b/ Chứng minh rằng: Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn có số đo bằng một nửa tổng số đo hai cung bị chắn giữa hai cạnh của góc và các tia đối của hai cạnh ấy.. Biết rằng số hàng chở được
Trang 1ĐỀÌ THI TỐT NGHIỆP TRUNG
HỌC CƠ SỞ
NĂM HỌC 1991 - 1992
A – LÝ THUYẾT: (2 điểm) Thí sinh chọn một trong hai đề sau đây :
Đề 1: a/ Phát biểu định nghĩa hàm số đồng biến và hàm số nghịch biến trong khoảng (a; b)
b/ Biết rằng, hàm số y = - 2x2 nghịch biến với mọi x
> 0 và đồng biến với mọi x < 0; hãy so sánh các biểu thức số sau:
2 5
2 −
2 3
2 −
−
Đề 2: a/ Định nghĩa góc nội tiếp đường tròn.
b/ Chứng minh rằng: Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn có số đo bằng một nửa tổng số đo hai cung
bị chắn giữa hai cạnh của góc và các tia đối của hai cạnh ấy
B –BÀI TOÁN: (bắt buộc)
Đại số : (4 điểm )
2
2 2
2 2 b a
b a : a
b b a
b a b
a
b
a
b
a
M
−
+
−
+
−
+
=
a/ Với giá trị nào của a và b thì biểu thức M xác định
b/ Rút gọn biểu thức M
c/ Sau khi rút gọn, tính giá trị của M với a = 498và
1992
b =
2 (2 điểm) Một đội xe cần chuyên chở 100 tấn hàng Hôm
làm việc, có hai xe được điều đi làm nhiệm vụ mới nên mỗi xe phải chở thêm 2,5 tấn Hỏi đội có bao nhiêu xe ? (Biết rằng số hàng chở được của mỗi xe là như nhau)
Hình học: (4 điểm )
Cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O Các đường cao BE và CF cắt nhau tại
Trang 2H Từ B kẻ đường thẳng song song với CF cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai D
a/ Chứng minh AD là đường kính của đường tròn (O) b/ Chứng minh tứ giác BHCD là hình bình hành
c/ Chứng minh HB.HE = HC.HF
d/ Gọi I là điểm đối xứng với H qua BC Chứng minh
A, H, I thẳng hàng và I nằm trên đường tròn (O)
BÀI GIẢI:
A –LÝ THUYẾT:
Đề 1: a/ (Xem sgk)
b/ Biết rằng, hàm số y = - 2x2 nghịch biến với mọi x
> 0 và đồng biến với mọi x < 0; hãy so sánh các biểu thức số sau:
2 5
2 −
2 3
2 −
−
Đặt x1= 5 − 2 suy ra ( )2
2 3
x2 = − suy ra ( )2
2 23 2
y =− −
Do x2 > x1 > 0 và hàm số y = - 2x2 nghịch biến với mọi x
> 0
Nên y1 > y2 Do đó: ( )2
2 5
2 −
2 3
2 −
−
Đề 2: (Xem sgk)
B –BÀI TOÁN:
Đại số :
1 a/ Biểu thức M xác định
−≠
≠
≠
≠
⇔
≠+
≠−
≠≠
≠−
⇔
ba 0a 0b ba
0b a
0b a
0a;
0b
0b a
2 2
2 2
b/ Với điều kiện a ≠ 0; b ≠ 0; a ≠ b và a ≠ - b ta có:
Trang 32 2
2 2 b a
b a : a
b b a
b a b
a b a
b a
M
−
+
−
+
−
+
=
( 2 2)2
2 2 2
b a
b a : a
b a
b a b a b a b b a
b a a b a b
−
+
−
−
− +
−
− + +
=
( 2 2)2
2 2 2 2 2
2 2
b a
b a a b a
b ba ba a b b a
ab a b ba
+
−
−
+
− +
−
− + +
=
( )( ) [ ( ) ( ) ]
( )2( 2 2)2
2 2
2 2 2
b a b a ab
b a b a b a b a
+
−
− + +
+
=
( )( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2 2
b a b a ab
b a b a b a b a
M
+
−
+
− +
+
ab
b
a+ 2
=
c/ Khi a = 498và b = 1992 = 4 498 = 2 498thì:
( ) ab
b a M
2
+
9 498 2
498 3 498 2 498
498 2 498
2
2 2
=
= +
=
2. Gọi x (xe) là số xe của đội Điều kiện: x > 2 và x∈N.
Số xe hiện diện hôm làm việc là: x - 2 (xe)
Lượng hàng mỗi xe chở theo dự định:
x
100 (Tấn) Lượng hàng mỗi xe phải chở khi làm việc là:
2 x
100
−
(Tấn)
Hôm làm việc mỗi xe phải chở thêm 2,5 tấn nên ta có phương trình:
2
5 x
100 2 x
100
=
−
− (x ≠ 0; x ≠ 2).
100 2x - 100.2.(x - 2) = 5x.(x - 2) 200x - 200x + 400 = 5x2 - 10x 5x2 - 10x - 400 = 0
x2 - 2x - 80 = 0
∆ ’= (- 1)2 - (- 80) = 81 ⇒ ∆ ' = 9
x1 = - (- 1) + 9 = 10 (thoả) ; x2 = - (- 1) - 9 = - 8 (loại) Vậy số xe của đội là 10 chiếc xe
Hình học:
Trang 4a/ AD là đường kính của đường tròn (O).
Theo giả thiết ta có: BD // CF và AB ⊥ CF
Nên :ABD = 1 v
Suy ra B ở trên đường tròn đường kính AD
Mà: A, B, D ∈ (O)
Do đó AD là đường kính của đường tròn (O)
b/ Tứ giác BHCD là hình bình hành
Ta có: CD ⊥ AC (C ở trên đường tròn đường kính AD)
BE ⊥ AC (gt) Suy ra: CD// BE
Mặt khác: BD // CF (gt)
Do đó BHCD là hình bình hành
c/ HB.HE = HC.HF:
Xét hai tam giác
vuông HFB và HEC ta có:
EHC
đỉnh)
Nên: ∆HFB ∆HEC
Suy ra:
HC
HB HE
HF =
Do đó: HB.HE = HC.HF
d/ A, H, I thẳng hàng, I (O)∈
Vì I là điểm đối xứng với H qua BC nên HI ⊥ BC
Thêm vào đó: AH ⊥ BC (H là trực tâm tam giác ABC)
Vì vậy A, H, I thẳng hàng
Theo giả thiết I là điểm đối xứng với H qua BC nên:
BHC
Mà : EHF = BHC (đối đỉnh)
Cho nên: BIC = EHF
Mặt khác: EHF + BAC = 2 v (góc có cạnh tương ứng vuông góc)
Suy ra: BIC + BAC = 2 v
Vì vậy tứ giác ABIC nội tiếp trong một đường tròn
Ta lại có: A, B, C ∈ (O)
Do đó I ∈ (O)
A
E F
C B
O H
