Các dạng bài tập chương đạo hàm ĐẠI SỐ 11

Các dạng bài tập chương Đạo hàmDạng 1: Tính đạo hàm bằng định nghĩaĐạo hàm và các bài toán giải phương trình, bất phương trình Tính đạo hàm tại 1 điểm Tính đạo hàm của hàm số lượng giác

Trang 1

Các dạng bài tập chương Đạo hàmDạng 1: Tính đạo hàm bằng định nghĩa

Đạo hàm và các bài toán giải phương trình, bất phương trình

Tính đạo hàm tại 1 điểm

Tính đạo hàm của hàm số lượng giác

Đạo hàm và bài toán giải phương trình, bất phương trình lượng giác

60 bài tập trắc nghiệm Đạo hàm có đáp án chi tiết (phần 1)

60 bài tập trắc nghiệm Đạo hàm có đáp án chi tiết (phần 2)

Các dạng bài tập chương Đạo hàm

Trang 2

được gọi là đạo hàm của f(x) tại xo, kí hiệu là f'(xo) hay y’(xo)

2.Quy tắc tính đạo hàm bằng định nghĩa

Bước 1: Với Δx là số gia của đối số tại xo, tính:

Δy = f(xo + Δx) - f(xo)

Trang 3

Bài 2: Cho hàm số f(x) = 3x + 5.Tính đạo hàm của hàm số đã cho bằng địnhnghĩa.

Trang 4

Bài 4: Tính đạo hàm của các hàm số sau tại các điểm đã cho: f(x)= 2x3 + 1 tại x =2

Trang 7

Suy ra không tồn tại giới hạn của tỉ số khi x → -1

Do đó hàm số đã cho không có đạo hàm tại x = -1

Trang 10

Bài 9: Hàm số có Δx là số gia của đối số tại x = 2 Khi đóΔy/Δx bằng?

Trang 11

A Phương pháp giải & Ví dụ

Trang 12

Bài 2: Đạo hàm của hàm số y = 5x + 3x(x + 1) – 5 tại x = 0 bằng bao nhiêu?

Trang 13

Bài 7: Đạo hàm của hàm số bằng biểu thức nào?

Trang 18

Bài 9: Đạo hàm của hàm số bằng biểu thức nào dưới đây?

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Chọn đáp án là C

Bài 10: Đạo hàm của hàm số:

bằng biểu thức nào dưới đây?

Đáp án: A

Trang 21

Dạng 3: Tính đạo hàm của hàm số lượng giác

A Phương pháp giải & Ví dụ

Ví dụ minh họa

Trang 22

bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn:

Bài 2: Tính đạo hàm của hàm số y = cos2x + cos4x + sin5x

Hướng dẫn:

Ta có: y' = -2sin2x - 4sin4x + 5cos5x

Bài 3: Đạo hàm của hàm số y = √cosx bằng biểu thức nào?

Hướng dẫn:

Bài 4: Đạo hàm của hàm số y = tan (2x+1) - xcos2x bằng biểu thức nào?

Hướng dẫn:

Trang 23

Bài 5: Đạo hàm của hàm số bằng biểu thức nào?

Trang 24

Đáp án C

bằng biểu thức nào sau đây?

Đáp án: B

Đáp án B

Trang 25

Đáp án: D

Đáp án D

Bài 4: Đạo hàm cuả hàm số:

Trang 26

Đáp án: B

Chọn đáp án B

Đáp án: C

Chọn đáp án C

Trang 27

A 24(sin3x + cos3x) - 24(sin5x + cos5x)

B 24(sin3x - cos3x) - 24(sin5x + cos5x)

C 2

D 0

Đáp án: D

Trang 28

y'= 6(sin2x + cos2x)2 - 12sin2xcos2x - 4(sin2x + cos2x)2 + 12sin2xcos2x(sin2x +cos2x) = 2

Trang 33

+ Định nghĩa đạo hàm của hàm số: Cho hàm số y= f(x) xác định trên khoảng (a;b) và x0∈(a;b) Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn:

Thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y= f( x) tại điểm x0 và kí hiệu:

+ Quy tắc tính đạo hàm bằng định nghĩa:

Bước 1: giả sử ∆ x là số gia của đối số x0 Tính ∆ y= f(x0 + ∆x) – f(x0)

Trang 34

Theo định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm thì biểu thức ở đáp án C đúng.Chọn C.

Ví dụ 2. Cho hàm số y= f(x) liên tục tại x0 Đạo hàm của hàm số y= f(x) tại x0 là

Trang 35

Ví dụ 4 Tỉ số ∆y/∆x của hàm số f(x) = x2+ x theo x và là

Trang 38

Nên hàm số không có đạo hàm tại 0.

Chọn B

10

Hướng dẫn giải

Trang 39

Ví dụ 11. Cho hàm số y= 8x+ 10 Tính đạo hàm của hàm số tại x0= -1.

suy ra ∆y/∆x=8 nên

Vậy đạo hàm của hàm số đã cho tại điểm x0= -1 là 8

Chọn C

Trang 40

Ví dụ 12 Cho hàmsố:

Trang 41

Ví dụ 14. Cho hàm số

Với giá trị nào của a; b thì hàm số có đạo hàm tại x= 1?

Trang 42

C Bài tập vận dụng

Câu 1: Số gia của hàm số y= - 3x2+ 8 ứng với x và là

A -6x ∆x -3(∆x)2 B -6x ∆x+ 3(∆x)2- 16

C 6x ∆x -3(∆x)2 + 16 D -6x - 3 ∆x

Hiển thị lời giải

+ Gọi ∆x là số gia của đối số x

+ Ta có: ∆ y= f(x+ ∆x) – f(x)= [ - 3(x+∆x)2 +8] – [- 3x2+ 8]

= -3x2 - 6x ∆x -3(∆x)2+ 8 + 3x2- 8

= -6x ∆x -3(∆x)2

Trang 43

Chọn A.

Câu 2: Xét ba mệnh đề sau:

(1) Nếu hàm số y= f(x) có đạo hàm tại điểm x= x0 thì hàm số liên tục tại điểm đó

(2) Nếu hàm số y= f( x) liên tục tại điểm x= x0 thì hàm số y= f(x) có đạo hàm tạiđiểm đó

(3) Nếu y=f(x) gián đoạn tại x= x0 thì chắc chắn hàm số y=f(x) không có đạo hàmtại điểm đó

Trong ba câu trên:

A Có hai câu đúng và một câu sai B Có một câu đúng và hai câu sai

C Cả ba đều đúng D Cả ba đều sai

(1) Nếu hàm số y=f(x) có đạo hàm tại điểm x= x0 thì hàm số y= f(x) liên tục tạiđiểm đó Đây là mệnh đề đúng

(2) Nếu hàm số y= f(x) liên tục tại điểm x= x0 thì hàm số y=f(x) có đạo hàm tạiđiểm đó là mệnh đề sai

Ví dụ : Lấy hàm ta có D= R nên hàm số y= f(x) liên tục trên R

Nên hàm số không có đạo hàm tại x= 0

(3) Nếu hàm số y= f(x) gián đoạn tại x=x0 thì chắc chắn hàm không có đạo hàmtại điểm đó là mệnh đề đúng

Trang 44

Vì (1) là mệnh đề đúng nên (1) tương đương với mệnh đề sau: Nếu hàm số y=f( x)không liên tục tại x= x0 thì hàm số y= f(x) không có đạo hàm tại điểm đó.

Vậy (3) là mệnh đề đúng

Chọn A

Câu 3: Xét hai câu sau:

Trong hai câu trên:

A Chỉ có (2) đúng B Chỉ có (1) đúng C Cả hai đều đúng D Cả haiđều sai

Trang 45

Câu 4: Cho hàm số y= x2+2|x|-5 Xét hai câu sau:

(1) Hàm số trên có đạo hàm tại x= 0

(2) Hàm số trên liên tục tại x= 0

Trong hai câu trên:

A Chỉ có (1) đúng B Chỉ có (2) đúng C Cả hai đều đúng D Cả haiđều sai

Trang 47

Câu 6: Cho hàm số tính đạo hàm của hàm

số tại x0= 0

A 1 B 2 C 3 D 5

Ta có: f(0) = 0 Xét các đạo hàm một bên của hàm số:

Trang 48

Câu 7: Tính đạo hàm của hàm số tại điểm

x0= 0

A 2 B 0 C 3 D đáp án khác

Ta có: f(0) = 1 Ta xét các đạo hàm một bên của hàm số:

Câu 8: Tính đạo hàm của hàm số y= f(x)= 2x3 +1 tại các điểm x= 2

Trang 49

Câu 10: Tính đạo hàm của hàm số khi x≠0tại x = 0

A 1/2 B.1 C 2 D 1/4

Ta có f(0) = 0

Câu 11: Cho hàm số y= f(x)= (2x2+ |x+1|)/(x-1) Tìm mệnh đề đúng?

Trang 50

A Hàm số đã cho có đạo hàm tại x= -1.

B Hàm số đã cho liên tục nhưng không có đạo hàm tại x= -1

C Hàm số đã cho không liên tục tại x= -1

D Hàm số đã cho có đạo hàm tại x= -1 nhưng không liên tục tại điểm đó

Vì hàm số y= f(x) xác định tại x= -1 nên nó liên tục tại đó

1

A – 1 B 1 B – 2 D 2

Để hàm số có đạo hàm tại x= 1 thì trước hết hàm số phải liên tục tại x= 1

Trang 51

Câu 13: Tính đạo hàm của hàm

A 0 B 4 C 5 D Đáp án khác

Đạo hàm của các hàm số đơn giản

A Phương pháp giải

Đạo hàm của các hàm số cơ bản :

Trang 52

Trong đó u= u(x) ; v= v(x) là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xácđịnh.

Trang 53

Ví dụ 3. Cho hàm số y= 2x2+ 2x- 10 Tính đạo hàm của hàm số đã cho

Trang 58

Câu 7: Tính đạo hàm của hàm số y= (x-6)/(2x+3)?

Trang 59

Câu 8: Tính đạo hàm của hàm số y= (x2+x+1)/(1-x)?

Câu 9: Tính đạo hàm của hàm số: y= (x+2)/(x2-1)?

Trang 60

Câu 10: Tính đạo hàm của hàm số: y=4√x - 4x4 + 2x?

Câu 11: Tính đạo hàm của hàm số: y=(2√x-2).( 2x+1)

+ Áp dụng công thức ( u.v)'=u'.v+uv' ta có:

y'=( 2√x-2)' ( 2x+1)+( 2√x-2).(2x+1)'

⇒ y'= 2.1/(2√x) (2x+1)+(2√x-2).2

= 2√x+ 1/√x+ 4√x-4= 6√x+ 1/√x-4

Trang 61

Chọn A.

Câu 12: Tính đạo hàm của hàm số y= x3/3+2x2- 1/x?

Câu 13: Tính đạo hàm của hàm số: y= (x2+2x)/(x2-3x+1)

Áp dụng công thức đạo hàm của một thương ta có:

Trang 63

Với u= 1-3x2 thì y= u5 suy ra y' (u)=5.u4=5.(1-3x2)4

Áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp ta có :

Trang 65

Ví dụ 8. Tính đạo hàm của hàm số : y=√(x2+2x-10)+( 2x+1)4

Trang 67

Ví dụ 11. Tính đạo hàm của hàm số

Trang 68

Ví dụ 12. Tính đạo hàm của hàm số

Trang 69

Câu 1: Tính đạo hàm của hàm số: y= ( -3x - 2)8

A - 24( 3x+2)7 B - 24( -3x-2)7 C 12(-3x-2)7 D 12(3x+2)7

+ Đạo hàm của hàm số đã cho là:

y'=8.(- 3x-2)7.(-3x-2)'=8(-3x-2)7.(-3)= -24.( -3x-2)7

Trang 70

Đạo hàm của hàm số đã cho là:

y' (x)= 3.(6-x+2x2 )2.(-1+4x)

Chọn A

Trang 71

Câu 4: Tính đạo hàm của hàm số y= ( √x+2x2+4x)4

A 2( √x+2x2+4x)3.( 1/(2√x)+4x+4) B 4( √x+2x2+4x)3.( 1/(2√x)+4x+4)

C ( √x+2x2+4x)3.( 1/(2√x)+4x+4) D Đáp án khác

Áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp ; ta có :

y'=4.( √x+2x2+4x)3.( √x+2x2+4x)'

Hay y'=4( √x+2x2+4x)3.( 1/(2√x)+4x+4)

Chọn B

Câu 5: Tính đạo hàm của hàm số : y= √(2x3-2x2+4x)

Áp dụng công thức tính đạo hàm của hàm hợp ta có :

Câu 6: Tính đạo hàm của hàm số : y= √((x+1)4-2x)

Trang 72

Câu 7: Tính đạo hàm của hàm số

Trang 73

Câu 8: Tính đạo hàm của hàm số : y=√( (2x-2)2+2x)+( 3x-2)3

Trang 74

Câu 9: Tính đạo hàm của hàm số : y= ( 2x2-1)2.√(2x+2)

Áp dụng công thức đạo hàm của của hàm hợp và đạo hàm của một tích ta có :

Trang 75

Áp dụng công thứcđạo hàm của một thương và đạo hàm của hàm hợp ta có ;

Trang 76

Trang 77

Đạo hàm và các bài toán giải phương trình, bất phương trình

+ Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số

+ Bước 2: Lập phương trình; bất phương trình

+ Bước 3: Giải phương trình; bất phương trình

Trang 78

Ví dụ 3.Cho hàm số y= x4+ 2x3 – k.x2+ x- 10 Tìm k để phương trình y'=1 có mộtnghiệm là x= 1?

Ví dụ 4. Cho hàm số y= 4x+√x-10 Nghiệm của phương trình y'=0 là

A.x=1 B x= 4 C x= 9 D Vô nghiệm

Trang 79

⇒ Phương trình y’= 0 vô nghiệm.

Hàm số đã cho xác định với mọi x≠3

Đạo hàm của hàm số đã cho với x≠3 là :

Ví dụ 7.ho hàm số y= (x3+ x2)/(x-1) Phương trình y'=0 có mấy nghiệm nguyên?

A 1 B 0 C 2 D 3

Trang 80

+ Hàm số đã cho có đạo hàm tại mọi điểm x≠1 Khi đó; đạo hàm của hàm số là:

Ví dụ 8.Cho hàm số y= 2mx – mx3 Với những giá trị nào của m để x= -1 lànghiệm của bất phương trình y'<1?

Trang 82

Ví dụ 11. Cho hàm số y= (kx-1)/(x-1) Xác định các giá trị của k để y'<0 ; ∀ x≠1

A k <- 1 B k> 1 C k< - 2 D.k > 3

Hàm số đã cho có đạo hàm với mọi x≠1

Với mọi x≠1 hàm số có đạo hàm là:

Ví dụ 12. Cho hàm số y= √(2x2+4) Với những giá trị nào của x thì y'=0?

A x= 0 B x= 1 C x= 2 D không có giá trị nào thỏa mãn

Hàm số đã cho xác định với mọi x

Trang 83

Phương trình (*) vô nghiệm.

Vậy phương trình y’= 0 vô nghiệm

Trang 84

Câu 3: Cho hàm số y= x4 -3x3 +2k.x2+ 4x - 6 Tìm k để phương trình y'=1 có mộtnghiệm là x= 1?

Câu 4: Cho hàm số y= x2-32√x+8 Nghiệm của phương trình y'=0 là

A.x=1 B x= 4 C x= 9 D Vô nghiệm

Với mọi x> 0; hàm số đã cho có đạo hàm đạo hàm: y'=2x- 16/√x

Để y'=0 thì 2x- 16/√x = 0 ⇒ 2x√x-16=0

⇔x√x=8 ⇔ √x= 2 nên x= 4

Chọn B

Câu 5: Cho hàm số y= (x+2)/(x-3) Với những giá trị nào của x thì y’ >0

A R B x > 0 C.R\{ 3} D Không có giá trị nào

Trang 85

Câu 6: Cho hàm số y=(3x+1)/(2x+2) Giải phương trình y'= 4.

Hàm số đã cho xác định với mọi x≠-1

Đạo hàm của hàm số đã cho với x≠-1 là :

Câu 7: Cho hàm số y= (2 x2-2x)/(x+1) Phương trình y'=0 có nghiệm là?

A x= -1 hoặc x= 0 B x= 0 C x= 1 hoặc x= -1 D x= 2 hoặc x= - 1

+ Hàm số đã cho có đạo hàm tại mọi điểm x≠-1 Khi đó; đạo hàm của hàm số là:

Trang 86

Câu 8: Cho hàm số y= x3 – mx2 + 3x+ 3 Với những giá trị nào của m để x= 6 lànghiệm của bất phương trình y'<3?

A m > 6 B m > 9 C.m < - 6 D m < 9

Ta có đạo hàm: y’= 3x2 – 2mx + 3

Bất phương trình y’ < 3 khi 3x2-2mx+3 <3 ⇔ 3x2 – 2mx < 0

Do x= 6 là nghiệm của bât phương trình nên ta có: 3.62 – 2.m.6 < 0

⇔108- 12m < 0 hay m >9

Chọn B

Câu 9: Cho hàm số y= ( m+1)x3- 3(2m- 1)x2+ x tìm m để y' ≤0 ; ∀ x∈R?

A m < - 2 B m>2 C m > -2 D Không có giá trị nào

+ Hàm số xác định với mọi x ∈R

+ Đạo hàm của hàm số: y'=3(m+1) x2-6(2m-1).x +1

+ Để y' ≤0 ; ∀ x∈R khi và chỉ khi :

Trang 87

Trang 88

Câu 11: Cho hàm số y= (2x+k)/(4x-1) Xác định các giá trị của k để y'<0 ; ∀x≠1/4

Hàm số đã cho có đạo hàm với mọi x≠1/4

Với mọi x≠1/4 hàm số có đạo hàm là:

Câu 12: Cho hàm số y= √(x2+4x+19) Xác định các giá trị của x là nghiệm củabất phương trình y’<0 ?

A x< -2 B x> 4 C x< 1 D x>2

+ Ta có: x2+4x + 19= ( x+2)2 + 15 > 0 với mọi x nên hàm số đã cho luôn xác định

và có đạo hàm với mọi x

Trang 89

Tính đạo hàm tại 1 điểm

Cho hàm số y= f(x) Tính đạo hàm của hàm số tại x= x0

+ Bước 1 Tính đạo hàm của hàm số: y’(x)=

+ Bước 2 Tính đạo hàm của hàm số tại x0: thay giá trị x= x0 vào y’(x); suy ray’(x0)

B Ví dụ minh họa

Ví dụ 1.Cho hàm số y= x3+ 2x2 – 2x+ 10 Tính đạo hàm của hàm số tại x= 1

A 5 B – 2 C 7 D 10

+ Đạo hàm của hàm số đã cho là : y'= 3x2 +4x- 2

⇒ Đạo hàm của hàm số tại điểm x=1 là y' ( 1)= 3 12+ 4.1- 2= 5

Trang 90

Đạo hàm của hàm số đã cho là ; y'= 2x+ 2

Theo giả thiết ta có: y' (x0 )=4 nên 2x0 + 2= 4

Trang 92

Ví dụ 7. Cho hàm số y= √(x2+4x+88) Tính đạo hàm của hàm số đã cho tại x= 2.

A 1 B 2/5 C 1/5 D 4/5

Ta có: x2+ 4x+ 88= ( x+ 2)2 + 84 > 0 với mọi x

⇒ Hàm số đã cho có đạo hàm tại mọi điểm

Ví dụ 8 Cho hàm số y= √(x2-3x+2) + x3- x2 Tính đạo hàm của hàm số đã cho tạix= 3/2?

A 1 B 2 C 4 D.không tồn tại

+ Điều kiện : x ≤1;x ≥2

Trang 93

+ Tại các điểm x thỏa mãn x2- 3x+ 2 > 0 thì hàm số có đạo hàm

+ Điểm x= 3/2 không thỏa mãn điều kiện xác định nên hàm số không có đạo hàmtại điểm đó

Chọn D

Ví dụ 9. Cho hàm số y= ( 2x+ x2)2 Tính đạo hàm của hàm số tại x= - 1?

A 0 B 2 C – 2 D 4

Đạo hàm của hàm số đã cho là:

Trang 94

Câu 1: Cho hàm số y= 2x3+ 3x2 + 5x+ 9 Tính đạo hàm của hàm số tại x=- 1

A 5 B – 2 C 7 D 10

+ Đạo hàm của hàm số đã cho là : y'= 6x2 +6x + 5

⇒ Đạo hàm của hàm số tại điểm x=-1 là y' (-1)= 6.( -1)2 + 6.(-1)+ 5= 5

Chọn A

Câu 2: Cho hàm số y= 2x2+ 4x- 1 Biết rằng đạo hàm của hàm số tại x= x0 bằng 8.Tìm x0?

A – 2 B – 1 C 1 D 2

Đạo hàm của hàm số đã cho là ; y'= 4x+ 4

Theo giả thiết ta có: y' (x0 )=8 nên 4x0 + 4= 8

⇔4x0= 4 ⇔ x0 = 1

Chọn C

Câu 3: Cho hàm số y= 8√(x+1)+3x- x3 Tính đạo hàm của hàm số tại x= 3

Trang 95

A – 12 B – 18 C 10 D - 20

Tại các điểm x > - 1 thì hàm số đã cho có đạo hàm và

Câu 4: Cho hàm số y=(2x-6)/(x-8) Hỏi tại giá trị x bằng bao nhiêu thì y'= (- 5)/3?

Điều kiện : x≠8

Với mọi x thỏa mãn điều kiện; ta có đạo hàm của hàm số là :

Trang 96

Câu 5: Cho hàm số y= 2x3- ( m+ 1)x2+ x+ 1 Xác định m biết y' (2)= 17?

A m=1 B m= - 5 C m= 6 D m= - 1

Đạo hàm của hàm số đã cho là : y'= 6x2 –2(m+1)x+ 1

Với mọi x≠-2 hàm số có đạo hàm là;

Câu 7: Cho hàm số y= √(2x2-8x+11) Tính đạo hàm của hàm số đã cho tại x= - 2

Trang 97

Ta có: 2x2- 8x+ 11= 2(x - 2)2 + 3 > 0 với mọi x

⇒ Hàm số đã cho có đạo hàm tại mọi điểm

Câu 8: Cho hàm số y= √(2x2-x-1) + 3x3- 9x Tính đạo hàm của hàm số đã cho tạix= 0 ?

A 1 B 2 C 0 D.không tồn tại

+ Điều kiện : x≤(- 1)/2;x ≥1

+ Tại các điểm x thỏa mãn 2x2- x - 1 > 0 thì hàm số có đạo hàm

+ Điểm x= 0 không thỏa mãn điều kiện xác định nên hàm số không có đạo hàm tạiđiểm đó

Định dạng
Số trang	163
Dung lượng	2,83 MB