Đề 2: a/ Chứng minh định lý: Trong một tứ giác nội tiếp đường tròn, tổng các góc đối diện nhau bằng hai góc vuông.. b/ Phát biểu định lý đảo của định lý nêu ở câu a.. Nếu làm riêng thì
Trang 1ĐỀÌ THI TỐT NGHIỆP TRUNG
HỌC CƠ SỞ NĂM HỌC 1992 - 1993
A – LÝ THUYẾT: (2 điểm) Thí sinh chọn một trong hai đề
sau đây :
Đề 1: a/ Định nghĩa hai hệ phương trình tương đương và
phép biến đổi tương đương của hệ phương trình
b/ Giải hệ phương trình:
= +
=
+
7 y2 x
5 y3
x2
bằng phương pháp
cộng
Đề 2: a/ Chứng minh định lý: Trong một tứ giác nội tiếp
đường tròn, tổng các góc đối diện nhau bằng hai góc vuông
b/ Phát biểu định lý đảo của định lý nêu ở câu a
B –BÀI TOÁN: (bắt buộc)
Bài 1 : (2 điểm ) Cho biểu thức
x 2 1
x : 1 x
1 1 x
x 1
x
x
P
+
−
+
−
−
+
=
a/ Với giá trị nào của x thì biểu thức P được xác định ?
b/ Rút gọn biểu thức P
c/ Tính giá trị của P khi
2
1 3
x= −
Bài 2 : (2 điểm ) Hai đội công nhân xây dựng, nếu làm chung
thì mất 12 ngày sẽ làm xong công trình Nếu làm riêng thì đội thứ nhất làm xong công trình nhanh hơn đội thứ hai 7 ngày Hỏi mỗi đội làm riêng thì mất bao nhiêu ngày để xong công trình ?
Trang 2Nguyễn Dư Ba - Lê ình Châu - Nguyễn Phước Đ
Bài 3: (4 điểm ) Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC)
đường cao AH M là điểm trên cạnh AC sao cho AB = AM N là điểm trên cạnh BC sao cho MN // AH
a/ Chứng minh tứ giác ABNM nội tiếp được trong một đường tròn
b/ Chứng minh HN = AH
c/ Chứng minh CM.HN = AB.CN
d/ Các tiếp tuyến vẽ từ A, từ B, từ N với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABN cắt nhau tại P, Q, R (N ở trên đoạn thẳng QR)
Tính diện tích tứ giác APBM khi PQ = 6cm và PR = 8cm
BÀI GIẢI:
A –LÝ THUYẾT:
Đề 1: a/ (Xem sgk)
b/
11x
9y 718x
9y 14y4x2
5y3x2
7y2x
5y3x2
Đề 2: (Xem sgk)
B –BÀI TOÁN:
Bài 1 :
Trang 3a/ Biểu thức P xác định
≠
>
⇔
≠
>
⇔
≠ +
≠
≠−
≠−
≠+
≥
⇔
1x
0x 1x 0x
0x 21 0x
01 x
01 x
01 x 0x
b/ Với điều kiện x > 0 và x ≠ 1 ta có:
x 2 1
x : 1 x
1 1 x
x 1 x
x
P
+
−
+
−
− +
=
x : 1 x 1 x
1 1
x
x 1 x
x
+
− +
+
−
− +
=
x : 1
x 1 x
1 1 x x 1 x x
+
− +
+ +
−
−
=
( )( ) 1 2 x
x : 1 x 1 x
1 x x x
x
+
− +
+
−
−
−
x : 1 x 1 x
x 2 1
+
− +
−
=
( x 1)( x 1).x
x 2 1 x 2 1
P
− +
+
−
x 4 1
−
−
=
c/ Khi
2
1 3
4
3 3 1 3
1 3 2 1 1 2
1 3 2
1 3
2
1 3 4 1 P
−
−
−
−
=
−
−
−
−
=
Trang 4Nguyễn Dư Ba - Lê ình Châu - Nguyễn Phước Đ
( ) ( )
2
4 3 2 3 2
3 2 3 4 3 4 6
3 2 3 4
−
−
=
−
−
=
Bài 2 : Gọi x (ngày) là thời gian để đội thứ nhất làm xong
công trình
Điều kiện: x > 12
Thời gian để đội thứ hai làm xong công trình là: x + 7 (ngày) Một ngày đội thứ nhất làm được:
x
1 (công trình) Một ngày đội thứ hai làm được:
7 x
1
+ (công trình)
Một ngày cả hai đội làm được:
12
1 (công trình) Từ đó ta có phương trình:
12
1 7 x
1 x
1
= +
+ (x ≠ 0; x ≠ - 7) 12(x + 7) + 12x = x(x + 7)
12x + 84 + 12x - x2 - 7x = 0
x2 - 17x - 84 = 0
∆ = (-17)2 - 4(- 84 ) = 625 ⇒ ∆ = 25
2
25 17
2
25 17
x2 = − − − =− (loại) Vậy thời gian hoàn thành công trình của đội thứ nhất là 21 ngày và của đội thứ hai là 28 ngày
Bài 3:
a/ Tứ giác ABNM nội tiếp được trong một đường tròn
Ta có: AH // MN (gt)
AH ⊥ BC (gt)
Suy ra: BNM = 1 v
Mặt khác: BAM = 1 v (gt)
Cho nên: BNM + BAM = 2 v
Do đó tứ giác ABNM nội tiếp được trong một đường tròn
b/ HN = AH:
Theo giả thiết ta có: AB = AM và BAM = 1 v
Trang 5Cho nên:AMB=450
Mà: ANB = AMB (cùng chắn cung AB)
Vì vậy: ANB= 450
Mặt khác: AHN = 1 v (gt)
Suy ra ∆ AHN vuông cân tại H
Do đó: AH = HN
c/ CM.HN = AB.CN:
Do MN // AH nên ta có:
NH
CN AM
CM
=
Thêm vào đó: MA = AB (gt)
NH
CN AB
CM
=
⇒
=
d/ Diện tích tứ giác APBM:
Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp
tam giác ABM thì I là trung điểm của
đoạn thẳng BM vì BAM = 1 v Tứ giác
AIBP có:
v 1 PBI
PAI = = (tính chất tiếp tuyến)
v 1
AIB = (AI là trung tuyến của tam giác cân ABM)
Suy ra AIBP là hình chữ nhật
Mặt khác: BI = AI (bán kính)
Cho nên AIBP là hình vuông
Aïp dụng định lý Pythagore vào tam giác vuông PQR ta có:
) cm ( 10 QR 100 64 36 PR PQ
QR 2 = 2 + 2 = + = ⇒ =
Theo tính chất tiếp tuyến ta có:AP = BP; AQ = QN và BR = NR
Cho nên:
PQ + PR - QR = AP + AQ + PB + BR - RN - NQ = AP + PB = 2AP Suy ra: AP = (PQ + PR - QR):2 = (6 + 8 -10):2 = 2(cm)
Từ đó ta có: AP = PB = BI = IM = 2(cm)
Diện tích hình thang APBM được tính như sau:
2
2 4 2 2
PB BM AP
)
APBM
A P
Q
I
M
R
