ) (2 )2

3  x−2 + y−1 + −z 2 − ≥15 3.88 15 249− =

  Vậy : MA.MB MB.MC MC.MA 249+ + ≥

uuuur uuur uuur uuuur uuuur uuuur Dấu đẳng thức xảy ra khi :

3

7 4;7; 2

2 3x 3 2z 37 0 22x 88 0

x

z y

= −





Bài 8 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho A 0;1;2 , B 1;1;0( ) (− ) và mặt phẳng (P): x y z− + =0 Tìm toạ độ điểm M thuộc (P) sao cho tam giác MAB vuông cân tại B

GIẢI Gọi M=(x;y;z) Nếu M thuộc (P) thì : x-y+z=0 (1)

Ta có : uuurBA=(1;0; 2 ,) MBuuur= +(x 1;y−1;z) Nếu tam giác MAB vuông cân tại B và kết hợp với (1) thì ta

có hệ phương trình :

uuur uuur

Bài 9 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng (d):

2

1 2

y t

= −



 =



 = − −



và

mặt phẳng (P): x y z+ − + = 1 0 Gọi (d’) là hình chiếu của (d) lên mặt phẳng (P) Tìm toạ độ điểm H thuộc (d’) sao cho H cách điểm K(1; 1; 4) một khoảng bằng 5

GIẢI Lập phương trình đường thẳng d’ là hình chiếu vuông góc của d trên (P)

- Tìm tọa độ A là giao của d với (P) Tọa độ của A là nghiệm của hệ :

2

1 2

1 0

y t

x y z

= −



 =

 = − −



 + − + =



- Do là hình chiếu vuông góc nên ' ( )

1 2 2 2 2 1

1 1 1 1 1 1

− −

uur uur r

MỘT SỐ BÀI TẬP HAY VỀ HH-KG LỚP 12

- Vậy d’ qua A(4;-2;3)có véc tơ chỉ phương ' ( )

4 1; 4; 3 ' : 2 4

3 3

d

= +





 = −

 uur

Tìm tọa độ H

Nếu H thuộc d’ thì H=(t+4;-2-4t;3-3t) (*) ,suy ra KHuuur= − −( 3 t t; 4 +3;3 1t+ )

Do đó : 2 ( ) (2 ) (2 )2 2 2

3 4 3 1 3 26 36 19 25 26 36 6 0

KH = +t + t+ + + t = t + t+ = ⇔ t + t− =

Vậy : 1 9 2 30 ; 2 9 2 30

t = − − t = − + , thay vào (*) ta tìm được tọa độ của H

Bài 10 Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng

1 2 1

y

z t

= − +



 =



 =



Đường thẳng ∆ đi qua điểm I(0;3;−1), cắt ∆1 tại A, cắt ∆2 tại B Tính tỷ số IA

IB=k

GIẢI

Do A thuộc ∆ ⇒ = − − − +1 A ( 1 t'; 1 t';3−t') B thuộc ∆ ⇒ = − +2 B ( 1 2 ;1;t t)

Ta có : IAuur= − −( 1 t t'; ' 4; 4− −t' ;) IBuur= − +( 1 2 ; 2;t − t+1)

Theo giả thiết :

4 '

5

t k

IA

IB k

−

 =







Bài 11 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hai đường thẳng ∆1: 1 2

− Đường vuông góc chung của ∆1 và ∆2 cắt ∆1 tại A, cắt ∆2 tại B Tính diện tích ∆ OAB

GIẢI

*Do A thuộc ∆ ⇒ = +1 A (1 2 ';t − − +t'; 2 t') B thuộc ∆ ⇒ = − +2 B ( 1 ;1 7 ;3t + t −t)

Ta có : uuurAB= − −(t 2 ' 2;7t t t+ +' 1;5− −t t' ;)

- Nếu AB là đường vuông góc chung thì :

1 2

2 2 ' 2 7 ' 1 5 ' 0 0 1;1;3 0

2 ' 2 7 7 ' 1 5 ' 0 ' 0 1;0; 2 0

AB u

AB u



uuur ur

uuur uur

- Gọi S là diện tích tam giác OAB thì : 1 ,

2

S= OA OB

uuur uuur

- Do đó : (1;0; 2 ,) ( 1;1;3) , 1 3 ; 3 1; 1 1 ( 2;1; 1)

0 2 2 1 1 0

− −

uuur uuur uuur uuur

- Và 1 , 1 4 1 1 6

S = OA OBuuur uuur = + + =

MỘT SỐ BÀI TẬP HAY VỀ HH-KG LỚP 12

Bài 12 Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng (P): 2x + y − 2z + 9 = 0, đường thẳng

(d): 1 1 3

− Viết phương trình đường thẳng ∆ vuông góc với (P) và thỏa mãn ∆ cắt (d) tại một điểm M cách (P) một khoảng bằng 2

GIẢI Tìm M trên d thì M=(t-1;7t+1;3-t)

Khoảng cách từ M đến (P) là h(M,P)= 2 2( 1) 7 1 2 3( ) 9

2

4 1 4

t− + + −t − +t

+ +

; ;

11 2 6

; ;

11 11 11 11

t t

t

 + = −



Vì ∆ cắt d cho nên ∆ qua M và ∆ ⊥(P) ⇒uuur uur∆ =n P =(2;1; 2− )

Vì vậy

11 11 11 :

− , Hoặc :

:

−

Chú ý : Ta còn có một cách khác như sau

- Lập mặt phẳng (Q) song song với (P) và cách (P) một khoảng bằng 2

- Do đó (Q) có dạng : 2x+y-2z+m=0 Ví h(P,Q) = 2 suy ra : Trên (Q) chọn N(-2;-3;1) ta tính

h(N,Q)= 2( 2) ( 3) 2(1) 2 8 6 8 6 14

4 1 4

m

m

phẳng (Q) ; 2x+y-2z+14=0 và 2x+y-2z+2=0

- Bây giờ ta đi tìm tọa độ của M là giao của d với (Q), thì tọa độ M là nghiệm :

1

2( 1) 7 1 2(3 ) 14 0 11 7

2x 2z+14 0

x t

y t

y

= −



 = +

 = −





- Hoặc :

1

2( 1) 7 1 2(3 ) 2 0 11 5

2x 2z+2 0

x t

y t

y

= −



 = +

 = −





Bài 13 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆: 1 2 1

−

và

hai điểm A(0;1:−2), B(2;−1;1) Tìm tọa độ điểm C thuộc đường thẳng ∆ sao cho tam giác ABC có diện

tích nhỏ nhất

GIẢI Nếu C thuộc ∆ thì có tọa độ là : C=(t+1 ;2-t ;1+2t)

Ta có :

2; 2;3

AB



uuur

uuur uuur uuur

Gọi S là diện tích tam giác ABC thì : 1 1 ( ) (2 )2

S = uuur uuurAC AB = t+ + −t +

MỘT SỐ BÀI TẬP HAY VỀ HH-KG LỚP 12

2 3 88 88 22

2

⇔ = + + ≥ = Dấu đẳng thức xảy ra khi t=-3 , và C=( -2 ;5 ;-5 )

Bài 14 Trong không gian tọa độ Oxyz, cho ba điểm ( 1;0;1), (2; 1;0), (2; 4; 2) A − B − C và

mặt phẳng ( ) :α x y+ +2z+ =2 0 Tìm tọa độ điểm M trên (α) sao cho biểu thức T =MA2+MB2+MC2

đạt giá trị nhỏ nhất

GIẢI Nếu M thuộc mặt phẳng ( ) :α x y+ +2z+ =2 0 (1)

Khi đó ta có :

MA= +x y z− →MA = +x +y + −z =x +y + +z − +

uuur

MB= −x y+ z →MB = −x + y+ + z =x +y + −z +

uuur

MC = −x y− z− →MC = −x + −y + −z =x +y + −z − y− +

uuuur

Cộng các vế của ba đẳng thức trên ta được :

MA +MB +MC = x +y + −z − y− + =  x− + y− + −z +

Do M thuộc (P) : x+y+2z+2=0 ⇔(x− + − +1) (y 1) (2 z− + =1) 6 0 Áp dụng bất đẳng thức Bu nhe cốp ski cho ba cặp số : (1;1;2) và (x-1;y-1;z-1 ) ta có :

6 1 x 1 1 y 1 2 z 1 1 1 4  x 1 y 1 z 1 

6

Dấu đẳng thức xảy ra khi xảy ra trường hợp dấu bẳng trong bất đẳng thức Bu nhe cốp ski:

1

2 2x 1 2 0 2z 2 0

z

x x

x y







Bài 15 Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(0;0;−3); B(2;0;−1) và mặt phẳng

(P): 3x − y − z +1 = 0 Tìm tọa độ điểm C nằm trên (P) sao cho ABC tam giác đều.

GIẢI Nếu M=(x;y;z) thuộc (P) suy ra ; 3x-y-z+1=0 (1) Khi đó ta đi tính :

MA= x y z+ ⇔MA =x +y + +z MB= −x y z+ ⇒MB = −x +y + −z

Nếu tam giác ABC là tam giác đều thì ta có hệ phương trình :

2

2 x 3

1

6

3

y

 =





Vậy điểm M cần tìm là : 2 0; ; 1

3 3 6

Bài 16 Trong không gian Oxyz cho mp (P): 3x − 8y + 7z + 4 = 0 và hai điểm A(1; 1; −3),