Đề 2: a/ Viết công thức tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp đa giác đều n cạnh có độ dài mỗi cạnh là a.. Gọi N là một điểm bất kỳ trên cạnh DC không trùng với
Trang 1ĐỀÌ THI TỐT NGHIỆP TRUNG
HỌC CƠ SỞ NĂM HỌC 1993 - 1994
A – LÝ THUYẾT: (2 điểm) Thí sinh chọn một trong hai đề
sau đây :
Đề 1: a/ Phát biểu định nghĩa căn bậc hai đồng dạng.
b/ Cho các căn thức bậc hai: 48 ; 5 ; 3 ; 45 và
5 1
Căn thức nào đồng dạng với nhau ? Vì sao ?
Đề 2: a/ Viết công thức tính bán kính của đường tròn
ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp đa giác đều n cạnh có độ dài mỗi cạnh là a
b/ Aïp dụng:Tính chu vi đường tròn nội tiếp lục giác đều cạnh a
B – BÀI TOÁN: (bắt buộc)
Bài 1 : (2 điểm ) Cho phân thức: ( )( ) ( )
2 x 3 4 1 x 2 x 3
2 +
−
−
− +
−
=
a/ Với giá trị nào của x thì phân thức có nghĩa ?
b/ Rút gọn phân thức đã cho
Bài 2 : (2 điểm ) Một ca nô chạy một khúc sông dài 30km
cả đi và về mất 5 giờ 20 phút Tính vận tốc của ca nô khi nước yên lặng, biết rằng vận tốc của dòng nước là 3km/h
Bài 3: (4 điểm ) Cho hình vuông ABCD cạnh a Gọi N là một
điểm bất kỳ trên cạnh DC (không trùng với D, C) Tia AN cắt tia BC tại M Đường thẳng vuông góc với AN tại A cắt tia BC và tia CD theo thứ tự tại P và Q
a/ Chứng minh tứ giác QACM nội tiếp được trong một đường tròn
b/ Chứng minh tam giác AQM vuông cân
c/ Tia PN cắt QM tại R Gọi K là trung điểm của QM Chứng minh AK // PR
Tuyển tập Đề thi Tốt nghiệp THCS * Môn Toán *
Trang 2d/ Chứng minh rằng khi N di động trên cạnh DC (không trùng với D, C) thì tích QD.PB không đổi
BÀI GIẢI:
A – LÝ THUYẾT:
Đề 1: a/ (xem sgk)
b/ Ta có: 48 = 4 3 ; 45 = 3 5và 5
5
1 5
1
Vì vậy các căn thức 48 ; 3là căn thức đồng dạng; các căn thức 5 ; 45và
5
1 là các căn thức đồng dạng
Đề 2: a/ (xem sgk)
b/ Bán kính đường tròn nội tiếp lục giác đều cạnh a:
2
3 a 3
3 2
a 30
tg 2 a n
180 tg 2
a
Chu vi đường tròn nội tiếp lục giác đều cạnh a là:
3 a 2
3 a
B – BÀI TOÁN:
Bài 1 : Cho phân thức: ( )( ) ( )
2 x 3 4 1 x 2 x 3
2 +
−
−
− +
−
=
a/ Phân thức M có nghĩa ( )( )
−≠
≠
⇔
≠+
≠−
⇔≠+
−⇔
3x
1x 03x
01x 03 x1x
2
b/ Với điều kiện x ≠ 1 và x ≠ - 3 ta có:
Tuyển tập Đề thi Tốt nghiệp THCS * Môn Toán * Tỉnh Thừa Thiên - Huế Trang 20
Trang 3( )( ) ( )
2 x 3 4 1 x 2 x 3
2 +
−
−
− +
−
4 1 x 2 x 3
2
2 +
−
− +
−
=
3 x 1 x 2 x 3 3
x 1 x
2 1 x 2 1 x 2 x 3
+
−
+
−
−
= +
−
+ +
− +
−
=
1 x
2 x 3 M
−
−
=
Bài 2 :
Gọi x (km/h) là vận tốc của ca nô khi nước yên lặng Điều kiện: x > 3
Vận tốc của ca nô khi xuôi dòng là: x + 3 (km/h)
Vận tốc của ca nô khi ngược dòng là: x - 3 (km/h)
Thời gian ca nô xuôi dòng hết 30 km là: ( )h
3 x
30
+
Thời gian ca nô ngược dòng hết 30 km là: ( )h
3 x
30
−
Do thời gian cả đi và về của ca nô là 5 giờ 20 phút (tức là
3
16
giờ) nên ta lập được phương trình:
3
16 3 x
30 3 x
−
+ +
(x ≠ 3; x ≠ - 3)
30.3(x - 3) + 30.3(x + 3) = 16(x + 3)(x - 3) 90x - 270 + 90x + 270 = 16x2 - 144 -16x2 + 180x + 144 = 0 4x2 - 45x - 36 = 0
∆ = (- 45)2 - 4.4(- 36) = 2025 + 576 = 2601 ⇒ ∆ = 51
4 2
51 45
4
3 4
2
51 45
x2 = − − − =− (loại) Vậy vận tốc của ca nô khi nước yên lặng là 12km/h
Bài 3:
Tuyển tập Đề thi Tốt nghiệp THCS * Môn Toán *
C D
P
Trang 4a/ Tứ giác QACM nội tiếp được trong một đường tròn:
Ta có: QAM=1v (gt)
QCM=1v (ABCD là hình vuông)
Suy ra A, C ở trên đường tròn đường kính QM
Vì vậy tứ giác QACM nội tiếp trong đường tròn đường kính CM
b/ Tam giác AQM vuông cân:
Ta có: AMQ=ACQ (cùng chắn cung AQ)
0
45 ACQ= (AC là đường chéo hình vuông ABCD) Suy ra: AMQ=450
Mặt khác: QAM=1v (gt)
Do đó tam giác AQM vuông cân tại A
c/ AK // PR:
MA và QC là hai đường cao trong tam giác QPM giao nhau tại N nên N là trực tâm của tam giác PQM
Suy ra: PR ⊥ QM
Mặt khác AK ⊥ QM (AK là trung tuyến của tam giác cân AQM)
Vì vậy: AK // PR
d/ Tích QD.PB không đổi:
Xét hai tam giác vuông ADQ và PAB ta có:
PAB AQD = (đồng vị) Suy ra: ∆ ADQ ∆ PBA
Từ đó ta có: PB.DQ AD.BA a2
BA
DQ PB
AD
=
=
⇒
=
Do đó tích QD.PB không đổi khi N di động trên cạnh DC
Tuyển tập Đề thi Tốt nghiệp THCS * Môn Toán * Tỉnh Thừa Thiên - Huế Trang 22
Trang 5Tuyển tập Đề thi Tốt nghiệp THCS * Môn Toán *