Các đường cao của một tam giác có ba góc nhọn ABC cắt nhau tại H.. Chứng minh rằng: a Tứ giác AOMN nội tiếp được một đường tròn và NP = AN + BP.. Từ một điểm P ở ngoài đường tròn tâm O,
Trang 1§¹i Sè 9 Chuyªn §Ị H×nh häc
Vấn đề 1 Hệ thức lượng trong tam giác vuông
Bài 1 Cho tam giác ABC, góc A vuông, I là trung điểm của AB và IH ⊥BC H( ∈BC) Chứng minh rằng:
HC −HB = AC
Bài 2 Cho tam giác ABC, đường cao AH Vẽ HD⊥ AB D AB HE( ∈ ), ⊥AC E AC( ∈ ) Chứng minh rằng:
AED ABC
∠ = ∠
Bài 3 Các đường cao của một tam giác có ba góc nhọn ABC cắt nhau tại H Trên các đoạn thẳng HB và
HC, người ta lấy các điểm B1 và C1 sao cho 0
∠ = ∠ = Chứng minh rằng: AB1 = AC1
Bài 3 Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao Kẻ HD⊥AB HE, ⊥AC (D và E tương ứng ở trên
AB, AC) Chứng minh các hệ thức: 3 3
AH BD CE BC EC
Vấn đề 2 Tam giác đồng dạng
Bài 1 Cho tứ giác ABCD có các góc ABC và ADB vuông H là hình chiếu vuông góc của D xuống AB
Đường tròn tâm A bán kính AD cắt đường tròn đường kính AC tại M và N ( M ở trên cung nhỏ AB)
a) Chứng minh rằng tam giác HAM đồng dạng với tam giác MAB.
b) Chứng minh N, M, H thẳng hàng.
Bài 2 Cho M là điểm bất kỳ trên nửa đường tròn tâm O; đường kính AB = 2R ( M không trùng với A và B).
vẽ các tiếp tuyến Ax, By, Mz của nửa đường tròn đó Đường thẳng Mz cắt Ax, By lần lượt tại N, P Đường thẳng Am cắt By tại C và đường thẳng BM cắt Ax tại D Chứng minh rằng:
a) Tứ giác AOMN nội tiếp được một đường tròn và NP = AN + BP.
b) Các điểm N và P lần lượt là các trung điểm của đoạn thẳng AD và BC
c) AD.BC = 4R2
Vấn đề 3 Góc trong đường tròn
Bài 1 Từ một điểm P ở ngoài đường tròn tâm O, ta kẻ hai tiếp tuyến PA, PB đến đường tròn Lấy một điểm
C nào đó trên cung nhỏ AB và kẻ các đường vuông góc CD, CE, CF lần lượt xuống các đường thẳng AB,
BP, PA Chứng minh rằng:
a) ∠DCF = ∠DCE
b) ∠DFC= ∠CDE
Bài 2 Cho tam giác ABC nội tiếp trong một đường tròn tâm O; H là chân đường cao kẻ từ đỉnh A xuống
cạnh BC Chứng minh: ∠OAC= ∠BAH
Bài 3 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Qua điểm I thuộc nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến xy Gọi
C, D theo thứ tự là hình chiếu của A, B trên xy
a) So sánh các độ dài IC và ID
b) Chứng minh rằng khi điểm I di chuyển trên nửa đường tròn thì AC + BD không đổi
c) Chứng minh rằng AI là tia phân giác của góc OAC, BI là tia phân giác góc OBD
d) Xét vị trí tương đối giữa AB và đường tròn có đường kính là CD
e) Bán kính IO có vị trí nào thì CD có độ dài lớn nhất?
Bài 4 Cho đường tròn O và hai dây AB và AC sao cho AB = AC Trên cung AC lấy một điểm M Gọi S là
giao điểm của tia AM và tia BC Chứng minh ASC∠ = ∠MCA
Bài 5 Cho tam giác ABC cân tại B nội tiếp trong đường tròn tâm O Trên cung AC không chứa điểm B lấy
hai điểm M và K theo thứ tự A, K, M, C Các đoạn thẳng AM và BK cắt nhau tại E, còn các đoạn thẳng KC và BM cắt nhau tại D Chứng minh rằng ED song song với AC
Trang 2§¹i Sè 9 Chuyªn §Ị H×nh häc
Bài 6 Cho đường tròn (O, R) và điểm M cố định không ở trên đường tròn Qua M, vẽ một cát tuyến cắt
đường tròn tại A và B Chứng minh rằng tích MA.MB không phụ thuộc vị trí của cát tuyến
Vấn đề 4 Chứng minh đường thẳng tiếp xúc với đường tròn.
Bài 1: Cho đường tròn tâm O, đường kính AB và một điểm C thuộc đường tròn Từ O, kẻ đường thẳng song
song với dây AC, đường này cắt tiếp tuyến tại B với đường tròn ở điểm D Chứng minh: Đường thẳng DC là tiếp tuyến của đường tròn tại điểm C
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông góc tại đỉnh A và đường cao AH Từ các điểm B và C kẻ các tiếp tuyến BD
và CE đến đường tròn tâm A, bán kính AH Chứng minh: DE là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC
Bài 3 Cho hai đường tròn tâm I và J tiếp xúc ngoài với nhau tại điểm A Tiếp tuyến chung ngoài tiếp xúc
với hai đường tròn ấy tại các điểm B và C Tiếp tuyến chung tại A cắt BC ở E Chứng minh:
a) IJ là một tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC
b) BC là tiếp tuyến tại điểm E của đường tròn đường kính IJ
Bài 4 Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB Lấy các điểm C, D thuộc cung AB sao cho cung CD ).
Gọi E là giao điểm của AC và BD Gọi F là giao điểm của AD và BC
a) Tính số đo góc AFB
b) Chứng minh ECDF là tứ giác nội tiếp
c) Kh cho »CD=900 (C thuộc i các điểm C, D di chuyển trên nửa đường tròn thì điểm F chuyển động trên đường nào?
d) Chứng minh rằng OD là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tứ giác ECDF
Vấn đề 5 Tứ giác nội tiếp Bài 1 Cho một đường tròn và AB là một cung của đường tròn ấy; S là điểm chính giữa của cung AB; E và H
là hai điểm bất kỳ trên dây cung AB Các đường thẳng SE, SH lần lượt cắt đường tròn tại các điểm C và D Chứng minh rằng tứ giác CDHE nội tiếp được
Bài 2 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) có AB = BD Tiếp tuyến tại A của đường tròn cắt BC tại
Q Hai cạnh AB và CD cắt nhau tại R
a) Chứng minh rằng tứ giác AQRC nội tiếp
b) Chứng minh QR // AD
Bài 3 Cho hình vuông ABCD, điểm E thuộc cạnh BC Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với DE, đường
vuông góc đó cắt đường thẳng DE ở H và cắt đường thẳng DC ở K
a) Chứng minh tứ giác BHCD là tứ giác nội tiếp
b) Tính số đo góc CHK
c) Chứng minh KC.KD = KH.KB
d) Khi điểm E di chuyển trên cạnh BC thì điểm H di chuyển trên đường nào?
Vấn đề 6 Sử dụng tích chất đường phân giác trong chứng minh đẳng thức
Bài 1 Từ một điểm P nằm ngoài đường tròn (O, R), kẻ hai tiếp tuyến PM và PN với đường tròn (O) (M, N
là tiếp điểm) Đường thẳng đi qua điểm P cắt đường tròn (O) tại hai điểm E và F (đường thẳng không đi qua tâm O) Đường thẳng qua O song song với PM cắt PN tại Q Gọi H là trung điểm của đoạn EF Chứng minh rằng:
a) Chứng minh rằng PO vuông góc với MN
b) Tứ giác PMON nội tiếp đường tròn