TRẮC NGHIỆM GIỚI HẠN ĐẠI SỐ 11

Một vài giới hạn đặc biệt a limn k   với k nguyên dương Khi làm bài tập trắc nghiệm, ta có thể làm như bài tập tự luận, sau khi tính toán sẽ chọn kết quả phù hợp với yêu cầu của bài t

––

GIỚI HẠN

A - LÝ THUYẾT CHUNG

GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

I Giới hạn hữu hạn của dãy số

1 Định nghĩa

 Định nghĩa 1: Ta nói rằng dãy số  u n có giới hạn là 0 khi n dần đến dương vô cực và viết

lim n 0

  viết tắt là limu n 0 hoặc u n 0 , nếu mọi số hạng của dãy số đều có giá trị tuyệt

đối nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi

 Định nghĩa 2: Ta nói rằng dãy số  u n có giới hạn là số thực a khi n dần đến dương vô cực và

c) Nếu u n c ( c là hằng số) thì lim u n limcc

II Định lý về giới hạn hữu hạn

b) Nếu u n0 với mọi n và lim u n a thìa0 và lim u n  a

III Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn

Cấp số nhân vô hạn u u u1, 2, , , 3 u n có công bội q với q 1 gọi là cấp số nhân lùi vô hạn Tổng

 Ta nói dãy số  u n có giới hạn  nếu với mỗi số dương tùy ý, mọi số hạng của dãy số, kể từ

một số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số dương đó Khi đó ta viết lim u n   hoặc

lim( )u n   hoặc u n  

 Ta nói dãy số  u n có giới hạn  nếu với mỗi số âm tùy ý, mọi số hạng của dãy số, kể từ

một số hạng nào đó trở đi, đều nhỏ hơn số âm đó

2 Một vài giới hạn đặc biệt

a) limn k   với k nguyên dương

Khi làm bài tập trắc nghiệm, ta có thể làm như bài tập tự luận, sau khi tính toán sẽ chọn kết quả phù

hợp với yêu cầu của bài toán

Ngoài ra có thể sử dụng các nhận xét để có kết quả nhanh chóng, chính xác hơn Có một số bài tập có

thể nhận xét nhanh để loại trừ được những phương án không phù hợp

3 Một vài quy tắc về giới hạn vô cực

Định lý về giới hạn của tích và thương hai hàm số chỉ áp dụng được khi các hàm số có giới hạn

   (dấu “+” nếu hai giới hạn cùng dấu và dấu “-“ nếu hai giới hạn khác dấu

Các quy tắc trên vẫn được áp dụng cho các trường hợp :

0

xx, xx0 , x  và x 

HÀM SỐ LIÊN TỤC

1 Hàm số liên tục tại một điểm

Định nghĩa: Giả sử hàm số f x  xác định trên khoảng K và x0K Hàm số y f x  gọi là

liên tục tại xx0 nếu    

Hàm số không liên tục tại xx0 gọi là gián đoạn tại x 0

2 Hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn

Hàm số y f x  liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm trên khoảng đó Hàm số

Định lý 1: Hàm số đa thức liên tục trên tập Hàm số phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) và

các hàm số lượng giác ysinx , ycosx , ytanx, ycotx là những hàm số liên tục trên tập xác

định của chúng

Định lý 2 Giả sử y f x  và yg x  là hai hàm số liên tục tại điểm x Khi đó: 0

a) Các hàm số y f x g x , y f x g x  và y f x g x    liên tục tại điểm x 0

b) Hàm số  

 

f x y

g x

 liên tục tại x nếu 0 g x 0 0

Định lý 3 Nếu hàm số f x  liên tục trên đoạn  a b; và f a f b    0 thì tồn tại ít nhất một điểm

1

n n k

u 

Câu 3 Tìm giá trị đúng của 2 1 1 1 1 1

n

k

k u





Câu 12 Tính giới hạn của dãy số 2

1

n n k

n u

1

q q

Câu 20 Cho dãy số có giới hạn (un) xác định bởi:

1

1

121, 12

Tìm limu với n n 1n 2n 2011n

k

 Tìm limu với n n 1n 2n 2011n

Câu 27 Cho dãy số xác định bởi với mọi Gọi là tổng số hạng

đàu tiên của dãy số Tìm

43

A C B D

Câu 30 Cho dãy số xác định bởi với mọi Khi đó bằng

Câu 31 Cho dãy số được xác định bởi với mọi , trong đó

và là các số thực cho trước, Tìm giới hạn của

Câu 32 Cho dãy số với , trong đó là tham số Để có giới hạn bằng 2 thì

giá trị của tham số a là?

lim( 1n an b ) 0

10

a b

a b

a b

a b

1 3 3 3lim

5

k n

k k

17200

18

8 11 7lim





A B C D

Câu 47 Cho và là các tham số thực Biết rằng và thỏa

mãn hệ thức nào trong các hệ thức dưới đây?

ax A

Câu 56 Tìm giới hạn

0

(2 1)(3 1)(4 1) 1lim

n x

1 1 1lim

1

n

n x

Câu 65 Cho và là các số thực khác Biết số lớn hơn trong hai số

và là số nào trong các số dưới đây?

Câu 66 Biết trong đó là phân số tối giản, và là

các số nguyên dương T m bội số chung nhỏ nhất của và

Câu 67 Cho và là các số nguyên dương Biết , hỏi và

thỏa mãn hệ thức nào dưới đây?

Câu 68 Tìm giới hạn lim [ (n 1)( 2) ( ) ]

n x

sin( )

m n x

x A

n

x

ax M

x

ax bx

3 0

Câu 75 Cho ( )f x là đa thức thỏa mãn



 Tính

3 2 3

5 ( ) 11 4lim

6

x

f x T

02

ax

e khix x

Câu 78 Cho hàm số  

2 3

, 12

, 0 11

A f x  liên tục trên B f x  liên tục trên \ 0 

C f x  liên tục trên \ 1  D f x  liên tục trên \ 0;1 

Câu 79 Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số  

khi 01

khi 01

x x

Biết rằng a, b là giá trị thực để hàm số liên tục

tại x09 Tính giá trị của P a b

A Phương tr nh vô nghiệm với mọi

B Phương tr nh có ít nhất một nghiệm với mọi

C Phương tr nh có ít nhất hai nghiệm với mọi

D Phương tr nh có ít nhất ba nghiệm với mọi

2

24

neáu x x

3khi 3

m  

C - HƯỚNG DẪN GIẢI

GIỚI HẠN DÃY SỐ

Câu 1 Tìm limu biết n

2 1

1

n n k

  nên suy ra limu n 1

Câu 2 Tìm limu biết n

dau can

2 2 2

n n

2

2 2 2

n n

n u

n

n u

n A n

     và so đáp án (có thể thay 100 bằng số nhỏ hơn hoặc lớn hơn)

Câu 9 Tính giới hạn của dãy số

Câu 10 Tính giới hạn của dãy số

n

k

k u

n u

1

q q

1(1 )

1

n n n

2 3

Ta có 1, ,a a2, ,a là một cấp số nhân công bội a n

A limu n 1 B limu n 4 C limu n 3 D limu n 0



 với

*

n

Dễ dàng chứng minh dự đoán trên bằng phương pháp quy nạp

Từ đó lim lim lim 1 1

1

n

n u

Từ công thức truy hồi ta có: x n1x n,  n 1, 2,

Nên dãy (x là dãy số tăng )

Giả sử dãy (x là dãy bị chặn trên, khi đó sẽ tồn tại lim n) x n x

Với x là nghiệm của phương tr nh: 2

10

k

Tìm limu với n n 1n 2n 2011n

k

 Tìm limu với n n 1n 2n 2011n

Ta có au0bv0n au bv,  n suy ra a u u(  0)b v v(  0)0 do đó tồn tại k nguyên

dương sao cho u u0 kb v,  v0 ka Do v là số nguyên dương nên 0

x x  và so đáp án

Câu 27 Cho dãy số xác định bởi với mọi Gọi là tổng số hạng

đàu tiên của dãy số Tìm

Hướng dẫn giải

Chọn B

bội Gọi là tổng số hạng đầu tiên của

Cách 2: Sử dụng MTCT Nhập vào màn hình:

Bấm r, máy hỏi A? nhập , máy hỏi X? nhập , máy hỏi Y? Nhập , bấm =

liên tiếp ta thấy giá trị của A ngày một tăng cao

Câu 28 Cho dãy số xác định bởi với mọi Tìm

1

1.1

n n

43

Vậy giới hạn của dãy số trong trường hợp này bằng

Bổ sung: Cho dãy số được xác định bởi , , với ,

trong đó là các số thực cho trước, Người ta chứng minh được rằng

Giả sử dãy có giới hạn hữu hạn Khi đó ta có:

Tuy nhiên đến đây ta không còn căn cứ để kết luận hay

Ta sử dụng MTCT tương tự như bài tập trên thì thấy rằng giới hạn của dãy số là Vậy

1, 66666667

3



53

L L





Nhận xét: Ở bài này sẽ phải bấm phím = liên tiếp khá nhiều lần, do khi chưa đủ lớn thì

chênh lệch giữa và là khá xa nên giá trị của khá xa so với

Câu 31 Cho dãy số được xác định bởi với mọi , trong đó

và là các số thực cho trước, Tìm giới hạn của

Hướng dẫn giải

Chọn C

Đây là một bài toán chứa tham số

Vì là bài toán trắc nghiệm nên có một cách là cho và các giá trị cụ thể, rồi sử dụng

Dùng cách tìm dạng phân số của số thập phân vô hạn tuần hoàn , ta được

Vậy giới hạn của dãy số trong trường hợp này bằng

n

n u

n n

3

Bổ sung: Cho dãy số được xác định bởi , , , trong

đó là các số thực cho trước,

a) Chứng minh dãy là dãy giảm, còn dãy là dãy tăng

d) Chứng minh rằng có giới hạn và giới hạn đó là

Câu 32 Cho dãy số với , trong đó là tham số Để có giới hạn bằng 2 thì

giá trị của tham số là?

lim( n an 5 n bn3)22

a b

a b

a b

a b

1 3 3 3lim

5

k n

k k

17200

18

1 1 2

1 1

1 1

1 1

0 1

1 1

0 0 1

2 2 3 3

2 2

3 4

4)(

lim))(

(lim

a x

a xa a x x a x a

x

a x

a x a

x a





Câu 41 Cho là tham số thực Tìm để

Đặt Rõ ràng là nếu thì không thể hữu hạn Do đó

điều kiện đầu tiên là

1lim

)1)(

1(

)1)(

1(lim1

1lim

1 1

2 2 1

m x

m x x

x

m x x x

m mx x C

x x

2 

 x

x g x

( )

g 2  0 2a b  4

)2)(

2()(x x x b

22)2(lim2

)(lim

2 2

b b

x x

x g

86

2262

)(lim

3 2 2

8 11 7lim

8x 11 x+73x 2

( 2)( 1)( 7 3)( 2)( 1)( (8x 11) 3 8 11 9)

3 2 2

8x 11 x+7 8 1 7lim

6x 9 27x-54(x 3)(x 3x-18)

 

3 2

6x 9 27x-54(x 3) (x 6)

 



3 2 3

6x 9 27x-54 1lim

6x 9 27x-54 1lim

Ta có

Do đó

Câu 47 Cho và là các tham số thực Biết rằng và thỏa

mãn hệ thức nào trong các hệ thức dưới đây?

Cách : Cho a một giá trị cụ thể, chẳng hạn thay vào hàm số rồi sử dụng MTCT để

là hữu hạn th điều kiện cần là

x x

x x

1 2 0

lim(1 )n (1 )n 1 1

ax A

1 1 1lim

1

n

n x

lim)(

Câu 65 Cho và là các số thực khác Biết số lớn hơn trong hai số

và là số nào trong các số dưới đây?

22

Do đó nếu th Vậy Khi đó ta có

Vậy: DO đó số lớn hơn trong hai số và là số

Câu 66 Biết trong đó là phân số tối giản, và là

các số nguyên dương T m bội số chung nhỏ nhất của và

Hướng dẫn giải

Đáp án

Cách 1: Sử dụng MTCT tính giá trị hàm số tại ta được kết quả

p dụng k thuật t m dạng phân số của số thập phân vô hạn tuần hoàn ta có

Vậy

Từ đó chọn đáp án đúng là A

Cách :

Suy ra

Câu 67 Cho và là các số nguyên dương Biết , hỏi và

thỏa mãn hệ thức nào dưới đây?

m

n  527

àm tương tự như câu , ta có:

Do đó Suy ra là số chẵn Vậy là số chẵn Từ đó loại đáp án và C

Giải hệ được

Giải hệ được (loại)

Câu 68 Tìm giới hạn lim [ (n 1)( 2) ( ) ]

n x

n x

n x

x

ax bx

Cách 2: Cho và các giá trị cụ thể, thay vào rồi tính giới han Chẳng hạn với ,

Cách 2: Sử dụng MTCT Với mỗi đáp án, chọn các giá trị cụ thể của thỏa mãn hệ thức

rồi thay vào để tính giới hạn Nếu giới hạn t m được bằng th đó là đáp án đúng

Chẳng hạn, với đáp án , chọn , sử dụng MTCT tính được

Vậy A không phải là đáp án đúng

Tương tự vậy B và C cũng không phải là đáp án đúng

Câu 71 Cho và là các số nguyên dương phân biệt Giới hạn bằng:

a b c

3 0

sin( )

m n x

x A

2

cos 1 1 coslim

n

x

ax M



n( 1) 1lim

 Tính

3 2 3

5 ( ) 11 4lim

6

x

f x T

HÀM SỐ LIÊN TỤC

Câu 76 Cho hàm số  

1

0,1

02

ax

e khix x

, 12

, 0 11

A f x  liên tục trên B f x  liên tục trên \ 0 

C f x  liên tục trên \ 1  D f x  liên tục trên \ 0;1 

Với x0 ta có f x xsinx liên tục trên khoảng ; 0  3

x x

Vậy hàm số liên tục tại x0  4

Từ  1 ,  2 ,  3 và  4 suy ra hàm số liên tục trên

Câu 79 Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số  

khi 01

khi 01

x x

x nên hàm số liên tục trên khoảng \ 1 

Do đó hàm số liên tục trên khi và chỉ khi hàm số liên tục tại x1

Ta có: (1)f 3m2

3

2 2 1lim ( ) lim

Nên hàm số liên tục tại 1 3 2 2 4

Để hàm số liên tục trên thì hàm số phải liên tục trên khoảng ; 2 và liên tục tại x2

 Hàm số liên tục trên ; 2 khi và chỉ khi tam thức

2 1

2' 2

26

2

24

neáu x x

Tương tự ta có (có thể dùng MTCT để tính giới hạn của hàm số)

Vậy nên không tồn tại Vậy với mọi , hàm số đã cho

không liên tục tại

3khi 3

Biết rằng a, b là giá trị thực để hàm số liên tục

tại x09 Tính giá trị của P a b

A Phương tr nh vô nghiệm với mọi

B Phương tr nh có ít nhất một nghiệm với mọi

C Phương tr nh có ít nhất hai nghiệm với mọi

D Phương tr nh có ít nhất ba nghiệm với mọi

Hướng dẫn giải

Chọn B

Dễ thấy th phương tr nh trở thành Vậy A, C, D sai Do

đó B đúng

Giải thích thêm: Xét bài toán “Chứng minh rằng phương tr nh

luôn có ít nhất một nghiệm với mọi ” Ta có lời giải cụ thể như sau:

+ với mọi nên tồn tại một giá trị sao cho

+ với mọi nên tồn tại một giá trị sao cho

Vậy mà liên tục trên nên suy ra có ít nhất một nghiệm

trên khoảng Từ đó suy ra ĐPCM

A B C D

Hướng dẫn giải

Chọn D

+ Nếu th phương tr nh đã cho trở thành

+ Nếu phương tr nh đã cho là một đa thưc bậc lẻ (bậc 4035) nên theo kết

quả đã biết, phương tr nh có ít nhất một nghiệm

Vậy với mọi phương tr nh đã cho luôn có ít nhất một nghiệm

2m 5m2 x1 x  2 2x 3 0

1

\ ; 22