Gọi Ax và By là các tia vuông góc với AB Ax , By và nửa đường tròn cùng một nửa mặt phẳng bờ AB.. Cho tam giác ABC vuông tại A.. Trên nửa mặt phẳng chứa điểm A bờ BC vẽ tia Bx vuông gó
Trang 1BÀI TẬP ÔN HỌC KỲ 1 (09-10) TOÁN HÌNH HỌC 9
Bài 1 Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R Gọi Ax và By là các tia vuông góc
với AB ( Ax , By và nửa đường tròn cùng một nửa mặt phẳng bờ AB ) Gọi M là một điểm bất kỳ thuộc Ax Qua M Kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn , cắt By tại N a/ Tính
số đo góc MON
b/ Chứng minh rằng : MN=AM + BN
c/ Chứng minh rằng : AM BN =R2
Giải:
Vẽ hình đúng
Gọi I là tiếp tuyến của MN với nửa đường tròn
a) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có
M ^
O A = M ^
O I ( =
2
^
I O
A )
N ^
O I = N ^
O B ( =
2
^
I O
B )
Mà A ^
O I và B ^
O I kề bù
Do đó M ^
O I + I ^
O N = 900 hay M ^
O
N = 900
b) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có
AM=MI và MI = BN
Mà MI+IN = MN Nên MN=AM+BN c) Trong tam giác vuông OMN
Ta có OI2= MI IN (hệ thức h2= b’ c’)
Mà AM=MI và MI = BN Suy ra R2= AM.BN
Bài 2 : Cho ΔABC vuông tại A có AB = 6 cm , AC = 8 cm Kẻ đường cao AH
a)Tính BC , AH , HB , HC
b)Tính giá trị của biểu thức Q = sinB + cosB
Giải:
a)Vẽ hình đúng Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông
ABC Ta có :BC2= AB2+AC2 =102
BC = 10 (cm)
AH =
BC
AC AB.
=
10
8 6
= 4,8 (cm)
HB =
BC
AB2
=
10
6 2
= 3,6 (cm)
HC = 10 -3,6 = 6,4 (cm)
b)Q = sinB + cosB
=
10
8
+
10
6
=
10
14
=
5
7
Bài 3
Trang 2Cho tam giác ABC vuông tại A Trên nửa mặt phẳng chứa điểm A bờ BC vẽ tia Bx vuông góc với BC Gọi M là trung điểm của đoạn BC Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với AB , cắt Bx tại O
1)Chứng minh rằng BC là tiếp tuyến của đường tròn (O;OA)
2) Chứng minh rằng bốn điểm O,A,M,B cùng nằm trên một đường tròn
Giải:
Vẽ hình đúng 1)Chứng minh rằng BC là tiếp tuyến của đường tròn
(O;OA)
Gọi I là giao điểm của MO vá AB Theo đề bài MI là đường trung bình của tam giác ABC nên IA=IB
Do đó tam giác OAB cân tại O (MI vừa là đường cao vừa là trung tuyến)
Suy ra : OA =OB
Mà OB vuông góc với BC
Vì vậy BC là tiếp tuyến của đường tròn (O;OA)
2)Chứng minh rằng bốn điểm O,A,M,B cùng nằm trên một đường tròn
Tam giác BOM vuông tại B nên ba điểm B,O,M cùng nằm trên đường tròn có tâm là
trung điểm cạnh huyền MO
Xét hai tam giác BOM và AOM có
OA=OB
^
AOM = ^
BOM (do tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
MO là cạnh chung )
Vì vậy ΔBOM=ΔAOM (c,g,c)
Do đó Tam giác AOM vuông tại A nên ba điểm A,O,M cùng nằm trên đường tròn có tâm
là trung điểm cạnh huyền MO
Vậy bốn điểm O,A,M,B cùng nằm trên một đường tròn
Bài 4 :
Một cái thang dài 4 m , đặt dựa vào tường , góc giữa thang và mặt đất là 600
Hãy vẽ hình minh họa và tính khoảng cách từ chân thang đến tường
Giải:
Vẽ hình đúng
Khoảng cách chân thang đến tường là : 4 cos 600
= 4 21 = 2 (m)
Bài 5:
Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB =2R Kẻ các tiếp tuyến Ax ; By cùng phía với nửa đường tròn đối với AB Vẽ bán kính OE bất kỳ Tiếp tuyến của nửa đường tròn tại E cắt Ax , By theo thứ tự tại C và D
Chứng minh rằng :
a/CD=AC+BD
B/ ^
COD =900
C/ Tích AC.BD = R2
Giải:
a/ CD=AC+BD Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau Thì
Trang 3AC= EC và BD=ED mà DC = EC+ED Nên CD = AC+BD b/ ^
COD =900
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có
C ^
O A = C ^
O E ( =
2
^
E O
A )
E ^
O D = B ^
OD ( =
2
^
B O
E )
Mà A ^
O E và E ^
O B kề bù
Do đó C ^
O E + EB = 900 hay C ^
O D = 900
c/ Tích AC.BD = R2
Trong tam giác vuông OCD
Ta có OE2= EC ED (hệ thức h2= b’ c’) mà AC= EC và BD=ED Suy ra R2= AC.BD
Bài 6:
Cho tam giác ABC vuông tại A , có BC= 5 Cm , AB =2AC
a/Tính AB
b/Kẻ đường cao AH Tính HB , AH
c/Tính tg ^
BAH , Suy ra giá trị gần đúng của số đo ^
BAH
d/Vẽ hai đường tròn (B;BA) và (C;CA) Gọi E là giao điểm thứ hai của hai đường tròn Chứng minh CE là tiếp tuyến của đường tròn (B)
Giải:
Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông , ta có AB2+
2
2
AB = BC2
AB2+
4
2
AB
= BC2
4
4AB2
+
4
2
AB
= BC2
4
5AB2
= BC2 5AB2 = 4BC2
AB2 =
5
4BC2 =
5
5
4 2
= 20 AB= 20= 2 5 (cm) b)Kẻ đường cao AH Tính HB , AH
Ta có AC= AB2 =
2
5
2 = 5(cm) AH.BC=AB.AC (hệ thức h.a=b.c )
AH=
BC
AC
AB.
=
5
5 5
2 = 2 (cm)
AB2= BC.HB ( Hệ thức c2=a.c’)
Suy ra HB=
BC
AB2
=
5
) 5 2
= 4 (cm)
c)Tính tg ^
BAH , Suy ra giá trị gần đúng của
số đo ^
BAH
Ta có tg ^
BAH = AH HB = 24 = 2 Suy ra ^
c) Xét hai tam giác ABC và EBC có
Trang 4BA=BE (là bán kính đường tròn (B;BA) )
CA =CE (là bán kính đường tròn (C;CA) )
BC là cạnh chung
Suy ra ΔABC=ΔEBC (c,c,c)
Mà ^
A =900 nên ^
E = 900 Hay CE vuông góc với bán kính BE tại tiếp điểm E Vậy : CE là tiếp tuyến của đường tròn (B;BA)
