Tài liệu tự chọn toán 9: Chủ đề 1(rất hay)

Câu hỏi 2: A xác định hay có nghĩa khi nào?. Trả lời: A xác định hay có nghĩa khi A lấy giá trị không âm.

Chủ đề 1 : căn bậc hai

A/Mục tiêu:

Sau khi học xong chủ đề này học sinh nắm đợc các kiến thức cơ bản sau:

– Nắm đợc định nghĩa, kí hiệu về căn bậc hai số học của số không âm

– Biết đợc liên hệ của phép khai phơng với quan hệ thứ tự và dùng liên hệ này để so sánh các số – Biết cách tìm điều kiện xác định (hay điều kiện có nghĩa) của A

– Biết cách vận dụng hằng đẳng thức A2 A để rút gọn biểu thức

– Có kĩ năng dùng các quy tắc khai phơng một tích và nhân các căn bậc hai trong tính toán và biến

đổi biểu thức

– Có kĩ năng dùng các quy tắc khai phơng một thơng và chia hai căn bậc hai trong tính toán và biến đổi biểu thức

– HS nắm đợc các kĩ năng đa thừa số vào trong hay ra ngoài dấu căn

– Biết vận dụng các phép biến đổi trên để so sánh hai số và rút gọn biểu thức

– Học sinh biết cách khử mẫu của biểu thức lấy căn và trục căn thức ở mẫu

– Biết vận dụng các phép biến đổi trên để rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai

B/Thời l ợng : 10 Tiết

C/Thực hiện:

Tiết 1: căn bậc hai

Hoạt động 1: C ă n bậc hai số học

Câu hỏi : Hãy nêu định nghĩa căn bậc hai số học ?

Trả lời:Với số dơng a, số a đợc gọi là căn bậc hai số học của a

Số 0 cũng đợc gọi là căn bậc hai số học của 0

Chú ý :Với a 0, ta có :Nếu x = a thì x0và 2

Nếu x0và 2

x  thì a x a

Ta viết: x2 0









Bài tập 1: Tìm căn bậc hai số học của mỗi số sau :

a) 36 ; b) 144 c) 81 ; d) 1,69

Giải:

a) 36 = 6, vì 6  0 và 62 = 36

b) 144 = 12 , vì 12  0 và 122 = 144

c) 81 = 9 , vì 92  0 và 92 = 81

d) 1,69 = 1,3 vì 1,3 0 và 1,32 = 1,69

Bài 2:Điền dấu X vào ô thích hợp:

Giải

a)S ; b)S ; c)Đ ; d)S ; e)Đ

Hoạt động 2:So sánh các căn bậc hai số học:

Câu hỏi:Nêu định lý về so sánh các căn bậc hai số

học?

Trả lời: Với hai số a và b không âm, ta có: a < b

 a b

Bài 3:so sánh:

a) 4 và 17 ; b) 35 và 6

Giải

a) Ta có 4 = 16 mà 16 < 17 Nên 16 < 17 hay 4 < 17

b) Ta có 6 = 36 mà 36 > 35 Nên 36 > 35 hay 6 > 35

Nội dung Đ S

a) CBH của 0,36 là 0,6

b) CBH của 0,36 là 0,06

c) CBH của 0,36 là 0,6 và -0,6

d) 0,36 = +0,6

e) 0,36 = 0,6

Bài 4:so sánh:

a)2 và 2 1 ; b) 1 và 3 1

Giải

a) Ta có 1< 2  1 2 hay 1 < 2   1 1 2 1 hay 2 < 2 +1

b)Ta có 4 >3  4  3 hay 2 > 3  2 1  3 1 hay 1 > 3 1

Bài 5:Tìm số x không âm biết :

a) x = 3 ; b) x < 5

Giải

b) Ta có : 5 = 25 nên x < 5  x  25

Vì x0 nên x  25  x < 25

******************************** Tiết 2: căn thức bậc hai và hằng đẳng thức A2 A

Hoạt động 1: Căn thức bậc hai :

Câu hỏi 1:Hãy phát biểu đn căn thức bậc hai?

Trả lời:Với A là một biểu thức đại số, ngời ta gọi A là căn thức bậc hai của A, còn A đợc gọi là

biểu thức lấy căn hay biểu thức dới dấu căn

Câu hỏi 2: A xác định (hay có nghĩa) khi nào?

Trả lời: A xác định (hay có nghĩa) khi A lấy giá trị không âm

Bài tập 1:Với giá trị nào của x thì các căn thức sau có nghĩa?

a) 2x ; b)3 22

x

Giải:

a) 2x xác định khi : – 2x+33  0  -2x  -3  x  3

2 b)

2

2

x xác định khi 2

2

vì x2 0 nên 22

x 0  x0(để cho 2

2

x có nghĩa)

c) 4

3

x  xác định khi:

4 0 3

Vì 4 > 0 nên 4

0 3

x   x+3 > 0  x > -3 d) Vì x2 0 nên x2 + 6 > 0 suy ra 2 5

6

x



 <0 vậy không tồn tại x để

2

5 6

x



 có nghĩa

Hoạt động 3:Hằng đẳng thức A2 A

Bài tập 2:Rút gọn rồi tính:

( 2) ; b) ( 5) 8

Giải:

a)5 4

( 2) =5 (( 2) ) 2 2 =5 ( 2) 2 = 5.4 = 20

b) ( 5) 8 = (( 5) ) 4 2 = ( 5) 4 = 54  (5 )2 2 52 =25

Bài tập 3: Rút gọn

a) x  52 với x  5

b) 25a4 4a2

c)2 3 (2 3)2

Giải:

a) x  52 = x  5 = x – 5 ( vì x  5 )

b) 25a4 4a2  (5 )a2 2 4a2 5a2 4a2 9a2

3 (2 3) =2 3 2  3 2 3 2  3 2  3( Vì 2 > 3 )

******************************

Tiết 3: Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phơng

Hoạt động 1: quy tắc khai ph ơng một tích:

Câu hỏi :Nêu qui tắc khai phơng một tích?

Trả lời:Muốn khai phơng một tích các thừa số không âm ta có thể khai phơng từng thừa số rồi nhân

các kết quả lại với nhau

Với hai số a và b không âm ta có : a b.  a. b

Bài tâp1: áp dụng quy tắc khai phơng một tích, hãy tính:

a) 0, 09.2, 25.64 ; b) 360.90

Giải:

a) 0, 09.2, 25.64 = 0, 09 2, 25 64 = 0,3.1,5.8 =3,6

b) 360.90 = 36.9.100 = 36 9 100 = 6.3.10 = 180

Bài 2:Tính :

a) 0,49 0,81 196 ; b) 250.640

Giải:

a) 0,49 0,81 196 = 0, 49 0,81 196 = 0,7.0,9.14 = 8.82

b) 250.640 = 25.64.100 = 25 64 100 = 5.8.10 =400

Hoạt động 3:Qui tắc nhân các căn bậc hai:

Câu hỏi: Nêu quy tắc nhân các căn bậc hai?

Trả lời:Muốn nhân các căn bậc hai của các số không âm ta có thể nhân các số dới dấu căn rồi khai phơng kết quả

Bài tập 3: Tính

a) 5 45 ; b) 16,2 2 10

Giải

a) 5 45 = 5.45 = 5.5.9 25 9 = 5.3 = 15

b) 16, 2 2 10 = 16, 2.2.10 = 162.2 81.2.2 = 81 4 = 9.2 =18

Bài tập 4: Tính:

a) 45 80 ; b) 20 72 4,9

Giải

a) 45 80 = 45.80 9.5.5.16 = 9 25 16 = 3.5.4 = 60

b) 20 72 4, 9 = 20.72.4, 9 = 36.2.2.49 = 6 2 7 = 84

Bài tập 5:Rút gọn các biểu thức :(với a và b không âm)

20a 5a ; b) 16a3.4ab2

Giải

20a 5a = 3

20 5a a = 4

100.a =  22

10.a =10a = 10a2 2

16a 4ab = 64 .a b = 4 2 64 a4 b = 8.2 a2 .b = 8a2b (vì a2 0; b0)

Bài tập 2:chứng minh:

9 17 9 17 8

Giải

VT= 9 17 9 17 = (9 17).(9 17)= 92 ( 17 )2  81 17  64= 8 = VP (Đpcm)

Bài tập 3:Rút gọn :





Giải





= 2 3 2 7

2 3 4 7





2





**************************

Tiết 4: liên hệ giữa phép chia và phép khai phơng

Hoạt động 1:Qui tắc khai ph ơng một th ơng:

Câu hỏi:Nêu quy tắc khai phơng một thơng?

Trả lời:muốn khai phơng một thơng của số

Bài tập1: áp dụng quy tắc khai phơng một thơng hãy tính:

a) 49

196

; b) 36 49:

25 64

Giải

196 =

49 196

= 7

14=

1 2 b) 36 49:

25 64

= 36 : 49 6 7:

= 48 35

Bài tập 2: Tính :

a) 289

256 ; b) 0, 0324

Giải

a) 289

256 =

289 256

= 17 16

b) 0, 0324 = 324

10000 =

324 10000

= 18 0,18 100

Bài tập 3: Rút gọn :

2

(với x>2 ; y < -3)

Giải

2

2

=

2 2

=

2 2

( 3) ( 2)

y x







  (Vì x > 2; y < -3)

Hoạt động 2:qui tắc chia hai căn bậc hai:

Câu hỏi:Nêu quy tắc chia hai căn bậc hai ?

Trả lời:

Bài tập 4: Tính

a) 180

5

; b) 81: 31

Giải

a) 180

5

= 180  36 6

5 b) 81: 31

:

Bài tập 3:Tính :

a) 2300

23

; b)

3

63 7

y y

(Với y>0)

Giải

a) 2300

23

= 2300

23 = 100 = 10 b)

3

63

7

y

y

=

3

63 7

y

2

Bài tập 4: Rút gọn :



3

x

(với x > 3 )

Giải



3

x

=

3

( 3) 3

x x





=

3

( 3) 3

x x



 = (x 3)2  x 3 = x -3 (Vì x > 3) *************************

Bài tập 1: Rút gọn:

a) 9(a  4)2 Với a 4

b) 8 28 8 28

c)

165 124

164



6 3

4 5

26

104

x y

x y với x < 0 ; y > 0

Giải:

a) 9(a  4)2 = 9 (a  4)2 = 3. a  4 = 3(a-4) = 3a -12 (Vì a 4)

b) 8 28 8 28= (8 28).(8 28) = 82 ( 28)2  64 28  36 6

c)

165 124

164

 = (265 124).(165 124)

164

= 289.41 289 17

d)

6 3

4 5

26

104

x y

26 104

x

x y

 (Vì x < 0 ; y > 0)

Bài tập 2:Rút gọn và tìm giá trị của các căn thức sau:

a) 4 25 10x  x2 tại x = 995

9 (a b  4 4 )b tại a = -2 ; b = - 3

Giải

a) 4 25 10x  x2 = 4  2

(5 x) = 25x Thay x = 995 vào 2.5x ta đợc : 2 5 995 =2.1000 = 2000

b) 9 (a b2 2 4 4 )b = (3 ) (a 2 b  2)2 =3 a b  2

Thay a= -2; b =- 3 vào 3 a b  2 ta có 3.( 2)   3 2 = 6.3,732 = 22,392

Bài tập 3: Rút gọn các biểu thức sau:

a) ab2

2 8

3

a b với a < 0, b0

b)

2 2

9 12a 4a

b

-1,5và b < 0

Giải:

a) ab2

2 8

3

a b

= ab2

2 8

3

a b

= ab2

4

3

a b

Vì a < 0  a = -a và b0 nên : ab2

4

3

a b = ab

2

 4

3

ab

=

2

3

b



b)

2 2

9 12a 4a

b

2

3 2a

b

2

3 2a

b



= 3 2a

b

 vì b < 0  b = -b và a -1,5  2a + 3  0  2a 3 = 2a + 3

Vậy 3 2a

b



3

b





Bài tập 4: Rút gọn các biểu thức sau:

2

3

x



Với x > 3

b)

2

x



Với x > -2

Giải:

a)

2

3

x



( 3)( 3)( 3)

x



1 (x 3) =

x x ( Vì x > 3)

b)

2

x



=

3

( 2) 2

x x





= (x2)2  x 2   ( vì x > -2)x 2

***************************

Tiết 6+7+8: biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai

Hoạt động 1: Đ a thừa số ra ngoài dấu căn

Câu hỏi 1:Ghi công thức thể hiện phép biến đổi đa thừa số ra ngoài dấu căn?

Trả lời:Với hai biểu thức A, B mà B  0 ta có 2

A B A B, tức là :

Nếu A0 và B0 thì : 2

A B = A B Nếu A< 0 vàB0 thì : 2

A B = -A B

Ví dụ1:Đa thừa số ra ngoài dấu căn

4 2 = 4 2

Bài tập 1:Đa thừa số ra ngoài dấu căn :

a) 54 ; b) 108 ; c) 0,1 20000 ; d) –0,05 28800

Giải :

a) 54 = 9.6 = 2

3 6 = 3 6 b) 108 = 36.3 = 2

6 3 6 3 c) 0,1 20000 = 0,1 2

100 2 = 0,1.100 2 = 10 2 d) –0,05 28800 = -0,05 2.144.100 = -0,05 2 2

10 12 2 = -0,05.10.12 2 = -6 2

Bài tập 2:Đa thừa số ra ngoài dấu căn

48a b với b0 ; b ) 72x y với x < 02 4

Giải:

48a b = 16.3( )a2 2b2 4a2 b 3= 4a2b 3 (vì b0)

72x y = 36.2x y2 4 6 x y2 2= -6xy2 2 (vì x < 0)

Bài tập 3:Rút gọn biểu thức

a) 2 8 50

b) 4 3 27 45 5

Giải

2 2 2 5 2 = 2 2 2 5 2  = (1 + 2 + 5) 2 = 8 2

4 3 3 3 3 5 5 = 4 3 3 3 3 5   5 = (4 + 3) 3 + (1 – 3) 5 = 7 3 - 2 5

Hoạt động 2:Đ a thừa số vào trong dấu căn:

Câu hỏi:Viết công thức thể hiện phép biến đổi đa thừa số vào trong dấu căn

Trả lời:Với A0 và B0 ta có : A B = 2

A B

Với A < 0 và B0 ta có : A B = – 2

A B

Bài tập 4:Đa thừa số vào trong dấu căn

a) 2 5 ; b) 1,2 6

b) xy4

x với x 0 ; c) –3ab2

3a với a0

Giải:

a) 2 5 = 2 52  4.5 20

b) 1,2 6 = 2

1, 2 6 = 1, 44.6 = 8, 64 c) xy4

xy x = x y x =2 8 x y (với x3 8 0) d) –3ab2

3a = –  22

9a b 3a = - 27a b (với a3 4 0)

Bài tập 5:So sánh

a) 4 7 với 138 ; b ) 3 3 và 12

c) 7 và 3 5 ; d) 1 51

3 và

1 150 5 e) 1 6

2 và 6

1 2

Giải:

a)4 7 = 2 

4 7 112

vì 112 138 nên 4 7 < 138

b)Ta có : 3 3 = 2

3 3 = 27 Vì 27 > 12 nên 3 3 > 12

c)Ta có : 7 = 49 còn 3 5 = 2

3 5 = 45

Mà 49 > 45 Vậy 7 > 3 5

d)Ta có : 1 51

2

1 51 3

 

 

 

= 51 9

= 17 3

1 150

1 25.6

Vì 17

3 < 6 nên 1 51

3 <

1 150 5

d)Ta có : 1 6

2 =

2

1 6 2

 

 

 

= 6 4

= 3 2

6 1

2

= 2 1

6 2

= 36

2 = 18 Vì 3

2 < 18 nên 1 6

2 < 6

1 2

Bài tập 6:Sắp xếp theo thứ tự tăng dần

a) 3 5 ; 2 6 ; 29 ; 4 2

b) 6 2 ; 38 ; 3 7 ; 2 14

Giải :

a) 3 5 ; 2 6 ; 29 ; 4 2

Đa thừa số vào trong dấu căn ta có :

3 5 = 45 ; 2 6 = 24 ; 4 2 = 32

Ta có : 24 < 29 < 32 < 45

Vậy 2 6 < 29 < 4 2 < 3 5

a) 6 2 ; 38 ; 3 7 ; 2 14

Đa thừa số vào trong dấu căn ta có :

6 2 = 72 ; 3 7 = 63 ; 2 14 = 56

Ta có : 38 < 56 < 63 < 72

Vậy 38 < 2 14 < 3 7 < 6 2

Hoạt động 3:Khử mẫu của biểu thức lấy căn:

Câu hỏi :Viết công thức thể hiện phép biến đổi khử mẫu của biểu thức lấy căn?

Trả lời:Với các biểu thức A,B mà A.B 0 và B 0 ta có: A AB

Bài tập 7:Khử mẫu của biểu thức lấy căn

a) 3

7

; b) 2

125

; c)

3

5

3a

với a > 0

Giải:

a) 3

7

= 3.7

7.7

=

2

21 7

= 21 7

b) 2

125

=

3

2.5

5 5

=

2

10 25

= 10 25 c)

3

5

3a

=

3

5.3

3 3

a

=

2

15 3

a a

(a > 0)

Bài tập 8:Khử mẫu của biểu thức lấy căn :

a)

2

5

x với x0 b)

2 2

7

x

x  với x < 0

Giải:

a)

2

5

5.5

5

5

x với x

0

b)

2

2

7

x

7

 =

2

6 7

6 7 7.7

7

7

x với x < 0

Hoạt động4 :Trục căn thức ở mẫu:

Câu hỏi :Viết các công thức thể hiện phép biến đổi trục căn thức ở mẫu?

Trả lời:a)Với các biểu thức A, B mà B >0 ta có : A

B = A BB

b) Với các biểu thức A, B, C mà A0 và AB2 , ta có C C A B

=

A - B

A B± B



c) Với các biểu thức A, B, C mà A0, B0 và AB , ta có C C A B

=

A - B

A B± B



Bài tập 9: Trục căn thức ở mẫu:

a) 5

3 8 ; b)

2

b ; c)

5

5 2 3 ; d)

2 1

a a

 ; e)

4

7 5

Giải:

a) 5

3 8 = 5 83.8 = 5.2 224 = 5 212

b) 2

2

b

= 2 b

b

với b > 0

c) 5

5 2 3 =

5 5 2 3



=

 2

25 10 3

25 2 3



 = 25 10 313



d) 2

1

a

a

   

2 1



= 2 1 

1

a





với a0 và a1

e) 4

7 5 =



7 2





= 2 7 5

Bài tập 10 :Trục căn thức ở mẫu và rút gọn ( nếu đợc )

a) 5 3

2



; b) 2 10 5





; c)a ab





Giải :

2



=  5 3 2

2 2



= 10 6

2



b) 2 10 5





2 10 5 4 10

= 8 10 20 20 5 10

16 10



= 3 10 6

= 10 2





= a a a b a b b a

a b



a b



Cách khác: a ab





= a a b





= a

Bài tập 11:Rút gọn các biểu thức sau:

a)2 2





; b)

1

a





Giải :

a)2 2





= 2 2 1





= 2

b)

1

a





1 1

a



***************************

Tiết 9+10 : rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

Hoạt động 1:Lý thuyết:

Bài tập 1:Điền vào chỗ ( .) để hoàn thành các công thức sau:

A =

2) A.B = với A , B .

B

= với A ., B

A B = với B

5)

với A.B và B

6) A

B

B  (với B > 0)

 ( với A 0 và B0 )

A B

A B   (với A 0, B0 và AB )

Giải:

1) 2

A = A

2) A.B = A B với A 0, B 0

3) A

B

= A

B

với A 0, B > 0 4) 2

A B = A B với B  0

B  B với A.B  0 và B0

B

B  (với B > 0)

7) C C( A B2 )

A B

 ( với A 0 và AB2 )

A B

 (với A 0, B0 và AB )

Hoạt động 2:Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

Bài tập 2:Rút gọn:

  

2 5a 80a 7 45a 2a (a0)

Gi¶i:

2 5a 80a 7 45a 2a = 2 5a 16.5a7 9.5a 2a

Bµi tËp 3: Rót gän biÓu thøc

a) 20 453 18 72

b) 0,1 200 2 0, 08 0, 4 50 

Gi¶i

a) 20 453 18 72= 4.5 9.53 9.2 36.2= 2 5 3 5 9 2 6 2   = 15 2 5 b) 0,1 200 2 0, 08 0, 4 50  = 0,1 10.2 2 0, 4.2 0, 4 25.2  = 2 0, 4 2 2 2  = 3,4 2

Bµi tËp 4: Rót gän biÓu thøc

a)  28 2 3 7 7  84

b)  2

6 5  120

Gi¶i

a)  28 2 3 7 7  84= 2 7 2 3 7 7  4.21

= 3 4 2 3 7 2 21= 3 7 - 2 21 2 21 = 21

b)  6 52 120= 6 2 30 5   4.30= 11 + 2 30 2 30 = 11

Bµi tËp 5:Rót gän biÓu thøc

a) 1 48 2 75 33 5 11

b) 150 1, 6 60 4,5 22 6

3

Gi¶i :

a) 1 48 2 75 33 5 11

= 2 3 10 3 3 10 3

3

3

17 3 3 b) 150 1, 6 60 4,5 22 6

3

2 3

2

9 4.2.3

= 5 6 4 6 9 2 6 6

2 3

   = 5 6 4 6 3 6   6 = 11 6

Bµi tËp 6:Rót gän biÓu thøc:

a) A = 5 5 5 5



b) B = 



2

7

7

x

x

c) C = 



1

1

a a

a

với a0 và a1

Giải:

a) A= 5 5 5 5



   

= 25 10 5 5 25 10 5 5

25 5



=60 3

20 b) Với x 7 Ta có:

B = 



2

7

7

x

x

=   



2 2

7 7

x x

=      



7

x

= x - 7

c) C = 



1

1

a a

a

với a0 và a1



1

Bài tập 7:Chứng minh đẳng thức sau:

a)

2

1 1

a

a a



=1 (với a 0 và a 1 )

Giải

a)Biến đổi vế trái ta có :

2

1 1

a

a a



   

2

a



 2

1

1

a

2

2

1 1

a a





= 1 = vế phải Vậy với a 0 và a 1 sau khi biến đổi VT = VP nên đẳng thức đã đợc chứng minh

Bài tập 8:Rút gọn rồi so sánh giá trị của M với 1 biết:

a





(với a > 0 và a1 )

Giải

a





=

: 1

a a



=

 12

1

1 1

a a

a









= a 1

a



Xét M – 1

M – 1 = a 1

a



- 1 = a 1 a

a

 

= 1

a



Có a > 0 và a 1  a > 0  1

a

 < 0 Hay M – 1 < 0  M < 1

******************************

KIỂM TRA CUỐI CHỦ ĐỀ 1

THỜI GIAN:15P

ĐỀ:

Bài 1: Điền vào chỗ (…)để hoàn thành cỏc cụng thức sau:

a) A2 = …

b) A B = … với A … ; B  0

c) 

B

A với A  0 ; B …

d) 

B

A

với A.B  0 và B 0

Bài 2: Đỳng hay sai ? Điền dấu “X” vào ụ chọn:

Cõu Nội dung Đỳng Sai

a) 7a 2 a 7

b) 550  22

7 3

2







d) 4 3  12  3  3 3

Bài 3:

a)Trục căn thức ở mẫu:

3 2

1

b)Rỳt gọn biểu thức:

b a

b b a a





với a0; b0 và ab

Đáp án:

Bài 1: (2đ) Điền đúng mỗi câu đợc 0,5đ

Bài 2: (4đ) Điền đúng mỗi câu đợc 1đ

a)S ; b)Đ ;c)S ;d) Đ

Bài 3: (4đ)

a)

3 2

1

2 3



b)

b a

b b a

a





=

( a) ( b) ( a b a)( ab b)



(với a0; b0 và ab )