2H3 4 08 3

Diện tích thiết diện nhỏ nhất khi và chỉ khi r nhỏ nhất, điều này tương đương với IH lớn nhất.

Câu 1 [2H3-4.8-3] (THPT LÝ THƯỜNG KIỆT – HÀ NỘI) Trong không gian với hệ trục tọa độ

Oxyz, cho mặt cầu ( ) ( ) (2 ) ( )2 2

S x − + − y + − z = và các điểm A ( 1;0;2 , ) ( B − 1;2;2 ) Gọi ( ) P là mặt phẳng đi qua 2 điểm A B , sao cho thiết diện của ( ) P với mặt cầu ( ) S có diện

tích nhỏ nhất Khi viết phương trình ( ) P dưới dạng ( ) P ax by cz : + + + = 3 0 thì T a b c = + +

bằng

Lời giải Chọn B

Mặt cầu ( ) S có tâm I ( 1;2;3 ) Gọi H K , lần lượt là hình chiếu vuông góc của I trên ( ) P và

đường thẳng AB , r là bán kính của đường tròn giao tuyến của ( ) S và ( ) P

Ta có r = R IH2− 2 = 16 − IH2.

Diện tích thiết diện nhỏ nhất khi và chỉ khi r nhỏ nhất, điều này tương đương với IH lớn nhất

Ta lại có, IH IK ≤ , (IK không đổi), do đó IHmax = ⇔ ≡ ⇔ IK H K ( ) P đi qua K và nhận

IK

uur

là một véc tơ pháp tuyến

Phương trình

1

2

z

= +





 =



¡

Điểm K AB ∈ nên K ( 1 , ;2 + − t t ) , suy ra

IK = − − − t t

uur

Do IK AB ⊥ nên IK u uur r AB = ⇔ + + = ⇔ = − 0 t t 2 0 t 1, suy ra K ( 0;1;2 )

Mặt phẳng ( ) P đi qua K ( 0;1;2 ) và nhận véc tơ IK uur = − − − ( 1; 1; 1 ) là véc tơ pháp tuyến nên phương trình ( ) P là: − − − − − − = ⇔ − − − + = ( ) ( ) ( ) x 0 y 1 z 2 0 x y z 3 0.

Do đó a = − = − = − 1, b 1, c 1, suy ra T = − 3