TRẮC NGHIỆM ĐẠO HÀM ĐẠI SỐ 11

Trong các tiếp tuyến với đồ thị  C , hãy tìm phương trình tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất.. 3 32 y x đó kẻ được ba tiếp tuyến đến đồ thị hàm số và trong đó có hai tiếp tuyến vuông gó

ĐẠO HÀM

A LÝ THUYẾT CHUNG

1 Định nghĩa đạo hàm tại một điểm

1.1 Định nghĩa :Cho hàm số y f x  xác định trên khoảng a b; và x0a b; , đạo hàm của hàm số

tại điểm x0là :      

0

0 0

Nếu hàm số y f x có đạo hàm tại x0thì nó liên tục tại điểm đó

2 Ý nghĩa của đạo hàm

2.1 Ý nghĩa hình học: Cho hàm số y f x  có đồ thị  C

 0

'

f x là hệ số góc của tiếp tuyến đồ thị  C của hàm số y f x  tại M0x0,y0   C

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x tại điểm M0x0,y0   C là :

Cường độ tức thời của điện lượng QQ t tại thời điểm t0 là : I t 0 Q t' 0

3 Qui tắc tính đạo hàm và công thức tính đạo hàm

sinxcosx  sinuu cos u

cosx sinx  cosu u.sinu

a b

a b

a b

khi x khi x



 có đạo hàm tại điểm x00

khi x khi x

khi x khi x

Lập luận trên nếu sai thì bắt đầu từ bước:

A Bước 1 B Bước 2 C Bước 3 D Bước 4

1sin( )

khi x khi x





(1) Hàm số ( )f x liên tục tại điểm x0

(2) Hàm số ( )f x không có đạo hàm tại điểm x0

khi x khi x

f x

khi x x

x y x

sin cos cos sin

y x x Đạo hàm y a.sin 2 cos cos 2x  x Giá trị của a

là số nguyên thuộc khoảng nào sau đây?

A  0; 2 B 1;5 C 3; 2 D  4; 7

Câu 17: Cho hàm số 1 1 1 1 1 1cos

18



2 2

x y

A cos x B sin x C sin x D cos x

6(sin xcos xsin cos )x x 5 5

6(sin xcos xsin cos )x x

Câu 25: Cho hàm số   cos 2

 

71; 5

x

f x   x x x Biểu diễn nghiệm của phương trình lượng giác f x trên đường tròn ta được mấy điểm phân biệt?

A 1 điểm B 2 điểm C 4 điểm D 6 điểm

PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN

A

B

C

D

song song với nhau:

3

y x  x  x có đồ thị  C Trong các tiếp tuyến với đồ thị  C , hãy

tìm phương trình tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất

A y  8x 19 B y x 19 C y  8x 10 D y  x 19

, mà tại đó tiếp tuyến của vuông góc với đường thẳng Khi đó bằng:

d  x Có bao nhiêu tiếp

tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng d?

A 2 tiếp tuyến B 1 tiếp tuyến

C Không có tiếp tuyến nào D 3 tiếp tuyến

độ tạo thành một tam giác có diện tích bằng 2 Tọa độ là:

Diện tích của tam giác vuông đó là:

x y x

43

11

y x

54

52

254

3 32

y x

đó kẻ được ba tiếp tuyến đến đồ thị hàm số và trong đó có hai tiếp tuyến vuông góc với

tại giao điểm của nó với trục tung

tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 8

2 1

x y x





 .Tìm giá trị nhỏ nhất của m sao cho tồn tại ít nhất một điểm M 

 C mà tiếp tuyến của  C tại M tạo với hai trục toạ độ một tam giác có trọng tâm nằm

Câu 52: Cho hàm số y133x508; y8x8; y5x4., có đồ thị là  C Có bao nhiêu điểm

 C thuộc  C sao cho tiếp tuyến tại   của  C cắt   Oy tại

  C m cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và các tiếp tuyến với

 C m tại hai điểm này vuông góc với nhau

f x   x , có đồ thị  C Từ điểm M2; 1  kẻ đến  C hai tiếp tuyến

phân biệt Hai tiếp tuyến này có phương trình:

A y  x 1 và y x 3 B y2x5 và y  2x 3

C y  x 1 và y  x 3 D y x 1 và y  x 3

Diện tích của tam giác vuông đó là:

Gọi d d lần lượt là tiếp tuyến của mỗi đồ thị hàm số 1, 2 f x   ,g x đã cho tại giao điểm của

chúng Hỏi góc giữa hai tiếp tuyến trên bằng bao nhiêu

Câu 59: Cho hàm số 2 2

1

x y x





 có đồ thị là  C Viết phương trình tiếp tuyến của  C , biết tiếp

tuyến tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân

A :y  x 7;:y  x 1 B :y  2x 7;:y  x 11

C :y  x 78;:y  x 11 D :y  x 9;:y  x 1

tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng x 0





 Có bao nhiêu cặp điểm A B thuộc ,  C mà tiếp tuyến tại đó

song song với nhau:

1

y x



 có điểm M sao cho tiếp tuyến tại đó cùng với các trục tọa

độ tạo thành một tam giác có diện tích bằng 2 Tọa độ M là:

( ) :C y2x 3x 2 tại ba điểm phân biệt A B I, , 1; 3  mà tiếp tuyến với ( )C tại A và

tại B vuông góc với nhau Tính tổng tất cả các phần tử của S

độ x1 1 Tiếp tuyến của  C tại M cắt 1  C tại điểm M khác 2 M , tiếp tuyến của 1  C

tại M cắt 2  C tại điểm M khác 3 M , tiếp tuyến của 2  C tại điểm M n1 cắt  C tại điểm

n

M khác M n1 n4; 5; , gọi x y n; n là tọa độ điểm M Tìm n để: n

2019

2018x ny n2 0

3 2 23

m m

m m

m m

5 2 23

m m

a a

a a

a a

tại điểm đó vuông góc với đường thẳng d x: 2y0

A

023

m m

3

m

153

m m

giá trị thực của nguyên thuộc khoảng để từ kẻ được ba tiếp tuyến với đồ thị

Câu 71: Cho hàm số   3 2

f x x  x  x có đồ thị  C Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị  C

tại điểm thuộc đồ thị  C có tung độ là nghiệm phương trình 2 'f  x x f '' x  6 0

04

04

04

tại điểm có hoành độ x o 0 của đồ thị hàm số y f x y( ); g x( ) và ( ) 1

( ) 1

f x y

độ lần lượt là a và bab và tiếp tuyến của (C) tại A, B song song với nhau AB2 Tính

2 3

S  a b

các giá trị thực của a sao cho tiếp tuyến của (C) tại A cắt (C) tại điểm thứ hai B(BA) thỏa

y  x  m x  m x tồn tại hai điểm M x y1( ;1 1),M x y có toạ độ thoả 2( ;2 2)

mãn x x1 2 0sao cho tiếp tuyến với đồ thị hàm số đồ thị hàm số tại hai điểm đó cùng vuông

góc với đường thẳng x2y 1 0 Tìm số nguyên âm lớn nhất thuộc tập S

Câu 78: Gọi A là điểm thuộc đồ thị hàm số 1 4 3 2 5

y x  x  ( )C sao cho tiếp tuyến của (C) tại A

cắt (C) tại hai điểm phân biệt B, C khác A sao cho AC3AB(với B nằm giữa A và C)

x  thuộc (C) Tiếp tuyến của (C) tại A cắt (C) tại điểm thứ hai 1 A2 A1 có hoành độ x Tiếp tuyến của (C) tại2

2

A cắt (C) tại điểm thứ hai A3 A2 có hoành độ x Cứ tiếp tục như thế tiếp tuyến của (C) 3

tại A n1cắt (C) tại điểm thứ hai A n A n1 có hoành độ x Tìm n x2018

Tiếp tuyến của  C tại A cắt 1  C tại điểm thứ hai A2  A1 có hoành độ x Tiếp tuyến của 2

 C tại A cắt 2  C tại điểm thứ hai A3 A2 có hoành độ x Cứ tiếp tục như thế, tiếp tuyến 3

của  C tại A n1 cắt  C tại điểm thứ hai A nA n1 có hoành độ x Tìm giá trị nhỏ nhất n

của n để x n 5100

y xa  xb  xc có hệ số góc nhỏ nhất tại tiếp điểm có hoành độ x 1 đồng thời a b c là các số thực không âm Tìm GTLN tung , ,

độ của giao điểm đồ thị hàm số với trục tung?

a b

a b

a b

Trước tiên hàm số phải liên tục tại x0

khi x khi x

Giới hạn lượng giác

0( 1)( 2) ( 1000) 1000!

khi x khi x

khi x khi x

Lập luận trên nếu sai thì bắt đầu từ bước:

A Bước 1 B Bước 2 C Bước 3 D Bước 4

Chọn D

Một hàm số liên tục tại x0 chưa chắc có đạo hàm tại điểm đó, hơn nữa    0

sin0

1sin( )

khi x khi x





(1) Hàm số ( )f x liên tục tại điểm x0

(2) Hàm số ( )f x không có đạo hàm tại điểm x0

 

1

22

khi x khi x

Câu 8: Đạo hàm của hàm số   2 1 1

f x

khi x x

Với x0 hàm số luôn có đạo hàm

Để hàm số có đạo hàm trên thì hàm số phải có đạo hàm tại x0

 0

x y x

 D 2017!

Chọn C

sin cos cos sin

y x x Đạo hàm y a.sin 2 cos cos 2x  x Giá trị của a là

số nguyên thuộc khoảng nào sau đây?

A  0; 2 B 1;5 C 3; 2 D  4; 7

(cos ) cos(sin ) sin(cos ) sin(sin )

sin( ) cos(cos sin ) sin( ) cos( )

Tương tự ta có biểu thức tiếp theo: 2 1

x y

6(sin xcos xsin cos )x x 5 5

6(sin xcos xsin cos )x x

6.sin cos sin cos sin cos 6 sin cos cos sin

6 sin cos cos sin 6 sin cos cos sin 0

 

71; 5

 

 

Hướng dẫn giải Chọn A

+ Với m0 thì (1) trở thành 1 0  nên đúng với x 

0

m a

Vậy có hai điểm biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác

Nhân 2 vế với x ta được: x(1x)n x C n0x C2 n1x C3 n2  x C n n n1x n1.C n n

Lấy đạo hàm 2 vế ta được : (1x)nnx(1x)n1C n0 2 x C1n3 x C2 n2   (n 1)x C n n n

PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN

song với nhau:

Hướng dẫn giải

Ta có:

Đồ thị hàm số có tâm đối xứng

Gọi là điểm đối xứng với qua suy ra Ta có:

x y x







11

x y x

Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm là:

Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm là:

Ta thấy nên có vô số cặp điểm thuộc mà tiếp tuyến tại đó song song với

, mà tại đó tiếp tuyến của vuông góc với đường thẳng Khi đó bằng:

Hướng dẫn giải

Tiếp tuyến tại của vuông góc với đường thẳng Hoành độ

của các điểm là nghiệm của phương trình

d  x Có bao nhiêu tiếp

tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng d?

A 2 tiếp tuyến B 1 tiếp tuyến

C Không có tiếp tuyến nào D 3 tiếp tuyến

tạo thành một tam giác có diện tích bằng 2 Tọa độ là:

43

x x 

11

y x

Ta có: Lấy điểm

Giao với trục tung:

Vậy

Chọn D

Diện tích của tam giác vuông đó là:

Hướng dẫn giải

+ Ta có giao tại , giao tại khi đó tạo với hai trục tọa độ

tam giác vuông vuông tại

2

3 32

y x

11

x x

0 0

54

52

254

x x

x

 

x A

Nếu I là giao hai tiệm cận, thì I có tọa độ I 2; 1 

Gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên tiệm cận đứng x 2 suy ra H( 2; 2 x03)

0 0

Chứng tỏ S là một hằng số, không phụ thuộc vào vị trí của điểm M

kẻ được ba tiếp tuyến đến đồ thị hàm số và trong đó có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau

Cách 1: Đường thẳng d đi qua M , hệ số góc k có phương trình: yk x m(  )

d là tiếp tuyến của  C hệ

Để từ M kẻ được ba tiếp tuyến thì  1 phải có nghiệm x , đồng thời phải có 3 giá trị k

khác nhau, khi đó  2 phải có hai nghiệm phân biệt khác 1, đồng thời phải có 2 giá trị k

Từ M vẽ được đến  C ba tiếp tuyến ( )a có hai nghiệm phân biệt khác 1, và có hai

giá trị k  3x023khác nhau và khác 0 điều đó xảy ra khi và chỉ khi:

Vì tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x 1 có hệ số góc bằng 0 nên yêu cầu bài toán

253

để tiếp tuyến của

tại giao điểm của nó với trục tung tạo với hai trục tọa độ

một tam giác có diện tích bằng 8

Phương trình tiếp tuyến với (C m) tại điểm m là y mx 1 m

Gọi A, B lần lượt là giao điểm của tiếp tuyến này với trục hoanh và trục tung, ta có tọa độ

1

; 0

m A





 .Tìm giá trị nhỏ nhất của m sao cho tồn tại ít nhất một điểm M   C

mà tiếp tuyến của  C tại M tạo với hai trục toạ độ một tam giác có trọng tâm nằm trên đường

Gọi A, B là giao điểm của tiếp tuyến với trục hoành và trục tung

2 0

Mặt khác:

thuộc  C sao cho tiếp tuyến tại   của  C cắt   Oy tại

Phương trình tiếp tuyến x0  1 của  C tại x0 2 là: y5x4

Tiếp tuyến y133x508; y8x8; y5x4 cắt hai trục tọa độ

2

2 12

y x



 tại hai điểm phân biệt  2 

0; 0

A x , 5

y sao cho diện tích tam giác AOB có diện tích bằng y4 khi đó

  C m cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và các tiếp tuyến với  C m

tại hai điểm này vuông góc với nhau

Để  C m cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt ,A B thì phương trình  1 phải có hai nghiệm

phân biệt khác 1 Tức là ta phải có:

'

11

y x

x x

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số   2 2

 cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt  phương trình  * có

hai nghiệm phân biệt khác m

2x 2m k

2

2x 2m k

yx biết nó đi qua điểm M2; 0 là:

Phương trình tiếp tuyến : y  x 1 và y x 3

Diện tích của tam giác vuông đó là:

 , giao Oy tại (0;5) B khi đó ( )d tạo với hai trục tọa độ

tam giác vuông OAB vuông tại O

Diện tích tam giác vuông OAB là: 1 1 5 .5 25

Câu 58: Cho hai hàm số   1

Gọi d d lần lượt là tiếp tuyến của mỗi đồ thị hàm số 1, 2 f x   ,g x đã cho tại giao điểm của

chúng Hỏi góc giữa hai tiếp tuyến trên bằng bao nhiêu

1

x y x





Tiệm cận đứng: x1; tiệm cận ngang: y2; tâm đối xứng (1;2)I

Gọi M x y là tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của ( ;0 0)  C :

0 0 2

với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng x0

1( ; 0)2

2 0 2

2 0

0 2



 có tâm đối xứng I 1;1 Lấy điểm tùy ý A x y 0; 0   C

Gọi B là điểm đối xứng với A qua I suy ra B2x0; 2y0   C Ta có:

Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm A là:  



 có điểm M sao cho tiếp tuyến tại đó cùng với các trục tọa độ

tạo thành một tam giác có diện tích bằng 2 Tọa độ M là:

11

x x



Giao với trục hoành:   Ox=A 2 x01; 0

Giao với trục tung:  

 0 2 0

Oy=B 0;

1

x x

0 0

( ) :C y2x 3x 2 tại ba điểm phân biệt A B I, , 1; 3  mà tiếp tuyến với ( )C tại A và tại

B vuông góc với nhau Tính tổng tất cả các phần tử của S

độ x1 1 Tiếp tuyến của  C tại M cắt 1  C tại điểm M khác 2 M , tiếp tuyến của 1  C

tại M cắt 2  C tại điểm M khác 3 M , tiếp tuyến của 2  C tại điểm M n1 cắt  C tại điểm

Câu 66: Cho hàm số y f x  xác định và có đạo hàm trên thỏa mãn

* Phân tích:

+ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x  tại điểm có hoàng độ x là: 0

  0 0  0

y f x xx  f x Do đó, muốn viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại

điểm có hoành độ x ta phải tính được 0 f x( )0 và f x( ).0

+ Trong giả thiết, chỉ cho duy nhất một điều kiện về hàm f x , vì vậy chắc chắn phải căn ( )

cứ vào giả thiết này để tính f x( )0 và f x( ).0

Thay f(1) 1 vào  2 sẽ được (1) 1

7

f  

+ Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: 1 

1 17

A

3 2 23

3 2 23

m m

m m

m m

5 2 23

m m

4

0

m f

3 2 23

m m

3 2 23

m m

A 3

1

a a

a a

a a

a a

điểm đó vuông góc với đường thẳng d x: 2y0

A

023

m m

3

m

153

m m

Chọn C

trị thực của nguyên thuộc khoảng để từ kẻ được ba tiếp tuyến với đồ thị

Tổng tất cả các phần tử nguyên của bằng

Hướng dẫn giải Chọn A

Đường thẳng đi qua với hệ số góc có phương trình tiếp xúc

với đồ thị khi và chỉ khi hệ phương trình có nghiệm

m m m

đồ thị các hàm số đã cho tại điểm có hoành độ x0 bằng nhau và khác 0 thì:

04

04

04

04

tại điểm có hoành độ x o0 của đồ thị hàm số y f x y( ); g x( ) và ( ) 1

( ) 1

f x y

Theo giả thiết ta có:

2 2

lần lượt là a và bab và tiếp tuyến của (C) tại A, B song song với nhau AB2 Tính

2 3

S  a b

Hướng dẫn giải Chọn A

Điểm uốn của ( )C là điểm (1; 1) I 

giá trị thực của a sao cho tiếp tuyến của (C) tại A cắt (C) tại điểm thứ hai B(B A) thỏa mãn

12

ab  trong đó a, b lần lượt là hoành độ của A và B Tính tổng tất cả các phần tử của

S

Hướng dẫn giải Chọn A

Điểm uốn của ( )C là điểm (1; 1) I 

mãn x x1 20sao cho tiếp tuyến với đồ thị hàm số đồ thị hàm số tại hai điểm đó cùng vuông góc

với đường thẳng x2y 1 0 Tìm số nguyên âm lớn nhất thuộc tập S

Hướng dẫn giải Chọn D

Do cả hai tiếp tuyến cùng vuông góc với đường thẳng x2y 1 0nên x x là nghiệm của 1, 2

y     k x  m x m Yêu cầu bài toán tương đương với (1) có hai nghiệm phân biệt x x1 2 0, tức là

Tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm A có x A acó dạng

cắt (C) tại điểm thứ hai A3 A2 có hoành độ x3 Cứ tiếp tục như thế tiếp tuyến của (C) tại A n1

cắt (C) tại điểm thứ hai A nA n1 có hoành độ x n Tìmx2018

2 1 2 2

3 1 3 3

2

n n n

Do đó 2018 ( 1)2018 1.22018 1 22018 1

Chọn A

tuyến của  C tại A1 cắt  C tại điểm thứ hai A2  A1 có hoành độ x2 Tiếp tuyến của  C tại

2

A cắt  C tại điểm thứ hai A3  A2 có hoành độ x3 Cứ tiếp tục như thế, tiếp tuyến của  C

tại A n1 cắt  C tại điểm thứ hai A nA n1 có hoành độ x n Tìm giá trị nhỏ nhất của n để

14

2

2

x x

của giao điểm đồ thị hàm số với trục tung?

Chọn A