b.2/ Chứng tỏ rằng khi m thay đổi và hệ phơng trình I có nghiệm duy nhất x; y thì điểm Mx;y luôn thuộc một đờng thẳng cố định.
Trang 1Phòng GD-ĐT lục ngạn Đề thi chọn học sinh giỏi
Năm học: 2008 -2009 Môn : Toán lớp 9
(Thời gian làm bài 150 phút)
Bài 1 (2,0 điểm)
a)Rút gọn: A = 4 7 4 7
b) Rút gọn biểu thức: 2 3 3
2
1 1 (1 ) (1 )
2 1
M
x
Bài 2 (3,0 điểm)
a) Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình :
x2 2y2 xy x 4y 12 0
b) Cho hệ phơng trình: (I) 2 1
( 1) 2
mx my m
x m y
(Với m là tham số) b.1/ Tìm các giá trị của m để hệ phơng trình (I) có nghiệm duy nhất
b.2/ Chứng tỏ rằng khi m thay đổi và hệ phơng trình (I) có nghiệm duy nhất (x; y) thì điểm M(x;y) luôn thuộc một đờng thẳng cố định
Bài 3 (2,0 điểm)
a) Vẽ đồ thị hàm số: y = x 1 x 3 b) Dựa vào đồ thị hàm số vừa vẽ ở câu a Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A = x 1 x 3
Bài 4 (2 điểm)
Cho tam giác ABC có AB = c; AC = b; BC = a, phân giác AD
a) Chứng minh hệ thức AD2 = AB.AC – BD.DC b) Tính độ dài phân giác AD ?
Bài 5 (1 điểm) Cho điểm I nằm trong đờng tròn (O; 50 cm); OI = 14 cm Có bao
nhiêu dây của đờng tròn này đi qua I mà độ dài của nó là một số tự nhiên ?
Họ và tên thí sinh:………
Số báo danh: ………
Hớng dẫn chấm Bài thi chọn học sinh giỏi lớp 9
Môn: Toán Năm học: 2008 -2009
Bài 1: (2,0 điểm)
a) A =
2
) 7 4 ( 2 2
) 7 4 (
(0,25 điểm)
Đề chính thức
Phòng GD lục ngạn
Trang 2=
2
) 1 7
2
) 1 7
2
1 7 1 7
( 0,25 điểm)
b) * ĐKXĐ: 1 x 1
2
1 1 ( (1 ) (1 ) )
2 1
M
x
2
2.
M
x
( 02,5 điểm)
2
2 2 (1 )(1 ) ( 1 1 )(1 1 (1 )(1 ))
2 1
x
2
1 2 (1 )(1 ) 1 ( 1 1 )(2 (1 )(1 ))
2 1
x
( 0,25 điểm)
2 ( 1 x 1 x) ( 1 x 1 x)
1 x 1 x ( 1 x 1 x)
( 0,25 điểm)
( 1 x 1 x)( 1 x 1 x) (1 x) (1 x) 2x
2 2
M x x ( 0,25 điểm) Bài 2: (3,0 điểm)
Câu a)
Ta có: 4x2- 8y2+4xy – 4x + 16 y – 48 = 0
(2x + y)2 – 9 y2 – 4x + 16 y – 48 = 0
(2x + y)2 – 2.(2x + y) + 1 – 9y2 + 18y – 49 = 0
(2x + y – 1)2 – 9(y - 1)2 = 40
(2x + y – 1 – 3y + 3 ).(2x + y – 1 +3y - 3) = 40
(2x - 2y + 2).(2x + 4y - 4) = 40
(x – y +1).(x + 2y - 2) = 10 ( 0,75 điểm)
Vì x y Z,
nên x 2y 2> 0 và x 2y 2x y 1, mà 10 = 1.10 = 2.5 Nên ta có bảng:
2 2
1
2
KL: Tập hợp các nghiệm của phơng trình là (x,y)(4; 4),(3, 2)
(Lập bảng và kết luận nghiệm đúng cho 0,75 điểm)
Câu b.
b.1) Ta có: (I) 2 1
( 1) 2
mx my m
x m y
m m y my m
mx my m
Trang 3 2 ( 1) 2 1 2 ( 1)
.( 1) 1 (1)
2 ( 1)
m m y m
(0,5 điểm)
Hệ phơng trình (I) có nghiệm duy nhất Phơng trình (1) có nghiệm duy nhất m(m – 1) 0 0
1
m m
(*) ( 0,5 điểm)
b.2) Khi 0
1
m
m
ta có hệ (I) có nghiệm duy nhất (x; y) = (1- 1
m;
1
m)
Ta thấy y = - x + 1 => Khi m thay đổi thì M(x; y) luôn nằm trên đờng thẳng cố định y
= - x + 1 ( 0,5 điểm)
Bài 3: (2,0 điểm)
a) Ta có:
4 2 (x < 1)
2 (1 x 3)
2 4 (x > 3)
x y
x
(0,25 điểm)
Vẽ đúng đồ thị: (1 điểm)
b) Căn cứ vào đồ thị trên ta thấy: A 2 với mọi x
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 2 đạt đợc khi 1 x 3 (0,75 điểm)
Bài 4:(2 điểm)
Vẽ đờng tròn tâm O ngoại tiếp ABC
Gọi E là giao điểm của AD và (O)
a) Ta có : ABD ~ CED (g –g)
CD
AD ED
BD
AD.ED = BD.CD AD(AE – AD) = BD.CD
AD2 = AD.AE – BD.CD (1) (0,5 điểm)
Lại có: ABD ~ AEC (g –g)
AC
AD AE
AB
AB.AC = AD.AE (2)
Từ (1) và (2) suy ra: AD2 = AB.AC – BD.DC (0,5 điểm)
b) Vì AD là phân giác
CA
BA DC
DB
b
DC c
DB
c b
a b
c
DC DB
(0,25 điểm)
DB =
c b
ac
và DC =
c b
ab
(0,25 điểm)
AD2 = bc - 2
2
)
bc a
(0,25 điểm)
Bài 5:(1 điểm)
Gọi AB là dây bất kỳ đi qua I Ta có:
AB 2.R = 2.50 = 100 (1) (0,25 điểm)
2
1
2
3
4
4
O
A
B N
M
I O
A
B
C
E D
Trang 4Kẻ dây MN OI tại I.
Chỉ ra đợc:
AB MN
Mà MN = ON2 IO2 50 2 14 2 48
Vậy AB 48 cm (2) (0,25 điểm)
Từ (1) và (2) ta có: 48 AB 100
Mà độ dài AB là số tự nhiên => AB = 48; 49; 50; … 100 (0,25 điểm)
Lại do một dây bất kỳ bao giờ cũng có một dây đối xứng với nó qua OI (Trừ dây đi qua O và dây vuông góc với OI)
Vậy có tất cả 51.2 + 2 = 104 dây có độ dài là số tự nhiên (0,25 điểm)
………