Tự chọn Toán 9 - Từ tuần 1 đến tuần 4

Chủ đề tự chọnChủ đề i Căn thức bậc hai I/ Mục tiêu : -Nắm vững định nghĩa, ký hiệu căn bậc hai số học và sử dụng tốt các kiến thức này để chứng minh một số tính chất của phép khai phơng

Chủ đề tự chọn

Chủ đề i

Căn thức bậc hai

I/ Mục tiêu :

-Nắm vững định nghĩa, ký hiệu căn bậc hai số học và sử dụng tốt các kiến thức này

để chứng minh một số tính chất của phép khai phơng

-Nắm vững các phép biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai

-Vận dụng tốt các kiến thức này để tính toán, so sánh số, giải toán về biểu thức chứa căn thức bậc hai

-Sử dụng thành thạo bảng, máy tính casio để tìm căn bậc hai của một số

II/ Nội dung chính

- Căn bậc hai, căn thức bậc hai và hằng đẳng thức = | A|

- Liên hệ giữa phép nhân, phép chia với phép khai phơng

- Các phép biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai

III/ nội dung cụ thể

Tuần thứ 01

Ngày soạn: 14/ 08/ 09

Ngày dạy: / 08/ 09

Tiết 1- Đ1.Căn bậc hai – căn thức bậc hai

và hằng đẳng thức = | A|

i

) Tóm tắt kiến thức cơ bản :

1)Định nghĩa căn bậc hai của một số a không âm ?

+ Căn bậc hai của một số a không âm là một số x sao cho x2 = a

+Số dơng a có đúng hai căn bậc hai đối nhau : căn bậc hai dơng của a là( ) và căn bậc hai âm của a là ( – )

+Số 0 có đúng một căn bậc hai là chính số 0, ta viết = 0

2)Định nghĩa căn bậc hai số học ?

+Với số dơng a, số đợc gọi là căn bậc hai số học của a

Số 0 cũng đợc gọi là căn bậc hai số học của 0

Ký hiệu x =

Nh

vậy : Với a ≥ 0 , ta có :

Nếu x = thì x ≥ 0 và x2 = a Nếu x≥ 0 và x2 = a thì x =

Ta viết :







=

≥

⇔

=

a x

x a

Ví dụ : Điền vào ô trống trong bảng sau

2

Giải :

m

3)So sánh các căn bậc hai số học :

+Định lý : Với hai số a, b không âm, ta có : a < b <=> <

Ví dụ : So sánh : a) và 2 ; b) 3+ 5 và 9 ; c) + và

Giải :

a) Ta có : 2 = , mà 4 < 5 => < hay 2 <

b) Giả sử : 3+ 5 > 9

<=> 3 > 9 – 5

<=> 3 > 4

<=> (3)2 > 42

<=> 9.2 > 16

<=> 18 > 16 (đúng)

Vậy 3+ 5 > 9

c) Giả sử + ≥

<=> ( + )2 ≥ ()2

<=> 8 + 2 + 11 ≥ 38

<=> 19 + 2 ≥ 38

<=> 2 ≥ 19

<=> (2)2≥ 192

<=> 4.88 > 361

<=> 352 ≥ 361 (Vô lý)

Vậy + <

4)Căn thức bậc hai :

a) Thế nào là căn thức bậc hai ?

+ Nếu dới dấu căn là một biểu thức đại số thì ta nói đó là một căn thức bậc hai

Ký hiệu : ( Căn thức bậc hai của biểu thức A) - A : biểu thức dới dấu căn hay biểu thức lấy căn

b)Căn thức bậc hai đợc xác định nh thế nào ?

+ xác định (có nghĩa, tồn tại) ⇔A ≥ 0

c)Hằng đẳng thức = | A|

Chứng minh định lý : Với mọi số thực a, ta có : 2

a = | a|

+Hớng dẫn HS chứng minh : -Để chứng minh 2

a = | a| ta phải chứng minh nh thế nào ? (Ta phải chứng minh |a| là căn bậc hai số học của a, nghĩa là ta chứng minh |a| thỏa mãn hai điều kiện : |a| là một số không âm và khi bình phơng thì bằng a2)

-Vì sao |a| là một số không âm ? (vì theo định nghĩa giá trị tuyệt đối của một số) -Để chứng minh |a| bình phơng thì bằng a2 ta cần chú ý điều gì ? ( xét các trờng hợp của a : Trờng hợp a ≥ 0 và a < 0)

-Nếu a ≥ 0 thì ta có kết luận gì về giá trị tuyệt đối của a ? ( Nếu a ≥ 0 thì |a| = a )

-Nếu a < 0 thì ta có kết luận gì về giá trị tuyệt đối của a ? (Nếu a < 0 thì |a| = - a)

+HS trình bày chứng minh :

Ta có : |a| ≥ 0 – Theo định nghĩa giá trị tuyệt đối của a

Nếu a ≥ 0 => |a| = a => (|a|)2 = a2

Nếu a < 0 => |a| = - a => (|a|)2 = (- a)2 = a2

Do đó (|a|)2 = a với mọi số a Vậy |a| chính là căn bậc hai số học của a2, tức là 2

a = | a|

Nếu A là một biểu thức thì ta cũng có : = | A|

Nghĩa là : = A nếu A ≥ 0 (tức là A lấy các giá trị không âm, hay các giá trị của biến có trong A làm cho giá trị A không âm)

= - A nếu A < 0 (tức là A lấy giá trị âm, hay các giá trị của biến có trong A làm cho giá trị A âm)

Tổng quát : = | A| =







<

−

≥

0

A nếu A

0

A nếu A

Ví dụ 1 : Tính : a) 3 ( ) − 5 4 , b) ( ) 8

7

12

13 −

Giải :

a)3 ( ) − 5 4 = 3 [( ) − 5 2]2 = 3 ( ) − 5 2 = 3 ( ) − 5 2 = 3 25 = 75

b) ( ) 7 8 ( ) 7 4 ( ) 7 2 49

=

−

=

−

=

−

c) 13 2 − 12 2 = ( 13 + 12 ) ( 13 − 12 ) = 25 = 5

Ví dụ 2 : Rút gọn

a) ( )2 ( )2

1 3 3

7 − + − ; b) 23 − 8 7 + 8 − 2 7

Gi¶i :

a) (7 − 3)2 + ( 3 − 1)2 = 7 − 3 + 3 − 1 = 7 − 3 + 3 − 1 = 6

7 1 7

4 7 7 1 2 1 7 7 4 2 16 7 2 8 7 8

= 4 − 7 + 1 − 7 = 4 − 7 + 7 − 1 = 3

VÝ dô 3 : Rót gän

a) x2 − 6x+ 9 − x2 + 10x+ 25 , b) 4x2 + 4x+ 1 + 3 x2 − 8x+ 16

Gi¶i :

a) x2 −6x+9− x2 +10x+25 (x+ 5)2 =x− 3 −x+ 5

=









>

−

≤≤−

−−

−<

=









>

−−−

≤≤−

−−+

−

−<

+++

−

3) (nÔu 8

3)x 5 (nÕu 22x

5) (nÔu 8

3) (nÔu 5 x3 x

3)x 5 (nÕu 5x 3x

5) (nÔu 5x 3x

b) 4x2 + 4x+ 1 + 3 x2 − 8x+ 16 = ( 2x+ 1 ) 2 + 3 (x− 4 ) 2 = 2x+ 1 + 3 x− 4

=

( )

( ) ( )



















>

−−

≤≤

− +−

−<

+−

=



















>

− ++

≤≤

−

−

−+

−<

−

−−

−

4)

x (nÕu.

11 5x

4)

x 2

1 (nÕu 13 x

2

1 x (nÕu 11 5x

4)

x (nÕu.

4

x 3 1 2x

4)

x 2

1 (nÕu 4

x 3 1 2x

) 2

1 x (nÕu 4

x 3 1

4)Nh¾c l¹i vµ bæ sung :

a)







=

≥

≥

⇔

=

B A

0) (hoÆcB 0

A

B A

b)







=

≥

⇔= 02

B A

B B

A

c) 





−=

=

⇔

=

⇔

=

B A

B A B A B

A2 2

d) Với A ≥ 0, ta có : x2≤ A2 <=> |x| ≤ A <=> - A ≤ x ≤ A

x2≥ A2 <=> |x| ≥ A <=> 





−

≤

≥

A x

A x

Tuần thứ 02

Ngày soạn: 19/ 08/ 09

Ngày dạy: / 08/ 09

Tiết 2 - Đ1.Căn bậc hai – căn thức bậc hai

và hằng đẳng thức = | A| ( tiếp)

Dạng 1 : Tìm giá trị của biến để căn thức bậc hai có nghĩa :

Phơng pháp giải : A( )x có nghĩa ⇔ A(x) ≥ 0, giải bất phơng trình bậc nhất này

ta tìm đợc các giá trị của x để A( )x xác định

Các bài toán luyện tập :

1)Với giá trị nào của a thì các biểu thức sau có nghĩa

a)

2008

5

3

−

−

a

Giải :

a)

2008

a có nghĩa ⇔ ≥ 0 => a ≥ 0

b) 4 − a có nghĩa ⇔ 4 – 7a ≥ 0 => 7a ≤ 4 => a ≤

c)

5

3

−

−

a có nghĩa ⇔







<−

≠

⇔









≥

−

−

≠

05

5 0 5 3

5

a

a a

a

=> a < 5

2)Tìm x để các căn thức sau có nghĩa :

a)

61

7

2 +

−

x ; b) −4x2 ; c) x2 − 4 ; d) 9 −x2 ; e) x2 + 1 ; f)

3

4

2 +

x

Giải :

a)Ta có : x2≥ 0 (với mọi x) => x2 + 61 > 0 => < 0 => không có giá trị nào của x để

61

7

2 +

−

x có nghĩa => x ∈∅

b) −4x2 có nghĩa ⇔ - 4x2≥ 0 => x = 0

c) x2 − 4 có nghĩa ⇔ x2 – 4 ≥ 0 => x2≥ 4 => |x| = 2 =>







−≤

≥

2

2

x

x

d) 9 −x2 có nghĩa ⇔ 9 – x2 ≥ 0 => x2≤ 9 => |x| ≤ 3 => - 3 ≤ x ≤ 3

e) Ta có x2≥ 0 (với mọi x) => x2 + 1 > 0 => x2 + 1 có nghĩa với mọi x ∈ R f) Ta có x2≥ 0 (với mọi x) => x2 + 1 > 0 => 0

3

4

+

x (với mọi x) =>

3

4

2 +

x

có nghĩa với mọi x ∈ R

Dạng 2 : Rút gọn biểu thức

Phơng pháp giải : Vận dụng hằng đẳng thức = | A| =







<

−

≥

0

A nếu A

0

A nếu A

Các bài toán luyện tập :

Rút gọn các biểu thức sau :

a) A = ( )2 ( )2

5 2 3

5 − + − ; b) B = ( 10 + 2)(6 − 2 5) 3 + 5 ; c) C = 2 − 3 ( 6 + 2) ; d) D = b (a b b a)

ab

a ab a

b

−









−

−

Giải :

5 3− + 2− 5 = 5 3− + −2 5 = −3 5+ 5 2 1− =

( 5 1) 6 2 5 6 2 5 5 1 6 2 5 5 1 6 2 5 6 2 5

36 20 16

b a b

a b

a a

b a

b b a b ab

a ab

a









−

−

−

=

−









−

−

= ( ) ab( a b) b a

b a ab

a

−

.

Dạng 3 : So sánh các căn bậc hai số học

Phơng pháp : Sử dụng định lý : Với hai số a, b ≥ 0, ta có : a < b ⇔ <

Các bài toán luyện tập

1)So sánh

a) 7 + 15 với 7 ; b) 2 + 11 với 3 + 5 ; c) 3 26 với 15 ; d) − 5 33 với – 30

Giải :

a) Ta có 7< 9 3 và 15= < 16 4, do đó 7= + 15 7<

b) Ta có : 2 < 3 và 11< 25 nên 2+ 11< 3 5+

c) Ta có : 26 > 25 5= ⇔3 26 3.5 15> = , do đó 3 26 > 15

d) Ta có : 33< 36 6= ⇔5 33 5.6< ⇔5 33 30< ⇒ −5 33 > −30 2)So sánh :

a) 30 2 45

4

Giải :

a) Ta có : 30 2 45 30 2 49 30 2.7 4 16 15

Vậy 30 2 45 15

4

− >

b) Giả sử :

( ) ( )2 2 ( ) ( )2 2

75 45 vậy 5 3 3 5

Tuần thứ 03

Ngày soạn: 28/ 08/ 09

Ngày dạy: / 09/ 09

Tiết 3 - Đ1.Căn bậc hai – căn thức bậc hai

và hằng đẳng thức = | A| ( tiếp)

Dạng 4 : Chứng minh đẳng thức

Phơng pháp : Vận dụng định nghĩa căn bậc hai số học, định lý về so sánh căn

bậc hai số học và hằng đẳng thức :

+







=

≥

⇔

=

a x

x a

+ Với hai số a, b không âm, ta có : a < b <=> <

+ = | A| =







<

−

≥

0

A nếu A

0

A nếu A

để biến đổi vế trái thành vế phải hoặc vế phải thành vế trái, hoặc hai vế về cùng một biểu thức

Các bài toán luyện tập

1 )Chứng minh rằng : 3 ; 7 là các số vô tỉ

Giải :

(Dùng phơng pháp phản chứng) Giả sử 3 là số hữu tỉ, 3 đợc biểu diễn dới dạng phân số tối giản

n

m

, tức là 3 = m n => ( 3 ) 2 = 2 22

n

m n

m =









 => 3n2 = m2 (1) Điều này chứng tỏ m2  3

Mà 3 là số nguyên tố, nên m  3 Vì m  3 (2) => m = 3m’ (m’ ∈ Z) => m2 = (3m’)2 hay m2 = 9m’2 (3) Từ (1) và (3) => 3n2 = 9m’2 => n2 = 3m’2, điều này chứng

tỏ n2  3

Mà 3 là số nguyên tố, nên n  3 (4)

Từ (2) và (4) => phân số

n

m

cha tối giản (vì m và n còn có ớc chung là 3) Điều này trái với giả thiết là m n tối giản Vậy 3 là số vô tỉ

(Tơng tự ta chứng minh trờng hợp 7 )

2) Cho a > 1 Chứng minh rằng : a) Nếu a > 1 thì a >

b)Nếu a < 1 thì a <

Giải :

(áp dụng định lý : Với hai số a, b không âm, ta có : a < b <=> < )

a)Nếu a > 1 thì a >

Vì a > 1 => > 1 hay > 1 Nhân cả hai vế của bất đẳng thức cho (vì > 0)

Ta đợc a > (đpcm)

b)Chứng minh tơng tự ta đợc :

Nếu a < 1 thì a <

3)Chứng minh rằng nếu a, b, c là ba số hữu tỉ dơng thỏa mãn điều kiện - = c thì ,

là các số hữu tỉ

Giải :

Ta có : a – b = ()2 – ()2 = (- )(+ )

Mà - = c là số hữu tỉ (1) , nên + = số hữu tỉ (2)

Từ (1) và (2) => , là các số hữu tỉ

4)Với n ∈ N, chứng minh đẳng thức : + = (n + 1)2 – n2

Giải :

Vế trái : + = |n + 1| + |n| = n + 1 + n = 2n + 1 (1)

Vế phải : (n + 1)2 – n2 = n2 + 2n + 1 – n2 = 2n + 1 (2)

Từ (1) và (2) => + = (n + 1)2 – n2

Với n = 1 thì + = 4 – 1 Với n = 2 thì + = 9 – 4

Với n = 7 thì + = 64 – 49

Dạng 5 : Giải các ph ơng trình sau :

2 2

9

4

− − =

Gi¶i :

2

x 2 x 3 0

≥ −





x 3

VËy S – 2 ; 3

= −



⇔ + = ⇔ = − ⇔  =

=

2

+ ≥

11 x

x 6

≥ −





⇔ = − ⇔ = −

11 VËy S

6

= − 

c)

2

x 1 0

x 1 0

+ =



Tuần thứ 04

Ngày soạn: 08/ 08/ 09

Ngày dạy: / 09/ 09

Tiết 4 - Đ1.Căn bậc hai – căn thức bậc hai

và hằng đẳng thức = | A| ( tiếp)

Dạng 6 : Bài toán tìm cực trị

Phơng pháp : Vận dụng |A| ≥ A Dấu “=” xảy ra <=> A ≥ 0

1)Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau :

a) x2 − 6x+ 9 + x2 + 10x+ 25

b) x2 + 4x+ 4 + x2 − 2x+ 1 + x2 − 14x+ 49

Giải :

a) A = x2 − 6x+ 9 + x2 + 10x+ 25 = (x− 3 ) 2 + (x+ 5 ) 2

= x− 3 +x+ 5 = 3 −x +x+ 5 ≥ 3 −x+x+ 5 = 8

Dấu “=” xảy ra khi 35

5

3 05

03

⇔

x x

x x

x

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 8 khi – 5 ≤ x ≤ 3

b) B = x2 + 4x+ 4 + x2 − 2x+ 1 + x2 − 14x+ 49 = (x+ 2 ) 2 + (x− 1 ) 2 + (x− 7 ) 2

= | x + 2| + | x – 1| + | x – 7| ≥ x + 2 + 0 + 7 – x = 9

(Vận dụng kiến thức : |A| ≥ A <=> A ≥ 0 ; |B| ≥ 0 Dấu “=” xảy ra khi B = 0)

Dấu “=” xảy ra <=> 1

7 1

2 07 01

02

⇔

x x x

x x x x

Vậy B đạt giá trị nhỏ nhất là 9 khi x = 1

1)Tìm các giá trị của x để các biểu thức sau có nghĩa :

a) x2−3x 2+ ; b) x2+4x 5+

2)Rút gọn biểu thức :

a) 64a2 +2a (với a ≥ 0) ; b) 3 9a6 −6a3(với mọi a)

3)Giải phơng trình :

a) x2−2x 1+ + x2 −4x 4 3+ =

b) 4x2+4x 1+ − 9x2 =0

4)Chứng minh rằng nếu x2 + y2 = 1 thì : - 2 ≤ x + y ≤ 2

5)Tìm các số x, y, z thỏa mãn đẳng thức : x + y + z + 8 = 2+ 4+ 6z− 3

Hớng dẫn + lời giải

Bài 1(2đ)

a) x2−3x 2+ có nghĩa <=> x2 – 3x + 2 ≥ 0 <=> (x – 1)(x – 2) ≥ 0

Suy ra :

x 1

Vậy với x ≤ 1 hoặc x ≥ 2 thì x2 −3x 2+ có nghĩa

b) x2 +4x 5+ có nghĩa <=> x2 + 4x + 5 = x2 + 4x + 4 + 1

= (x + 2)2 + 1 > 0 với mọi x

Vậy x2+4x 5+ xác định với mọi x

Bài 2 (2đ)

a) 64a2 +2a = |8a| + 2a = 10a (vì a ≥ 0)

b) 3 9a6 −6a3(với mọi a) = 3.|3a3| - 6a3 (0,5đ) =









<

−

−

≥

−

0) (nếu.a 6a

9a

0) (nếu.a 6a 9a

3 3

3 3

=









<

−

≥ 0) a (nếu 15a

0) a (nếu

a

3

3

3

Bài 3 (3đ) Giải phơng trình

x – 1 x – 2 3

+Nếu x < 1 thì | x – 1| + | x – 2| = 3 <=> (1 – x) + ( 2 – x) = 3

<=> 3 – 2x = 3 <=> - 2x = 0 => x = 0 (thỏa)

<=> x – 1 + 2 – x = 3 => 0x = 4 (VN) +Nếu x > 2 thì | x – 1| + | x – 2| = 3 <=> (x – 1) + (x – 2) = 3

<=> x – 1 + x – 2 = 3 <=> 2x = 6 => x = 3(thỏa)

Vậy S = { 0 ; 3 }

x 1

1

5

=



Vậy S = { - ; 1 }

Bài 4(1đ) Chứng minh rằng : nếu x2 + y2 = 1 thì : - 2 ≤ x + y ≤ 2

Ta có : (x – y)2≥ 0 <=> x2 + y2 ≥ 2xy (0,25đ)

Vì x2 + y2 = 1 => 2xy ≤ 1 => x2 + y2 + 2xy ≤ 1 + x2 + y2 (0,25đ)

<=> x2 + y2 + 2xy ≤ 1 + 1 <=> (x + y)2≤ 2 <=> |x + y| ≤ (0,25đ)

<=> - 2 ≤ x2 + y2≤ 2(0,25đ)

Bài 5 (2đ)Tìm các số x, y, z thỏa mãn đẳng thức :

x + y + z + 8 = 2+ 4+ 6z− 3 (1)

+Điều kiện : x ≥ 1, y ≥ 2 , z ≥ 3 (0,5đ)

(1) <=> x – 1 – 2 x− 1 + 1 + y – 2 – 4 y− 2 + 4 + z – 3 - 6 z− 3 + 9 = 0 (0,5đ)

<=> (x – 1 – 2 x− 1 + 1) + (y – 2 – 4 y− 2 + 4) + (z – 3 - 6 z− 3 + 9) = 0

<=> [( x− 1)2 – 2 x− 1 + 1] + [( y− 2)2 – 4 y− 2 + 22] + [( z− 3)2 - 6 z− 3

+ 32] = 0

<=> ( x− 1 - 1)2 + ( y− 2 - 2)2 + ( z− 3 - 3)2 = 0

=>

2

2

2











S

z 3 3



Vậy x = 2 ; y = 6 và z = 12