7 HDG TIẾP TUYẾN ĐỒ THỊ d1 2

Tài liệu luôn hẳn là công cụ phục vụ tốt nhất cho công việc giảng dạy cũng như nghiên cứu của các nhà khoa học nhà giáo cũng như các em học sinh , sinh viên . Một con người có năng lực tốt để chưa hẳn đã thành công đôi khi một con người khác năng lực thấp hơn một chút lại có hướng đi tốt lại tìm đến thành công nhanh hơn trong khi con người có năng lực kia vẫn loay hay tìm lối đi cho chính mình . Tài liệu là một kim chỉ nang cho chúng ta một hướng đi tốt nhất đến với kết quả nhanh nhất . Tôi xin đóng góp một chút vào kho tàng tài liệu của trang , mọi người cũng có thể tham khảo đánh giá và góp ý để bản thân tôi có động lực đóng góp nhiều hơn những tài liệu mà tôi đã sưu tầm được và up lên ở trang.

Trang 1

BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN, SỰ TIẾP XÚC DẠNG 1: CÁC BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN (KHÔNG THAM SỐ)

Câu 1: Cho hàm số

2 1

2 2

x y x





 có đồ thị là (C) Gọi M x y 0; 0 (với x0  ) là điểm thuộc (C), biết tiếp1

tuyến của (C) tại M cắt tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại A và B sao cho

S 

C

13.4

S 

D S 2.

Hướng dẫn giải Chọn A

53

38

Ta có: y�3x22018.

Trang 2

Phương trình tiếp tuyến  với k  C

tại M x y k k; k

: y3x k22018 x x k x k3 2018x k

.Phương trình hoành độ giao điểm của  k và  C

là cấp số nhân với công bội q  , 2 x1 1  2017

Câu 3: Cho hàm số y  x3 3x2 Tìm trên đường thẳng 2  d :y2 các điểm mà từ đó kẻ được 3

tiếp tuyến phân biệt với đồ thị

A M m ;2�d với

51

32

Gọi M m( ; 2) ( )�d

Phương trình đường thẳng  đi qua điểm M có dạng: yk x m(  ) 2 .

 là tiếp tuyến của  C  hệ phương trình sau có nghiệm x:

2

(x2) 2�x (3m1)x2�0

� � � x hoặc 2 f x( ) 2 x2(3m1)x 2 0 3 .

Trang 3

Từ M kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị  C �

32

x y x

y  x

và

154

y  x

Hướng dẫn giải Chọn B

Gọi M x y( ; )0 0 là tiếp điểm Phương trình tiếp tuyến  tại M

0 0 2

0 0

2 1

1 ( )

1( 1)

x

x x

Gọi H là hình chiếu của I lên  Ta có ( , )d I  IH

Trong tam giác vuông IAB ta có: 2 2 2

2

IA IB

IH  IA IB � Suy ra IH � 2 Đẳng thức xảy ra � IA IB .

Từ đó ta tìm được tiếp tuyến là:

Câu 5: Cho hàm số y x 4 2x2 , có đồ thị là 3  C Tìm trên đồ thị  C điểm B mà tiếp tuyến với

 C tại điểm đó song song với tiếp tuyến với  C tại điểm A 1;2 .

Phương trình tiếp tuyến của  C

 tại M cắt các đường tiệm cận tại hai điểm phân

biệt ,A B Tìm tọa độ điểm M sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IABcó diện tích nhỏ

nhất, với I là giao điểm hai tiệm cận

A

54;

3

M� ��

� �

Trang 4

C M 1;1 M 3;3

D M 1;1

51;

3

M�� ��

Hướng dẫn giải Chọn C

2 31

22

x

x x

2

x A x

� �B x2 02;2

Dễ thấy M là trung điểm AB và I 2;2

là giao điểm hai đường tiệm cận

Tam giác IABvuông tại I nên đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích

thỏa mãn bài toán

Bài toán có thể mở rộng : Tìm những điểm trên  C

có hoành độ x sao cho tiếp tuyến tại đó 2tạo với hai đường tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất

HD: theo trên ta có : 0  

0 0

Câu 7: Cho hàm số y x   Tìm trên đường thẳng 3 3x 2 d y:  4 các điểm mà từ đó kẻ được đúng 2

tiếp tuyến với  C

A ( 1; 4) ;

2

; 43

 ;4

Trang 5

 là tiếp tuyến của  C  hệ phương trình sau có nghiệm x:

Theo bài toán � * có nghiệm x, đồng thời  2

có 2 giá trị k khác nhau, tức là phương trình

 3 có nghiệm x phân biệt thỏa mãn 2 giá trị k khác nhau.

+ TH1:  4 có 2 nghiệm phân biệt, trong đó có 1 nghiệm bằng 1 �m 1.

+ TH2:  4

có nghiệm kép khác

21

3

m

 �  

hoặc m 2Vậy các điểm cần tìm là: ( 1; 4) ;

2

; 43

kẻ được 4 tiếp tuyến đến đồ thị  C

khi và chỉ khi phương trình  *

có 4nghiệm phân biệt

Đặt X x02 ta có phương trình 3X22X m  0 ** 

Phương trình  *

có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi  **

có 2 nghiệm phân biệt

m m

Trang 6

Vậy từ những điểm M0;m với 0 m 13

kẻ được 4 tiếp tuyến đến đồ thị  C của hàm số đã

cho

22

x y x



 có đồ thị  C

và điểm M x y 0; 0  �C x0 �0

Biết rằng khoảng cách

từ I2;2 đến tiếp tuyến của  C

tại M là lớn nhất, mệnh đề nào sau đây đúng?

A 2x0y0   4 B 2x0y0  2 C 2x0y0   2 D 2x0y0  0

tại M có dạng d y: y x�  0 x x 0y0.

Ta có M x y 0; 0  �C 0 0

0

22

x y

y x

�

  0  2

0

42

24

22

x

x x

16 8

2 16

x x

04

x x



�

� �  �Bài ra x0 � nên 0 x0  4�y0 4�2x0 y0  4.

Câu 10: Tiếp tuyến tại điểm cực tiểu của đồ thị hàm số

1

2 3 53

y x  x  x

A Song song với trục hoành B Có hệ số góc bằng 1

C Song song với đường thẳng x 1 D Có hệ số góc dương.

Ta có y�x24x , 3

10

3

x y

x



�

� � �� Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là 3; 5 .

Suy ra tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm cực tiểu có phương trình là y   5

Chú ý: Gọi x là điểm cực trị của hàm số Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm cực trị của đồ 0

thị hàm số có hệ số góc là k  y x� 0  0 nên tiếp tuyến luôn song song (hoặc trùng) với trục hoành

Trang 7

22

x y x



 có đồ thị  C

Giả sử tồn tại phương trình tiếp tuyến của  C

, biếtkhoảng cách từ tâm đối xứng đến tiếp tuyến lớn nhất, thì hoành độ tiếp điểm lúc này là:

A x01,x0 3. B x00,x0 3. C x01,x0 4. D x00,x0 4.

Hướng dẫn giải Chọn D

Hàm số xác định với mọi x� 2

Ta có: 2

4'

( 2)

y x



Gọi M x y( ; ) ( )0 0 �C Tiếp tuyến  của  C

24

5 8:

3

5 128:

5 1:

9 81

y x y

5 128:

Phương trình đường thẳng ∆ đi qua A với hệ số góc k có dạng:

4 4

9 3

y k x �� ��

Trang 8

x y x





 có đồ thị là  C

Viết phương trình tiếp tuyến của  C

, biết tiếp tuyếntạo với hai tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất

y  x

và

114

0 0 2

0 0

2 1

1 ( )

1( 1)

x

x x

2(1; ),

1

x A

x  cắt đường tiệm cận ngang tại B x(2 01;2)

Tâm đối xứng (1;2)I

Suy ra

0 0

biết tiếp tuyến

đi qua gốc tọa độ

Trang 9

Gọi A x y 0; 0  �C .Phương trình tiếp tuyến  t của  C tại A là:

x y x

cắt hai đường tiệm cận của  C

tại hai điểm A, B Giá trị nhỏ nhất của chu viđường tròn ngoại tiếp tam giác IAB bằng

Trang 10

Tập xác định: D �\ 2 ;  2

42

y x

24

:

22

x

x x

Tiếp tuyến của  C

cắt hai đường tiệm cận của  C

tại hai điểm A, B nên

0 0

12;

2

x A x

Chu vi bé nhất khi AB nhỏ nhất

Ta có

0 0

x y x





, biết tiếp tuyếntạo với hai tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất

A : y   và :x 3  y   x 2 B : y   và :x 1  y   x 17

C : y   và :x 1  y   x 7 D : y   và :x 21  y   x 7

Hàm số xác định với mọi x � 1

Ta có: 2

4'

( 1)

y x





Tiệm cận đứng: x ; tiệm cận ngang: 1 y ; tâm đối xứng (1;2)2 I

Gọi M x y( ; )0 0 là tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của  C

:

Trang 11

0 0 2

0 0

2 24

1( 1)

x

x x

0

0 0

0 2

0 0

2: 2 4 ( ) 2 2 (2 1;2)

1( 1)

y

x x

Giả sử  là tiếp tuyến tiếp xúc với  C

tại hai điểm phân biệt

Trang 12

Tìm những điểm N trên đường thẳng  d :y3 để

từ N kẻ được 4 tiếp tuyến đến  C

A N n ;3 ,n 2. B N n ;3 , n  13.

C N n ;3 , n  3. D N n ;3 ,n 3.

nghiệm phân biệt �  ' 4n212 0 �n2 3 0� n  3 Vậy từ những điểm N trên

đường thẳng y3 với n  3 kẻ được 4 tiếp tuyến đến đồ thị  C

của hàm số đã cho

2 11

x y x

Phương pháp tự luận

Ta có  2

31

y x

�

Trang 13

2 13

0 2 0

tại giao điểmcủa  C

với trục tung

A y2x 1 B y   2x 1 C y   3x 2 D y3x 2

Ta có:  C �Oy A0; 2 ; y� 0 3.

Tiếp tuyến tại A0; 2  có dạng: y3x  0 2 3x2.

2 32

x y x





Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M thuộc  C

biết tiếp tuyến đó cắt tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại A,Bsao cho côsin góc �ABI

I 2; 2

, gọi

0 0 0

0 0

2( 2)

x

x x



Trang 14

Giao điểm của  với các tiệm cận:

0 0

2 22;

2

x A x

Gọi M x y 0; 0

là điểm nằm trên đồ thị hàm số , 0

12

x 

, tiệm cận ngang: y2

Gọi A là giao điểm của tiếp tuyến với tiệm cận đứng

12

;

2 2 1

x A

4 310

Trang 15

21

x y x





 có đồ thị  C Gọi d là khoảng cách từ giao điểm I của hai tiệm cận của

đồ thị  C đến một tiếp tuyến tùy ý của đồ thị  C Khi đó giá trị lớn nhất của d có thể đạt được

là

Ta có I1;1  2

1'

1

y x

2

;1

x y x





 có đồ thị  C Một tiếp tuyến của  C cắt hai tiệm cận của  C tại hai

điểm A, B và AB2 2 Hệ số góc của tiếp tuyến đó bằng

12

 D 1

Ta có  2

12

y x

22

x x

Trang 16

Theo đề bài ta có AB2 2 nên  2 2  2 0

0 0

32

12

x

x x

Vậy hệ số góc của tiếp tuyến là k 1.

Câu 26: Cho hàm số y x 42x2 , có đồ thị là 3  C Tìm trên đường thẳng y2 những điểm mà qua

đó ta kẻ được 4 tiếp tuyến phân biệt với đồ thị  C .

x   �k  k , do đó không thể tồn tại 4 giá trị k khác nhau để thỏa bài

toán Tóm lại, không có tọa độ M thỏa bài toán

Câu 27: Trong 3 đường thẳng  d1 :y7x9,  d2 :y5x29,  d3 :y  5x 5 có bao nhiêu đường

thẳng là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x 3 3x22x 4

x x x x

là tiếp tuyến của đồ thị

+ Xét  d2 :y5x29.

 d2

là tiếp tuyến của đồ thị khi hệ phương trình sau có nghiệm

Trang 17

3 303

x x x

x x

 

�

� � 

� � x 1.Vậy  d3

là tiếp tuyến của đồ thị

Câu 28: Viết phương trình tiếp tuyến của  C : y  x4 4x2 đi qua điểm cực tiểu của đồ thị.3

A y  ;3

16 5y

Điểm cực tiểu của  C

x  �

Với x00 thì phương trình d: y 3

Với 0

23

x  

thì phương trình d:

16 59y

x 

thì phương trình d:

16 59y

cắt Oy ở A và có đúng hai điểm chung

với trục Ox là M và N Tiếp tuyển với đồ thị tại M đi qua A Tìm ; ;a b c để S AMN 1.

A a4,b5,c 2. B a4,b5,c2.

C a 4,b6,c  2 D a 4,b5,c  2

Hướng dẫn giải

Trang 18

Chọn D

Giả sử  C

cắt Ox tại M m( ;0) và ( ;0)N n cắt Oy tại (0; ) A c Tiếp tuyến tại M có phương trình: y(3m22am b x m )(  ).

Tiếp tuyến đi qua A nên ta có: 3m32am bm c2  0

Mà  C cắt Ox tại hai điểm nên  C tiếp xúc với Ox

Nếu M là tiếp điểm thì suy ra Ox đi qua A vô lí nên ta có  C tiếp xúc

x y x



 có đồ thị là  C

Tìm trên đường thẳng yx những điểm mà từ đó có thể

kẻ được 2 tiếp tuyến đến  C

, đồng thời 2 tiếp tuyến đó vuông góc với nhau

A m  �6 23. B m  �5 23. C m  � 5 3 D m  �5 53.

0 0

2

2 0

22

2 82

Trang 19

M  .

A y ;3 y  3x B y ;13 y  3x

C y ;3 y   3x 1 D y  ;3x 1 y  3x

Ta có

2 2

2( 1)

y x

x  �

Phương trình tiếp tuyến y  3x

Cách 2: Gọi d là đường thẳng đi qua M( 1;3) , có hệ số góc k , khi đó phương trình d có dạng:( 1) 3

2

2 0

1( 1) 3 (1)1

2

(2)( 1)

x x

k x x

k x

Trang 20

A

234

S 

174

S 

Ta có  2

2

2 2

y x

1;

1

x A x

� ��  ��, B  �d2�B x2 01;1 IBuur2x02;0, 0

10;

Tiếp tuyến  d của  C vuông góc đường thẳng y43x1

suy ra phương trình  d có dạng :

34

y  x m

Trang 21

 d

tiếp xúc  C

tại điểm có hoành độ x khi hệ 0

2 0

0 0

2

2 0

y� x

55

y� x

515

y� x

Hướng dẫn giải

Chọn C

Phương trình tiếp tuyến d có dạng : y4 (x x x03  0)x04 1 4x x03 3x04 trong đó 1 x là 0

hoành độ tiếp điểm của d với  C

A là giao điểm của d với trục Ox �

4 0 3 0

;04

x A x

(3 1)1

S 8

x x

Trang 22

- 0 +

+

0

f(x 0 ) f'(x 0 )

x 0

Từ bảng biến thiên suy ra 0 4

64min ( )

5 5

f x 

đạt được khi và chỉ khi 0 4

15

x 

Suy ra 4

8minS

5 5

4

15

y� x

3 2

, gọi đồ thị của hàm số là  C Gọi M là một điểm thuộc

 C có khoảng cách từ M đến trục hoành bằng hai lần khoảng cách từ M đến trục tung, M không trùng với gốc tọa độ O Viết phương trình tiếp tuyến của  C tại M .

A y  12 B y  8 C y  9 D y  64

Trang 23

tại M là y  8

4 2

Phương trình tiếp tuyến  d

I I

So với điều kiện (*) nhận a 0

Câu 37: Gọi S là tập hợp các điểm thuộc đường thẳng y  mà qua mỗi điểm thuộc S đều kẻ được hai2

tiếp tuyến phân biệt tới đồ thị hàm số

2

1

x y x



 đồng thời hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau.

Tính tổng hoành độ T của tất cả các điểm thuộc S

2

11

Trang 24

Điều kiện tiếp xúc:

2

2 2

21

x

k x a x

k x

a a



�

�  

�Vậy tổng hai hoành độ là: 2

2

11

y x

 



 có đồ thị  C

đi qua giao điểmhai đường tiệm cận của  C

A Không tồn tại B y  3x 2 C y4x 3 D y2x 1

Ta có

2 2

2( 1)

y x

là đường thẳng đi qua I , có hệ số góc k �d y k x:  (  1) 1.

 d tiếp xúc với đồ thị tại điểm có hoành độ x khi hệ 0

2

0 0

2

2 0

1( 1) 11

2( 1)

x x

k x x

k x

� (phương trình vô nghiệm).

Vậy không có tiếp tuyến nào đi qua I

3 2

, gọi đồ thị của hàm số là  C Viết phương trình tiếp tuyến

của  C đi qua điểm A2; 2 .

Trang 25

Phương trình tiếp tuyến  d

0 0

2

2 0

( 2) 2 (1)2

4(2 )

x

k x x

k x

4( 2) 2

 



 có đồ thị  C

, biết tiếp tuyếnsong song với đường thẳng : 3 x4y  1 0

y x

334

y x

;

374

Ta có

2 2

2( 1)

y x

Tiệm cận đứng của đồ thị  C là: x 1

Tiệm cận ngang của đồ thị  C là: y 1

Ta có  2

31

y x



�

Trang 26

Tiếp tuyến với  C tại M 2;5 là: y y�  2 x 2 5  2 

Gọi E là giao điểm của tiếp tuyến với tiệm cận đứng suy ra E 1;8 .

Gọi F là giao điểm của tiếp tuyến với tiệm cận ngang suy ra F 3; 2 .





 Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận của đồ thị hàm số Khoảng cách từ

I đến tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho đạt giá trị lớn nhất bằng

12

d 

Tọa độ giao điểm

1

;

2 3

x x x

1

;

2 3

x x x

11

(Theo bất đẳng thức Cô si)

Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi  2 0 0

x y x

y x

và tiếp điểm có hoành độ dương

A y   3x 2 B y   3x 10 C y   3x 2 D y   3x 6

Gọi x là hoành độ tiếp điểm 0 x0 0.

Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng

153

y x

nên ta có: y x�   3

Trang 27

 2 0

3

31

x x



�

� � � (loa�i) � x0 2� y0 4.Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y 3x 2 4    3x 10

Câu 44: Cho hàm số 2 11

x y x





 có đồ thị là  C Gọi điểm M x y 0; 0 với x0  1 là điểm thuộc

 C ,

biết tiếp tuyến của  C

tại điểm Mcắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt



72

2 10;

y x

Trang 28

- Ta có :  2

11

x x

y x

41

x x

Phương trình tiếp tuyến của  C tại điểm M a f a ;    có dạng

y f a  f a x a�  � y f a x a�     f a .

2 11

x y x





 có đồ thị là  C Tìm điểm M thuộc  C sao cho tiếp tuyến của  C tại

M vuông góc với IM , I là tâm đối xứng của  C .

A y  x 1,y   x 4 B y  x 3,y   x 5

C y  x 1,y   x 3 D y  x 1,y   x 5

0 0 2

0 0

1

1( 1)

x

x x

Trang 29

21

x y x

Lại có  2

11

y x



�

 � y� 0  1�d y:   x 2.

Câu 49: Cho hàm số xác định và có đạo hàm trên � thỏa mãn Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị

hàm số tại điểm có hoành độ bằng 1

4f 1 2  x f�1 2 x  1 3��f 1x ��f�1x

.Cho x ta có 0 4ab 1 3a b2 .

 Xét a thay vào 0 4ab 1 3a b2 vô lý.

 Xét a  thay vào 4 1 31   b b

17

2

3 1

y� x 

Dựa vào các đáp án, ta xét đường thẳng d có dạng y kx  1

d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số � hệ phương trình

Trang 30

2 32

x y x





 có đồ thị  C Biết rằng tiếp tuyến tại một điểm M bất kỳ của  C luôn

cắt hai tiệm cận của  C

tại A và B Độ dài ngắn nhất của đoạn thẳng AB là

m m

A d có hệ số góc dương B d song song với đường thẳng y=3

C d song song với đường thẳng x =3 D d có hệ số góc âm

.Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x= 4- 3x2+ có hệ số góc: 2 k y' 0  0

.Vậy phương trình tiếp tuyến d là: y2 Suy ra d song song với đường thẳng y= 3

Câu 53: Cho hàm số y x 42x2 có đồ thị 1  C

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị  C

tại M 1; 4là:

A y x 3. B y 8x 4. C y  8x 12. D y 8x 4.

Trang 31

tiếp xúc với Ox tại điểm có hoành độ x  1

Câu 55: Gọi M là giao điểm của trục tung với đồ thị hàm số  C y:  x2 x 1 Tiếp tuyến của  C

tại

M có phương trình là

A

112

y x

112

y  x

C y   x 1 D y x  1

Ta có 2

x y

y y

x y x

từ tâm đối xứng của đồ thị  C

đến  bằng?

23

11

x

x x

51;

1

x A x

Trang 32

Ta có

0 0

và d d là hai tiếp tuyến của 1, 2  C

song song với nhau Khoảng cáchlớn nhất giữa d1 và d2là

d d là hai tiếp tuyến của  C

song song với nhau lần lượt có các hoành độ tiếp điểm là

1

;2

11

d d d

x x



Trang 33

Câu 58: Cho hàm số y f x  xác định và có đạo hàm trên � thỏa mãn   2   3

Đạo hàm: y�3x2 Suy ra: 4 y� 2 8 Ta có: y 2 1.

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y8x 2 1� y8x15.

2

A� ��

� � và tiếpxúc với đồ thị  C .

A

3:2

3: 2 2

23: 2 2

3

23

21: 2

3

23: 2

Định dạng
Số trang	66
Dung lượng	4,46 MB
File đính kèm	7.0 LÝ THUYẾT CHUNG.rar (64 KB)