8 HDG điểm đặc biệt trên đồ thị hàm số

Tài liệu luôn hẳn là công cụ phục vụ tốt nhất cho công việc giảng dạy cũng như nghiên cứu của các nhà khoa học nhà giáo cũng như các em học sinh , sinh viên . Một con người có năng lực tốt để chưa hẳn đã thành công đôi khi một con người khác năng lực thấp hơn một chút lại có hướng đi tốt lại tìm đến thành công nhanh hơn trong khi con người có năng lực kia vẫn loay hay tìm lối đi cho chính mình . Tài liệu là một kim chỉ nang cho chúng ta một hướng đi tốt nhất đến với kết quả nhanh nhất . Tôi xin đóng góp một chút vào kho tàng tài liệu của trang , mọi người cũng có thể tham khảo đánh giá và góp ý để bản thân tôi có động lực đóng góp nhiều hơn những tài liệu mà tôi đã sưu tầm được và up lên ở trang.

Trang 1

ĐIÊM ĐẶC BIỆT CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ DẠNG 1: TÌM ĐIỂM THUỘC ĐỒ THỊ THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN

Câu 1 Gọi M a b ;

là điểm thuộc đồ thị hàm số

2 1 2

x y x





 và có khoảng cách từ M đến đường thẳng

d y x nhỏ nhất Tìm giá trị của biểu thức T 3a2b2.

Hướng dẫn giải Chọn B

10

a b

d M d  



suy ra d M d ; 

nhỏ nhất khi 3a b 6 nhỏ nhất.

a



Nếu a  thì 2 3 2 3 2 6 2 4

2

a

Nếu a  thì 2 3 2 3 2 3 2  3  2 6 2 8

Vậy d M d ; 

nhỏ nhất bằng 4 khi

1 1

a b

 

�

�  

� Vậy T 3a2b2 4.

Câu 2 Tọa độ điểm M thuộc đồ thị hàm số

3 1 1

x y x





 cách đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số một khoảng bằng 1 là

A 1;0 ; 2;7  . B   0;1 ; 2; 7  . C 0; 1 ; 2;7   . D 0; 1 ;  2;7.

Hướng dẫn giải Chọn C

Gọi  C

là đồ thị hàm số

3 1 1

x y x





 ;  C

có tiệm cận đứng x 1

1

m





� �, m� 1 Khoảng cách từ M tới đường tiệm cận đứng bằng

2

0

m



�

Vậy M0; 1  hoặc M 2;7

Câu 3 Tìm trên mỗi nhánh của đồ thị (C):

3

x y x





 các điểm M ; 1 M để độ dài 2 M M đạt giá trị nhỏ1 2

nhất, giá trị nhỏ nhất đó bằng:

Hướng dẫn giải Chọn A

Lấy

1 1

1

3 3;4

M x

x

2

3 3;4

M x

x

Trang 2

Khi đó 2  2

1 2

9 1

x x

Áp dụng bất đẳng thức Cô Si ta có  2

1

x x x x

Suy ra M M1 22 �24 M M1 2 2 6.

Độ dài M M đạt giá trị nhỏ nhất bẳng 2 6 khi 1 2

4

x x x

 

�

� 

�

1 2

3 3

x x

� 

�

� �

 

Câu 4. Cho hàm số

2 1 1

x y

x





 có đồ thị  C

, gọi d là tiếp tuyến của  C

tại tiếp điểm M 0;1

Tìm trên

 C

những điểm N có hoành độ lớn hơn 1 mà khoảng cách từ N đến d ngắn nhất.

A N 0;1

3

; 8 2

N ��  ��

� �.

Ta có:  2

3 1

y

x

�

 �y� 0 3

nên phương trình tiếp tuyến :y3x1�3x y  1 0. Gọi

2 1 , 1

n

N n

n



� � với n 1

Ta có:

2 2

2

3 1

,

1 10

n n

d N

n





 

vì n 1 Xét hàm số

  103n2 1

f n

n



 với n 1

Ta có:

  3 2 6 

f n

n



2

n

f n

n



�

Lập BBT suy ra min1;    6 10

5

f n

khi n 2 Vậy N2; 5 .

Câu 5 Cho hàm số

3

x y x





 có đồ thị  C

Biết đồ thị  C

có hai điểm phân biệt M , N và tổng

khoảng cách từ M hoặc N tới hai tiệm cận là nhỏ nhất Khi đó MN có giá trị bằng:

A MN 4 2. B MN  6 C MN 4 3. D MN 6 2.

Hướng dẫn giải Chọn D

3

m



- Tiệm cận đứng là: x , riệm cận ngang là: 3 y4.

Do đó tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là:

Trang 3

4 3

3

m



9 3

3

m

  



9

3

m

�

 Dấu ”= ” xảy ra khi và chỉ khi

9 3

3

m

 

�

3 3

m m

 

�

m m



�

� � �

 

6;7 0;1

M M



�

� �



� Một cách tương tự ta có các điểm

 

6;7 0;1

N N



�



Do M , N phân biệt nên MN 6 2.

Câu 6. Có bao nhiêu điểm M thỏa mãn: điểm M thuộc đồ thị  C

của hàm số

1 1

y

x



 sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận của hàm số là nhỏ nhất

1

a

có TCN là: y0, TCĐ là: x  1 Khi đó  ,   , 

1

a

Vậy có 2 điểm thỏa mãn

Câu 7. Có bao nhiêu điểm thuộc đồ thị hàm số y    cách giao điểm của đồ thị hàm số với trụcx3 3x 3

tung một khoảng bằng 17 ?

Gọi A là giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung suy ra A(0;3).

0, 0 3 0 3

là cần tìm Ta có:

2

x  x 

Vậy có hai điểm thỏa yêu cầu bài toán

2

x x y

x

 



 , điểm trên đồ thị mà tiếp tuyến tại đó lập với hai đường tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất thì có hoành độ bằng

A 2�410. B 2�412. C 2� 48 D 2� 46

Tập xác định D �\ 2 .

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x2� x 2 0.

Gọi tiệm cận xiên của đồ thị hàm số có dạng yax b .

Trang 4

Khi đó

 

lim

x

f x a

x

��

2

2 lim

2

x

x x

��

 





2

1 lim

2 1

x

��



2 2

1

2 1

x

��

Vậy tiệm cận xiên: y x 3.

Gọi M x y 0; 0

thuộc đồ thị hàm số.

2

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm M x y 0; 0

là

  0 0 0

y y x� x x y    

0 2

0 0

2 2

x x

�



Gọi A là giao điểm của tiếp tuyến với tiệm cận đứng

0 0

2;

2

x A x

Gọi B là giao điểm của tiếp tuyến với tiệm cận xiên �B x2 2; 2 x01

Giao của hai tiệm cận I 2;5

8 2

IA x



0

2

x

Chu vi

8

x x

Dấu bằng xảy ra � x2� 48

Câu 9 Cho  P y x:  2 và A��2;12�� Gọi M là một điểm bất kì thuộc  P

Khoảng cách MA bé nhất là

A

2

5

2 3

3 .

Ta có: M� P �M t t ; 2

, t ��.

4 4

f t   t t

  4 3 4

f t�  t 

� ;f t�  0�t 1.

Bảng biến thiên:

Trang 5

Suy ra: f t  �54

�

5 2

Vậy: Khoảng cách MA bé nhất bằng

5

2 khi M1;1.

Câu 10 Biết A x y A; A ,B x y B; B

là hai điểm thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị hàm số

4 1

x y x





 sao cho độ dài đoạn thẳng AB nhỏ nhất Tính P y2Ay B2 x x A B.

Đặt x A   1 t x; B   1 t t 0, khhi đó

Ta có

1 ;t ; 1 ; t

2

AB t

2 2

36

4t

t

2 2

36

2 4 t 2.2.6 2 6

�

Dấu bằng xảy ra khi t4 9�t 3, suy ra A 1 3;1 3 ; B  1 3;1 3

Câu 11. Khoảng cách nhỏ nhất giữa hai điểm bất kỳ thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị hàm số

2 1 1

x y

x





 là.

Ta có

2

x y



  và đồ thị có tiệm cận đứng x nên xét hai điểm 1

1

1 ; 2

a

1

1 ; 2

b

� � thuộc đồ thị hàm số, với a b; 0.

2 2

Đẳng thức xảy ra khi

2 2

1 4

4

a b



�

Trang 6

Vậy

 

0;1

2;3

A AB

B

�

Câu 12 Cho đồ thị  C

của hàm số

1

x y x





 Tọa độ điểm Mnằm trên  C

sao cho tổng khoảng cách

từ M đến hai tiệm cận của  C

nhỏ nhất là

A M0; 2  hoặc M 2;6

B M1;0 hoặc M 3;4

C M1;0 hoặc M0; 2 . D M 2;6

hoặc M 3; 4

Ta có tiệm cận đứng:x , tiệm cận ngang 1 y2.

Gọi M x y 0; 0  �C

với x0 �1thì

0 0

2

x y



Gọi A, B lần lượt là hình chiếu của M trên tiệm cận đứng và tiệm cận ngang

Ta có MA x01, 0

0

4 2

1

MB y

x

 .

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: MA MB �2 MA MB.

0

4

1

x

Do đó MA MB nhỏ nhất bằng 4 khi và chỉ khi

0

4 1

1

x

 



2

�

� �  � �  . Vậy có hai điểm cần tìm là M1;0 hoặc M 3;4

Câu 13 Biết A x y A; A

, B x y B; B

là hai điểm thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị hàm số:

1 1

x y x





 sao cho đoạn thẳng AB có độ dài nhỏ nhất Tính: P x 2Ax2By y A B.

A P 5 B P 5 2. C P 6 2. D P 6

Do A B, là hai điểm nằm ở hai nhánh khác nhau của đồ thị hàm số

1 1

x y x





 nên gọi 2

a



2

b



� � với a , b là hai số dương.

2 2

4 a b

AB a b

a b



2 2

4

a b



�

2 2

64

a b

�

16

 Dấu bằng xảy ra khi a b  2.

Suy ra A1 2;1 2

, B1 2;1 2

Vậy P x A2x B2 y y A B  5

Trang 7

2

x x y

x



 có đồ thị  C

Tổng khoảng cách từ một điểm M thuộc  C

đến hai hai trục tọa độ đạt giá trị nhỏ nhất bằng ?

A

3

1

Điểm

3 0, 2

� �

� � nằm trên trục Oy Khoảng cách từ M đến hai trục là

3 2

d =

Xét những điểm M có hoành độ lớn hơn

3 2

d x y 

�

Xét những điểm M có hoành độ nhỏ hơn

3

2:

Với

0

Chứng tỏ hàm số nghịch biến Suy ra min  0 3

2

Câu 15 Điểm nào sau đây thuộc đồ thị hàm số  : 2 3 3

1

x x

C y

x





A  2;1 . B  3;0 . C 2;1 . D  0;3 .

Vì x0�y3.

Câu 16. Cho hàm số y x 3 2x Tìm tất cả các điểm 1 M thuộc đồ thị hàm số sao cho khoảng cách từ

M đến trục tung bằng 1

A M 0; 1

hoặc M2; 1 . B M2; 1  .

C M 1; 0

hoặc M1; 2. D M 1; 0

Ta có M x M,y M

với y M x M3 2x M 1.

M

d M Oy x

�

a a

Vậy M 1;0

hoặc M1; 2  .

2

 





x x y

x Điểm trên đồ thị mà khoảng cách từ giao điểm của hai tiệm cận đến

tiếp tuyến tại đó lớn nhất có hoành độ bằng

A 2� 4 6 B 2� 48 C 3� 48 D 1� 48

Trang 8

2 2 4

3

 

x x

Hàm số có hai đường tiệm cận đứng và xiên lần lượt có phương trình là

2



x và y x 3�Tọa độ giao điểm của hai tiệm cân la điểmI 2;5

Gọi

; 2

a a

M a

a là tiếp điểm của đồ thị hàm số và tiếp tuyến d

Tiếp tuyến  d

tại:  �     2 2 2



a a

y y a x a

;

d A

Đặt a 2 t

�

2

4

;

2

d A

t t

Để d A ;

max thì   4 22 ax



t

 

5

0

8



�

 �

t

t t

f t

t

t t

CĐ

Bảng biến thiên

Suy ra f t max

tại t �48 �a 2 � �48 a2�48.

Câu 18. Có bao nhiêu điểm M thuộc đồ thị hàm số

2 1

x y x





 sao cho khoảng cách từ M đến trục tung bằng hai lần khoảng cách từ M đến trục hoành.

1

m





1

m



 .

Trang 9

2 2

2

1

m

Vậy có 2 điểm M

Câu 19. Tìm tất cả các điểm thuộc đồ thị hàm số

2 1 1

x y x





 có khoảng cách đến trục hoành bằng 1

A M0; 1 ,  N  1; 1. B N2;1.

C

0; 1

0; 1 ,  2;1

Gọi M là điểm thuộc đồ thị hàm số, nên

2 1

; 1

x

M x

x



 ,  1

d M Ox  � 2x x 11 1

2

0

x

 

�

  

Câu 20 Cho hàm số  : 2 3

1

x





 Gọi M là một điểm thuộc đồ thị và d là tổng khoảng cách từ M

đến hai tiệm cận của đồ thị hàm số  C

Giá trị nhỏ nhất của d có thể đạt được là:

1

a



a



  Vậy giá trị nhỏ nhất của d bằng 2.

Câu 21. Gọi M a b ; 

là điểm trên đồ thị hàm số

2 1 2

x y x





 mà có khoảng cách đến đường thẳng

d y x nhỏ nhất Khi đó

A a2b 3 B a2b 1 C a b  2 D a b   2

0 0

; 2

x

0

,

x

d M d



3

,

1 3

x

d M d

0

1

2

x

Trang 10

Khi đó: M 1; 1 thỏa a b   2

Câu 22 Cho hàm số

1 1

x y x





 có đồ thị ( ).C Giả sử A B, là hai điểm thuộc ( ).C và đối xứng với nhau qua giao điểm của hai đường tiệm cận Dựng hình vuông AEBF Tìm diện tích nhỏ nhất của hình vuông AEBF

A Smin 4 2 B Smin 8 C Smin 16 D Smin 8 2

Ta có

1 1

x y x







2 1 1

x

 

 . Gọi

2

;1

1

A a

a

� �, a� là một điểm bất kỳ thuộc đồ thị 1  C

Gọi I 1;1 là giao điểm của hai đường tiệm cận, ta có  

2 2

2

4 1

1

a

Theo giả thiết ta có AEBF là hình vuông nên S AEBF AE2�S AEBF nhỏ nhất khi AE nhỏ nhất 2

Với AE AI 2�AE2 2AI2  

2

8

2 1

1

a

Mặt khác ta lại có

2

8

1

a

 Hay AE2 �8 Dấu " " xảy ra khi  2 1

3

a a

a

 

�

Vậy diện tích hình vuông AEBF nhỏ nhất bằng 8

Câu 23 Đồ thị của hàm số y x 3 3x2 có tâm đối xứng là:2

A I 0; 2

C I2; 2 . D I 1; 2 .

Đồ thị hàm số bậc ba nhận điểm uốn làm tâm đối xứng

Ta có: y�6x ; 6 y�0�x1�y0�I 1;0

là tâm đối xứng

Trang 11

Câu 24. Gọi M là điểm bất kì thuộc đồ thị  C

của hàm số

9 2

y x



 Tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận của  C

đạt giá trị nhỏ nhất là

Hàm số

9 2

y x



 có tập xác định D�\ 2 . Tiệm cận đứng x  ; Tiệm cận ngang 2 y0.

M là điểm bất kì thuộc đồ thị  C

của hàm số

9 2

y x





9

; 2

M x x



Tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận của  C là.

 �

Vậy tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận của  C

đạt giá trị nhỏ nhất là 6

2 1 1

x y x





 Tìm điểm M trên  C

để khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng của đồ thị  C

bằng khoảng cách từ M đến trục Ox

A

 

0; 1 4;3

M M



�

 

1; 1 4;3

M M



�

 

0; 1 4;5

M M



�

 

0;1 4;3

M M

�

0

2x 1

1

x





�

 Ta có d M , 1 d M ,Ox � x0 1 y0 .

 2

0

1

x



Với 0

1 2

x �

, ta có:

0 2

0

4

x



�

Suy ra M0; 1 ,   M 4;3 .

Với 0

1 2

x  

, ta có phương trình: x022x0  1 2x01� x02 2 0(vô nghiệm).

Vậy M0; 1 ,   M 4;3 .

Câu 26 Cho đồ thị  : 3

1

x





 Biết rằng, có hai điểm phân biệt thuộc đồ thị  C

và cách đều hai trục toạ độ Giả sử các điểm đó lần lượt là M và N Tìm độ dài của đoạn thẳng MN

A MN 3 5. B MN  3 C MN 4 2. D MN 2 2.

Trang 12

Gọi

3

; 1

m

M m

m



M m

d M Ox d M Oy m



�

Câu 27. Cho 2  

2

x





 Tìm M có hoành độ dương thuộc  C

sao cho tổng khoảng cách từ M đến 2 tiệm cận nhỏ nhất

A M 2; 2 . B M 4;3 . C M1; 3 . D M0; 1 .

Tập xác định: D �\ 2   .

 2

4 2

y

x



�



2

m





Ta có 2 tiệm cận của  C

là: d x1: 2;d y2: 1..

2 1

m

 

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương m2 và m42 , ta có:

2

m

Dấu “=” xảy ra

4

2

m

Vậy M 4;3 .

Câu 28. Tính tổng các hoành độ của những điểm thuộc đồ thị  C :y x 3 3x22 cách đều hai điểm

12;1

A

, B6;3.

Phương trình đường trung trực đoạn ABlà x9y21 0 .

Gọi M x y   ; �C

thỏa mãn MA MB .

M là giao điểm của đường trung trực đoạn ABvà đồ thị  C

Hoành độ các điểm M là nghiệm của phương trình

9

x

x  x    � x  x   x � x

Câu 29. Tìm điểm M trên đồ thị  C : y2x x11

 sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng :

x y  đạt giá trị nhỏ nhất

A

1 1;

2

M�� ��

7 3;

2

M� ��

Trang 13

Gọi

; 1

m

M m

m



� � là tọa độ điểm cần tìm m�1

Khoảng cách từ M đến đường thẳng  là: 2 2

1

1 3

m m

m d







2

1 10

d

m





Xét hàm số:

2 2

2

1

1 1

m

f m

khi m m

�  



�

Ta có: f m'  0�m 2

thỏa m hoặc 1 m thỏa 4 m 1 Lập bảng biến thiên suy ra

2 min

10

d

khi m  tức 2 M2;1

Tiếp tuyến tại M là

y  x

, tiếp tuyến này song song với 

Câu 30. Gọi (H) là đồ thị hàm số

1

x y x





 Điểm M x y thuộc (H) có tổng khoảng cách đến hai( ; )0 0

đường tiệm cận là nhỏ nhất, với x0  khi đó 0 x0 bằng?y0

Tập xác định �\ 1 .

Dễ có tiệm cận đứng d x1:   và tiệm cận ngang 1 d2:y 2

0

1

x

d M d d M d x

x



0

1

x

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

0

1

x

 Vì x0  nên 0 x0  2

y  x y  

Câu 31 Có bao nhiêu điểm M thuộc đồ thị  C của hàm số  2 

3

sao cho tiếp tuyến tại M của

 C

cắt  C

và trục hoành lần lượt tại hai điểm phân biệt A (khác M ) và B sao cho M là trung điểm của AB?

Tập xác định: y

 2 3 3 3

Phương trình tiếp tuyến  d

0; 0 3 0

của  C

là

Trang 14

 2    3  2  3

Xét phương trình hoành độ giao điểm của  d

và  C

:

0

2



�

0

2

 

�x A x , vì A khác M nên x0 �0.

Phương trình hoành độ giao điểm của  d

và trục hoành:

0

2



x

x x0 �1, x0 �1

Khi đó x A  2x , 0

3 0 2 0

2





B

x x

x , x M x , 0 x0��\1;0;1

Do A B, và M thẳng hàng nên để M là trung điểm của AB thì

3 0

0

2



x

2

6

5

Vậy có 2 điểm M thỏa mãn bài toán

DẠNG 2: ĐỒ THỊ HÀM SỐ ĐI QUA ĐIỂM CHO TRƯỚC

Câu 32. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y x 4 2mx22m đi qua điểm

 2;0 

N  .

8 3

m

3

Câu 33. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y x 4 2mx22m đi qua điểm

 2;0 

N 

A

8 3

m

3

Câu 34. Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số:

2

y

mx

=

+ đi qua điểm A -( 1;4)

?

A m 2 B m 1. C

1 2

m

Đồ thị hàm số qua điểm A -( 1;4)

nên ta có:

Trang 15

( )

2

m

DẠNG 3: ĐIỂM CỐ ĐỊNH CỦA HỌ ĐỒ THỊ

Câu 35 Đồ thị của hàm số y x 3 3x2 mx m  (m là tham số) luôn đi qua một điểm M cố định có tọa

độ là

A M 1; 4. B M1; 4 . C M1; 2 . D M1; 2 .

Gọi M x y 0; 0 là điểm cố định mà họ đồ thị luôn đi qua m

m x   x x y 

�

m

0

1 0

x

 

�

1

x

 

�

�    

2

y

mx



 có đồ thị là  C m

Hỏi đồ thị hàm số luôn đi qua bao nhiêu điểm cố định ?

Ta có:

2

Khi đó tọa độ điểm cố định mà đồ thị hàm số đi qua là nghiệm của hệ phương trình sau:

2

0 1

1

2 1

x y

y

x y



�

� �

�

 

�

�  �

�

�  � suy ra có 3 điểm cố định.

Câu 37. Cho họ đồ thị  C m :yx4mx2 m 1 Tọa độ các điểm mà mọi đồ thị của họ  C m

luôn đi qua với mọi giá tri thực của m là

A    2;1 , 0;1

B    1;0 , 0;1

C 2;1 , 2;3  . D 1;0 , 1;0  .

Ta có: y x 4mx2  m 1 x4 1 m x 21

Điểm mà mọi đồ thị của họ  C m

đi qua là điểm có tọa độ không phụ thuộc và tham số m nên có hoành độ thỏa mãn:

1 0

1

x x

x



�

  � � � Vậy có hai điểm thỏa mãn bài toán là:   1;0 ; 1;0 .

Câu 38 Biết đồ thị (C m) của hàm số y x 4mx2 m 2018 luôn luôn đi qua hai điểm M và N cố định

khi m thay đổi Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng MN là

Định dạng
Số trang	20
Dung lượng	1,3 MB
File đính kèm	8.0 LÝ THUYẾT CHUNG.rar (143 KB)