Mặt phẳng chứa d và cắt S theo một đường tròn có bán kính nhỏ nhất có phương trình là A.. Gọi P là mặt phẳng chứa đường thẳng d và cắt mặt cầu S theo đường tròn có bán kính r.
Trang 1Câu 1 [2H3-4.12-3] (Lê Quý Đôn Điện Biên Lần 3) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu
( ) ( )2 2 2
( ) : S x − 3 + − + = y 1 z 4 và đường thẳng
1 2 : 1 ,( )
z t
= +
= − + ∈
= −
¡
Mặt phẳng chứa d và cắt ( ) S theo một đường tròn có bán kính nhỏ nhất có phương trình là
A y z + + = 1 0 B x y z + + + = 3 5 2 0
C x y − − = 2 3 0 D 3 2 4 8 0 x y z − − − =
Lời giải
Tác giả: Đàm Văn Thượng ; Fb:Thượng Đàm
Chọn A
Mặt cầu ( ) S có tâm I ( 3;1;0 ) và bán kính R = 2
Gọi H là hình chiếu của I trên d
( 1 2 ; 1 ; )
H d ∈ ⇔ H + − + − t t t ; IH uur = − + − + − ( 2 2 ; 2 ; t t t ) .
Véctơ chỉ phương của d là u uurd = ( 2;1; 1 − ) .
. d 0
IH u =
uur uur
2 2 2 t 1 2 t t 0
⇔ − + + − + + = ⇔ = t 1 Suy ra H ( 3;0; 1 − ) ⇒ IH = 2 Gọi ( ) P là mặt phẳng chứa đường thẳng d và cắt mặt cầu ( ) S theo đường tròn có bán kính r
Mà d I P ( , ( ) ) ≤ IH = 2 nên ( ( ) ) 2 ( )2
2
Suy ra minr = 2, đạt được khi IH ⊥ ( ) P
Khi đó mặt phẳng ( ) P đi qua H ( 3;0; 1 − ) nhận IH uur = − − ( 0; 1; 1 ) làm một véctơ pháp tuyến.
Phương trình mặt phẳng ( ) P là: 0 ( ) ( x − − 3 1 y − − 0 1 ) ( ) z + = 1 0 ⇔ + + = y z 1 0