Đề 2: Chứng minh định lý: Trong một đường tròn, nếu” một đường kính vuông góc với một dây thì chia dây ấy ra hai phần bằng nhau.. Bài toán 3: 4 điểm Cho tam giác ABC vuông tại A và một
Trang 1ĐỀÌ THI TỐT NGHIỆP TRUNG
HỌC CƠ SỞ NĂM HỌC 1990 - 1991
A – CÂU HỎI LÝ THUYẾT: (2 điểm)
Học sinh chọn một trong hai đề sau đây :
Đề 1: Định nghĩa hàm số và tập xác định của hàm số.
Tìm tập xác định của hàm số y = x − 3
Đề 2: Chứng minh định lý: Trong một đường tròn, nếu” một đường kính vuông góc với một dây thì chia dây ấy
ra hai phần bằng nhau Phát biểu mệnh đề đảo của” định lý trên Mệnh đề đảo ấy có đúng không ? Vì sao ?
B – BA BÀI TOÁN BẮT BUỘC:
Bài toán 1 : (2 điểm )
Cho biểu thức:
y 3 xy 3 x x
3 x 3 y
3 xy
x
−
− +
+
−
−
= a/ Phân tích các đa thức xy 3y– 2 và x2 + x 3xy 3y– – thành nhân tử và tìm điều kiện để biểu thức A được xác định
b/ Rút gọn biểu thức A
Bài toán 2: (2 điểm ) ( Giải bài toán bằng cách lập
phương trình )
Hai anh em đi xe đạp từ nhà về thăm quê cách nhà
36 km Người em đi lúc 7 giờ sáng; người anh đi lúc 8 giờ 30 phút sáng (cùng ngày) và mỗi giờ đi nhanh hơn người em 4 km Cho biết hai người về quê cùng một lúc Hỏi vận tốc của mỗi người ?
Bài toán 3: (4 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A và một điểm D lấy trên đoạn AC Đường vuông góc với đường thẳng BD vẽ từ C cắt đường thẳng BD tại E và cắt đường thẳng AB tại F
a/ Chứng minh hai tam giác ABD và ECD đồng dạng b/ Chứng minh tứ giác ABCE nội tiếp trong một đường tròn Tìm tâm của đường tròn đó
Trang 2c/ Trong câu này, cho AB = AD = a và BC = 2a Đường thẳng FD cắt BC tại K Tính cạnh AC, đường cao AH của tam giác ABC và đoạn FK
BÀI GIẢI:
A – CÂU HỎI LÝ THUYẾT:
Đề 1: Định nghĩa hàm số và tập xác định của hàm số
(xem sgk)
Biểu thức x − 3 có nghĩa ⇔ x - 3 ≥ 0 ⇔ x ≥ 3
Hàm số y = x − 3xác định với mọi giá trị của x ≥ 3
Đề 2: Chứng minh định lý (xem sgk)
Mệnh đề đảo: Trong một đường tròn, nếu một đường kính đi qua trung điểm một dây thì vuông góc với dây ấy
Mệnh đề đảo trên không đúng vì trong trường hợp đường kính đi qua trung điểm của một dây qua tâm thì chưa chắc vuông góc với dây đó
B – BA BÀI TOÁN BẮT BUỘC:
Bài toán 1 :
a/ xy 3y– 2 = y(x 3y)–
x2 + x 3xy 3y = x(x + 1) 3y(x + 1) = (x+1)( x 3y)– – – –
Biểu thức A xác định ⇔
≠
−
≠ +
≠
0 y x
0 1 x
0 y
≠
−
≠
≠
⇔
y x
1 x
0 y
b/ Với điều kiện y ≠ 0; x ≠ -1 và x ≠ 3y ta có:
) y 3 x )(
1 x (
) 1 x ( 3 )
y
3
x
(
y
x
A
− +
+
−
−
=
y 3 x
3 ) y 3 x ( y
x
−
−
−
=
y
1 )
y
3
x
(
y
y
3
x
=
−
−
=
Bài toán 2:
Gọi x (km/h) là vận tốc của người anh
Điều kiện: x > 4
Vận tốc của người em là: x - 4 (km/h)
Trang 3Thời gian người anh đi hết 36km là:
x
36 (h) Thời gian người em đi hết 36km là:
4 x
36
8 giờ 30 phút - 7 giờ = 1 giờ 30 phút =
2
3 giờ
Do thời gian về quê của người em nhiều hơn người anh
1 giờ 30 phút nên ta có phương trình:
2
3 x
36 4 x
− (x ≠ 4; x ≠ 0) 2.36x - 36.2(x - 4) = 3x(x - 4) 72x - 72x + 288 = 3x2 - 12x 3x2 - 12x - 288 = 0
x2 - 4x - 96 = 0
∆’ = (-2)2 - (- 96) = 100 ⇒ ∆ ' = 10
x1 = - (- 2) + 10 = 12 (thoả) ; x2 = - (- 2) -10= - 8 (loại) Vậy vận tốc của người anh là 12km/h và vận tốc của người em là 8km/h
Bài toán 3:
a/ ∆ ABD ∆ ECD: Hai tam giác vuông ABD và ECD có:
EDC ADB = (đối đỉnh) Suy ra: ∆ABD ∆ECD:
b/ Tứ giác ABCE nội tiếp trong một
đường tròn Xác định tâm:
Theo giả thiết ta có: BAC = 1 v
v 1 BEC =
Suy ra A và E ở trên đường tròn đường kính BC
Do đó tứ giác ABCE nội tiếp trong đường tròn đường kính BC có tâm là trung điểm của đoạn thẳng BC
B
A
E C D
F
Trang 4c/ Tính AC, AH, FK:
Aïp dụng định lý Pythagore vào tam giác vuông ABC ta có:
BC2 = AB2 + AC2⇒ AC2 = BC2 - AB2 = 4a2 - a2 = 3a2⇒ AC = a 3
Aïp dụng hệ thức lượng vào tam giác ABC và đường cao
AH ta có:
AH.BC = AB.AC ⇒
2
3 a a 2
3 a a BC
AC AB
Ta có D là giao điểm hai đường cao CA và BE trong tam giác FBC nên D là trực tâm tam giác FBC Suy ra FD ⊥ BC
Tam giác ABC vuông tại A nên ta có:
0
0 AFK DCK 30 60
ABC 2
1 a
a AC
AB
Ta có: AD = a và AC = a 3 nên DC = a ( 3 − 1 )
Tam giác FDA vuông taiû A nên:
a 2
1 : a 30 Sin : a SinAFD :
AD FD FD
AD
Tam giác DKC vuông taiû K nên:
) 1 3 ( 2
a 30 Sin CD SinDCK
CD DK CD
DK
Do D∈ FD nên:
2
a ) 2
1 2
3 2 ( a ) 1 3 ( 2 a