Khai thác tối đa bài toán hình học 9

Khai thác tối đa bài toán hình học 9 Khai thác tối đa bài toán hình học 9 Khai thác tối đa bài toán hình học 9 Khai thác tối đa bài toán hình học 9 Khai thác tối đa bài toán hình học 9 Khai thác tối đa bài toán hình học 9 Khai thác tối đa bài toán hình học 9 Khai thác tối đa bài toán hình học 9 Khai thác tối đa bài toán hình học 9 Khai thác tối đa bài toán hình học 9 Khai thác tối đa bài toán hình học 9 Khai thác tối đa bài toán hình học 9 Khai thác tối đa bài toán hình học 9 Khai thác tối đa bài toán hình học 9 Khai thác tối đa bài toán hình học 9 Khai thác tối đa bài toán hình học 9 Khai thác tối đa bài toán hình học 9 Khai thác tối đa bài toán hình học 9 Khai thác tối đa bài toán hình học 9 Khai thác tối đa bài toán hình học 9 Khai thác tối đa bài toán hình học 9 Khai thác tối đa bài toán hình học 9

Bài 1: Cho DABC nhọn nội tiếp ( )O ; AD BE CF; ; là ba đường cao Chứng minh OA ^EF

Hướng dẫn giải

Vẽ xy là tiếp tuyến tại A của

(O)

µ ·

1

A ABC

(cùng chắn

¼

AC

)

AEF =ABC

(BCEF nội tiếp)

µ ·

1

A AEF

mà hai góc này ở vị trí so le trong nên EF/ / xy mà

EF

OA ^xyÞ OA ^

ACK

(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O))

AKC A

AKC =ABC

( 2 góc nội tiếp cùng chắn AC¼ )

·

1

ˆ

ABC =E

(BCEF nội tiếp)

AKC AEF

AEF +A = °

Gọi M là giao điểm của OA và EF Þ DAME vuông tại M Chú ý: OB ^DF và OC ^DE

Bài 2: Cho DABC nhọn, AD BE CF; ; là ba đường cao cắt nhau tại H a) Chứng minh AEHF là tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh tứ giác BCFE nội tiếp

Hướng dẫn giải

a) · ·

0

90

AEH =AFH =

(BE, CF là 2 đường cao)

AEH AFH

⇒ Tứ giác AEHF nội tiếp

* Xác định tâm"

·AEH

Þ

là góc nội tiếp và AEH =· 90°

⇒ AH là đường kính Tâm đường tròn

này là trung điểm của AH

b) · ·

0

90

BEC =BFC =

⇒ BC là đường kính Tâm đường tròn này là trung điểm của BC 1) Tứ giác loại 1:

- BDHF nội tiếp Tâm là trung điểm của BH

- CDHE nội tiếp Tâm là trung điểm của CH

2) Tứ giác loại 2:

- ABDE nội tiếp Tâm là trung điểm của AB

- ACDF nội tiếp Tâm là trung điểm của AC

Bài 3: Cho DABC nhọn, AD BE CF; ; là ba đường cao cắt nhau tại H Chứng minh H là tâm đường tròn nội tiếp DDEF

Hướng dẫn giải

Tứ giác BCEF nội tiếp

µ ¶

F B

( hai góc nội tiếp cùng chắn

¼

EC

)

Tức giác BDHF nội tiếp

µ ¶

F B

(hai góc nội tiếp cùng chắn

¼

HD

)

µ µ

F F

FH

Þ

là đường phân giác của ·DFE

Tương tự DH là phân giác của ·EDF

Vậy H là giao điểm các đường phân

giác trong DDEF nên H là tâm đường

tròn nội tiếp DDEF

Bài 4: Cho DABC nhọn, AD BE CF; ; là ba đường cao cắt nhau tại H O là trung điểm của BC Chứng minh F, E, O, D cùng thuộc một đường tròn

Hướng dẫn giải

Từ bài tập 3 ta có

1

EFD = 2B

Tam giác OBE cân tại O có

1

2

EOC = B

(góc ngoài tam giác)

EFD+EOD =EOD+EOC = 180 °

Vậy tứ giác FEOD nội tiếp hay

4 điểm E, F, D, O cùng thuộc

một đường tròn

Bài 5: Cho DABC nhọn, AD BE CF; ; là ba đường cao cắt nhau tại H Vẽ đường kính AK Chứng minh rằng BHCK là hình bình hành

Hướng dẫn giải

Chỉ ra BE KC/ / Þ BH KC/ /

Chỉ ra CF KB/ / Þ CH/ / K B

Từ đó suy ra BHCK là hình bình

hành

Bổ trợ: Gọi M là trung điểm

của BC, chứng minh rằng H, M,

K thẳng hàng

và

1

2

OM = AH

Bài 6: Cho DABC nhọn, AD BE CF; ; là ba đường cao cắt nhau tại H AH cắt ( )O tại D' Chứng minh D' và H đối xứng nhau qua BC

Hướng dẫn giải

HD:

¶ µ

B =A

(cùng phụ với ·ACB

)

¶ µ

B =A

(cùng chắn D C¼'

)

¶ ¶

B B

BD vừa là đường cao, vừa là tia

phân giác trong tam giác BHD

tại đỉnh B nên DBHD' là tam

giác cân và BD là đường trung

trực của HD'

Vậy D' và H đối xứng nhau

qua BC

Mở rộng:

'

F

đối xứng với H qua F

'

E

đối xứng với H qua E

EF

là đường trung bình của

' '

HF E

D

Bài 7:

a)ABC và ADE là hai cát tuyến của (O) Chứng minh AB AC. =AD AE. b) ABC là cát tuyến của (O), AD là tiếp tuyến của (O) Chứng minh

AD =AB AC

Hướng dẫn giải

a) DABE”DADC (g.g)

AB AE AB AC AD AE

AD AC

b)

1

BCD =D

(góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung)

µA

là góc chung

ABD ADC

D ” D

(g.g)

AB AD

AD AB AC

AD AC

Khai thác:

AD =OA - OD =OA - R

.

AB AC =OA - R =AD

Bài 8: BC, DE là hai dây của ( )O cắt nhau tại A Chứng minh

AB AC =AD AE

Hướng dẫn giải

ACE ADB

D ” D

(g.g)

AC AE

AC AB AD AE

AD AB

Bài 9: DABC nhọn, AD, BE, CF là các đường cao cắt nhau tại H Chứng minh DB DC. =DH DA.

Hướng dẫn giải

DBH DAC

D ” D

(g.g)

DB DH DB DC DA DH

DA DC

Bài 10: Cho (O) đường kính AB, dây CD ^AB tại H Tiếp tuyến tại C cắt

AB tại M Chứng minh BM AH. =BH AM.

Hướng dẫn giải

CD ^AB Þ BC =BD

¶ ¶

C =C

CB

Þ

là tia phân giác trong góc

HCM

của DHCM

BH CH

BM CM

( )1

ACB = ° Þ CA

là tia phân giác ngoài góc C của DHCM

AH CH

AM CM

Þ = ( )2

Từ ( )1

và ( )2 Þ BM BH =AM AH

BM AH BH AM

Bài 11: Cho (O; R) đường kính AB, tiếp tuyến tại B và C cắt nhau tại D;

kẻ CH ^AB Chứng minh AD đi qua trung điểm I của CH

Hướng dẫn giải

C1: IH DB/ /

2

IH AH AH

DB = AB = R

Chỉ ra OD AC/ / (cùng vuông góc

với BC)

( )

CHA DBO gg

Þ D ” D

CH AH AH

DB BO R

Từ đó suy ra

1 2

IH = CH

C2: Kéo dài AC cắt BD tại E.

Chỉ ra DE =DB =DC

Talet chỉ ra

AI IH IC

AD =BD =DE

Từ đó suy ra CI =IH