CHỦ ĐỀ 1LẬP PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ KHI BIẾT TIẾP ĐIỂM Nếutiếp điểm của tiếp tuyếncủa đồ thị hàm số y=f x là Mx0, y0thì phương trìnhtiếp tuyến là d : y− y0=y ' x0x −x0
Trang 1CHỦ ĐỀ 1
LẬP PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ KHI BIẾT TIẾP ĐIỂM
Nếutiếp điểm của tiếp tuyếncủa đồ thị hàm số y=f ( x )là M(x0, y0)thì phương trìnhtiếp tuyến
là( d ): y− y0=y '
(x0)(x −x0)
CHỦ ĐỀ 2 VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM PHÂN THỨC KHÔNG SỬ DỤNG KHÁI NIỆM
NGHIỆM KÉP
Cho hàm số (C ): y= a x2+bx +c
dx +e (bd ≠ 0 tử và mẫu không có nghiệm chung ) Hãy tìmđiều kiện
để đường thẳng(d ) : y=kx +m làtiếp tuyến của đồ thị (C)
Giải:
Viết lại hàm số dưới dạng y=f ( x)=α+ β+ dγ
dx +e Đường thẳng(d ) làtiếp tuyến của đồ thị hàm số (C ) khihệ sau có nghiệm
{α x +β+ γ
dx +e=kx +m(1)
α− d γ
dx+e=k (2)
Tacó :
1
dx+ e=
1
2 γ(−d ke+
eα
d +m−β)(3)
Thay (3 ) vào (2) được f (k )= A k2+Bk +C=0
CHỦ ĐỀ3
LẬP PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ KHI BIẾT HỆ SỐ GÓC CỦA TIẾP TUYẾN Nếu chiềudương của trục Ox lậpvới đường thẳngmột góc α thì hệ số góc của đường thẳnglà tanα
BÀI TOÁN 1 :Viết phương trình tiếp tuyếncủa đồ thị (C ) biết hệ số góc của tiếp tuyếnk
Phương trình tiếp tuyếnvới hệ số góc k có dạng ( d ): y=kx+b
BÀI TOÁN 2 : Nếuđồ thị hàm số y=f ( x )= u (x )
v ( x) cắt trục hoành tại x=x0thì hệ số góc củatiếp tuyế n t ại x=x0là k= u
'
(x0)
v (x0)
Trang 2BÀI TOÁN 3 :Chứng minh rằng tiếp tuyến tại điểmuốn của đồ thị hàmsố y =a x3+b x2+cx +d
(a ≠ 0) có hệ số góc nhỏ nhất nếu a> 0 và hệ số góc lớn nhất nếu a<0 trong các tiếptuyến
của đồ thị
y '=3 a x2+2bx +c
Với a>0 thì k min=3 ac−b2
3 a đạt được khi x0=−b
3 a
Với a<0 thì k max=3 ac−b2
3 a đạt được khi x0=
−b
3 a
CHỦ ĐỀ 4
LẬPTIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ KHI BIẾT MỘT ĐIỂM THUỘC TIẾPTUYẾN
BÀI TOÁN 1 :Viết phương trình tiếp tuyếnvới đồ thị (C ) đi qua A (x A , y A)
Phương trình (d ) điqua A(x A , y A)có dạng:
y=k(x−x A)+y A
Tham số k được suy ra từ điềukiện (d )tiếp xúc với đồ thị
Điều k iệnđể d l à ti ế p tuy ế n c ủa h àm s ố l à h ệ sauc ó nghi ệm
{k(x−x A)+y A=f (x)
k=f '(x)
BÀI TOÁN 2 :Cho hàmsố : y=f ( x )(C ) Tìm điểm A thỏamãntính chất K để từ đó kẻ được k tiếp tuyến tới đồ thị(C)
Bước 1:Tìm điểm A thỏa mãntính chất K , giả sử A(x0; y0)
Bước 2 :Phương trình đường thẳngđi qua A(x0, y0)với hệ số góc k có dạng :
(d ) : y=k(x −x A)+y A
Bước 3 : Đườngthẳng (d ) tiếp xúc với đồ thị (C ) khi hệ sau có nghiệm :
{f ( x )=k(x−x A)+y A(1)
f ' x=k (2)
Bước 4 :Thay vào (2) vào (1) ,được : f ( x )=f '(x )(x−x A)+y A
Bước 5 : Khi đó số nghiệm phân biệt của (3) làsố tiếp tuyến kẻ được từ A tới đồ thị (C ) Dođó để kẻ từ
A kẻ được k nghiệm phân biệt ↔ phương trình (3) có k nghiệm phân biệt ↔ điểm A
Trang 3CHỦ ĐỀ 5
GÓC GIỮA HAI TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ
BÀI TOÁN 1 :Góc giữa hai tiếp tuyếncủa đồ thị
1 Gọi k1,k2theo thứ tự làhệ số góc của các tiếp tuyến(d1),(d2)
2 Khi đó , gọiα=
^ (d¿¿1 , d2)thì :tanα=| k1−k2
1+k1 k2|¿
CHỦ ĐỀ6
TÍNH CHẤT ĐẶC TRƯNG CỦA TIẾP TUYẾN ĐƯỜNG HYPEBOL
BÀI TOÁN 1 :(Tính chất đặc trưng của tiếp tuyếnđường hypebol)
Tiếptuyến tại điểm M của hypebol: y=f ( x )(hàm phân thức bậc 2 trênbậc 1)luôn cắt 2 đường tiệm cậntại hai điểm phânbiệt A , Bthỏa mãn:
1 M làtrung điểm AB
2 Diệntích tam giácTAB , với I là giao điểm của 2 tiệmcận không phụ thuộc vào M
Giải:
Xác địnhcác giá trị :
−đạo hàm
−các đường tiệm cận
−tọa độ I
M ∈ ( H )↔ M(a , y ( a))và phương trình tiếp tuyếntại M có dạng :(d ) : y− y (a)= y '(a )( x−a)
Xác địnhtọađộ giao điểm A của tiếp tuyến(d ) và tiêm cậnthứ nhất
Xác nhậntọa độ giaođiểm B của tiếp tuyến(d ) và tiệm cận thứ hai
1 Nhận xét rằng x A+x B=2 xM
2 Diệntích tam giác IAB được xác địnhbởi :
S=1
2|y A−y I|.|x B−x I|=const