1 Chứng minh chữ số tận cựng chữ số hàng đơn vị của cỏc số tự nhiờn n và 5 n là như nhau.. Cho đường trũn tõm O, bỏn kớnh R > 0 khụng đổi và hai đường kớnh cố định AB, CD vuụng gúc với n
Trang 1sở giáo dục và đào tạo
TUYấN QUANG kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 9 thCS
năm học 2009 - 2010
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
(Đề này có 01 trang)
-
Câu 1 (4 điểm) Rỳt gọn cỏc biểu thức sau:
1) P ( )(a ) ( )(b ) ( )(c )
a b a c b c b a c a c b
− − − − − − , trong đú a b c, , là cỏc số đụi một khỏc nhau
Q
= + − − − − , trong đú x≥2.
Câu 2 (4 điểm) Tỡm x, y, z thỏa món hệ sau:
−
=
−
−
−
=
−
−
−
=
−
−
x z
z
z y
y
y x
x
3 6 2 3
2 4 2 3
2 2 3 3 3
3
Câu 3 (4 điểm)
1) Chứng minh chữ số tận cựng (chữ số hàng đơn vị) của cỏc số tự nhiờn n và 5
n là như nhau
2) Tỡm số nguyờn tố p để 5p2 + 1 là số nguyờn tố
Câu 4 (6 điểm) Cho đường trũn tõm O, bỏn kớnh R > 0 khụng đổi và hai đường kớnh cố
định AB, CD vuụng gúc với nhau Lấy điểm I bất kỳ trờn đoạn OC (I khụng trựng với O và C); dựng đường trũn tõm I bỏn kớnh IA, đường trũn này cắt tia AD và AC lần lượt tại M và
N (khỏc điểm A)
1) Chứng minh rằng ba điểm I, M, N thẳng hàng
2) Từ M kẻ đường thẳng song song với AC, đường thẳng này cắt CD tại K Chứng minh rằng: DM.DA = DK.DO
3) Tớnh tổng MA + NA theo R
Câu 5 (2 điểm) Cho ba số thực a, b, c thỏa món a + b + c = 3 Chứng minh rằng:
4 4 4 3 3 3
a + + ≥b c a + +b c
……….HẾT………
sở giáo dục và đào tạo
tuyên quang đáp án Kì thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 9 thcs
Năm học 2009 - 2010
Môn thi: Toán
đề chính thức
Trang 2C©u 1 (4 ®iÓm) Rút gọn các biểu thức sau:
1)
( )( ) ( )( ) ( )( )
P
a b a c b c b a c a c b
− − − − − − , trong đó a b c, , là các số đôi một khác nhau.
( )( ) ( )( ) ( )( )
P
a b a c b c b a c a c b
( ) ( ) ( ) ( )( )( )
a c b b a c c b a
a b b c c a
=
0 ( )( )( )
ac ab ba bc cb ca
a b b c c a
− + − + −
1 ®
Q
=
+ − − − − , trong đó x≥2.
2 1 2 1 [(2 1) 2 2 1 1] [(2x-1)-2 2x-1 1]
Q
=
1
( 2 1 1) ( 2 1 1)
2
− + − − −
0,5 ®
1 1 1 1
1
( 2 1 1 2 1 1)
2
− + + − −
=
− + − − + (vì x≥2 nên x 1 1− ≥ và 2x 1− ≥ 1) 0,5 ®
C©u 2 (4 ®iÓm) Tìm x, y, z thỏa mãn hệ sau:
−
=
−
−
−
=
−
−
−
=
−
−
x z
z
z y
y
y x
x
3 6 2 3
2 4 2 3
2 2 3 3 3
3
Biến đổi tương đương hệ ta có:
2 3
( 2)( 1) 2
3 2 2
3 2 4 2 ( 2)( 1) 2(2 )
3 2 6 3 ( 2)( 1) 3(2 )
− − = −
1 ®
Nhân các vế của 3 phương trình với nhau ta được:
(x - 2)(y - 2) (z - 2)(x+1) 2 (y+1) 2 (z+1) 2 = - 6(x - 2)(y - 2) (z - 2)
1 đ
⇔ (x - 2)(y - 2) (z - 2)[( x + 1 ) 2 ( y + 1 ) 2 ( z + 1 ) 2 + 6] = 0 0,5 ®
⇔ (x - 2)(y - 2) (z - 2) = 0.
Với x = 2 hoặc y = 2 hoặc z = 2 thay vào hệ ta được x = y = z = 2 0,5 ®
C©u 3 (4 ®iÓm) 1) Chứng minh chữ số tận cùng (chữ số hàng đơn vị) của các số tự nhiên n
và n5 là như nhau
Trang 3Ta có: n5 − = n n n ( 4 − = 1) n n ( 2 − 1)( n2 + = 1) n n ( − 1)( n + 1)( n2 + = 1) 0,5 ®
( 1)( 1)( 4 5) ( 1)( 1)( 4) 5 ( 1)( 1)
( 2)( 1) ( 1)( 2) 5 ( 1)( 1)
Ta có (n – 2)(n – 1)n(n + 1)(n + 2) và 5n(n – 1)(n + 1) đều chia hết cho 10 0,5 ®
Do đó n5 − n chia hết cho 10, suy ra điều phải chứng minh 0,5 đ 2) Tìm số nguyên tố p để 5p2 + 1 là số nguyên tố
+ Nếu p = 2 thì 5p2 + = 1 21 không phải là số nguyên tố 0,5 ®
+ Nếu p > 2 thì p phải là số lẻ (vì p là số nguyên tố) 0,5 ®
Do đó 5p2 + 1 là số chẵn lớn hơn 2, suy ra 5p2 + 1 không phải là số nguyên tố 0,5 đ
Vậy: không có số nguyên tố p nào thỏa mãn đề bài 0,5 đ Câu 4 (6 điểm) Cho đường tròn tâm O, bán kính R > 0 không đổi và hai đường kính cố
định AB, CD vuông góc với nhau Lấy điểm I bất kỳ trên đoạn OC (I không trùng với O và C); dựng đường tròn tâm I bán kính IA, đường tròn này cắt tia AD và tia AC lần lượt tại M
và N (khác điểm A)
1) Chứng minh rằng ba điểm I, M, N thẳng hàng
K O I
M
N
D
C
B A
0,5 ®
Vì góc NAMˆ =900 nên MN là đường kính của đường tròn (I, IA) 1 ®
2) Từ M kẻ đường thẳng song song với AC, đường thẳng này cắt CD tại K Chứng minh rằng: DM.DA = DK.DO
Xét 2 tam giác KMD và AOD có:Vì góc NAMˆ =900 và MK // AC nên ta có:
0 ˆ
0,5 ®
Suy ra hai tam giác vuông KMD và AOD đồng dạng 0,5 ®
Từ đó suy ra: DK DA
Trang 4.
DM DA DK DO
3) Tính tổng MA + NA theo R
Từ
INC IMK
Vậy AM + AN = AM + CN + AC = AM + MD + AC = AD + AC = 2 2.R 0,5 ®
C©u 5 (2 ®iÓm) Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3 Chứng minh rằng:
4 4 4 3 3 3
a + + ≥b c a + +b c
Víi mäi sè thùc x ta cã :
2
( 1)( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 0
2 4
x x x x x x x
− − = − + + = − + ÷ + ≥
0,5 ®
( ) ( 1) ( 1) ( 1)
a + + −b c a + +b c =a a− +b b− +c c− 0,5 đ
3 ( 1) 3 ( 1) 3 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
a a b b c c a b c
(a 1)(a 1) (b 1)(b 1) (c 1)(c 1) 0
Suy ra : a4 + + ≥b4 c4 a3 + +b3 c3
0,5 đ
Ghi chó: ThÝ sinh lµm bµi theo c¸ch kh¸c (nếu đúng) vẫn được điểm theo quy định.