Giải đề Toán TS 10 - 9 (9)

Cho tam giác ABC vuông tại A ab < ac có đường cao AH và trung tuyến AM.. c Chứng minh bốn điểm B, C, D, E cùng thuộc đường tròn có tam là O.. Tính diện tích tam giác HEC theo a... Cho A

GIẢI ĐỀ TOÁN TUYỂN SINH 10

ĐỀ SỐ 9

(Thời gian : 120 phút)

Bài 1.

Cho P = x 1 y2 y 1 x2 Hãy tính giá trị của P theo a, biết a = xy (1 x2 )(1 y2 )

Bài 2

a) Giải phương trình : (x2  3) 2  6 x2  3 5 0  

b) Giả sử (x ; y) là nghiệm của hệ phương trình :

2 2 2

x x y y







Hãy tính giá trị biểu thức : x2 y2

Bài 3.

Cho hai số thực dương x và y thỏa : x + y = 5

Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = 1x1y

Bài 4.

Cho tam giác ABC vuông tại A (ab < ac) có đường cao AH và trung tuyến AM Vẽ đường tròn tâm H bán kính AH, cắt AB tại D, cắt AC tại E (D và E khác A)

a) Chứng minh : D, H, E thẳng hàng

b) Chứng minh : MAE  ADEvà MA  DE

c) Chứng minh bốn điểm B, C, D, E cùng thuộc đường tròn có tam là O Tứ giác AMOH là hình gì ?

d) Cho góc ACB = 30o và AH = a Tính diện tích tam giác HEC theo a

GIẢI :

Bài 1.

Cho P = x 1 y2 y 1 x2 Hãy tính giá trị của P theo a, biết a = xy (1 x2 )(1 y2 )

Ta có P2 = x2 (1 y2 ) y2 (1 x2 ) 2  xy (1 x2 )(1 y2 )

a2 = x y2 2  (1 x2 )(1 y2 ) 2  xy (1 x2 )(1 y2 )

P2 – a2 = x2 (1 y2 ) y2 (1 x2 ) x y2 2 (1 x2)(1 y2)= x2 (1 y2  y2 ) ( 1    y2 y2 )(1 x2 )

= – 1

Bài 2

a) Giải phương trình : (x2 3)2 6 x2 3 5 0   (1)

Đặt t = x 2 3 ≥ 0

Pt (1)  t2 – 6t + 5 = 0  t = 1 hoặc t = 5

+ Với t = 1  x 2 3 = 1  x2 – 3 = 1 hoặc x2 – 3 = – 1  x = 2 hoặc x =  2

+ Với t = 5  x 2 3 = 5  x2 – 3 = 5 hoặc x2 – 3 = – 5  x = 2 2

b) Giả sử (x ; y) là nghiệm của hệ phương trình :

2 2 2

2 4 3 0 (1)

x x y y







Hãy tính giá trị biểu thức : x2 y2

Từ (2), ta có : x2(1 + y2) = 2y  x2 = 2

2 1

y y

 ≤ 1 vì 1 + y2 ≥ 2y , với mọi y Nên : – 1 ≤ x ≤ 1

Từ (1) , ta có : – x3 – 1 = 2(y – 1)2 ≥ 0  x3 ≤ – 1

Vậy x = -1 và y = 1

Do đó : x2 + y2 = 2

Bài 3.

Cho hai số thực dương x và y thỏa : x + y = 5

Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = 1x1y

Ta có : S = 1x1y = x y xy = xy5 đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi xy đạt giá trị lớn nhất

Do x + y = 5 (không đổi) nên tích xy lớn nhất khi và chỉ khi x = y

4

x y

= 25

4 , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = 5

2

Vậy giá trị nhỏ nhất của S là : 4

5

Bài 4.

Cho ABC vuông tại A (AB < AC) có đường cao AH và trung tuyến AM Vẽ đường tròn tâm H bán kính AH, cắt AB tại D, cắt AC tại E (D và E khác A)

a) Chứng minh : D, H, E thẳng hàng

b) Chứng minh : MAE  ADEvà MA  DE

c) Chứng minh bốn điểm B, C, D, E cùng thuộc đường tròn có tâm là O Tứ giác AMOH là hình gì ?

d) Cho góc ACB = 30o và AH = a Tính diện tích HEC theo a

O

E

D

H

C M

B

A a) Từ gt  DAE= 90o( góc nội tiếp

chắn nửa đường tròn tâm H) do đó DE

là đường kính , hay D, H, E thẳng hàng

b) Trong ABC vuông tại A, AH

đường cao nên ABH HAE (1)

AHE cân tại H (HA = HE = bk)

HAE HEA (2)

(1) , (2)  ABH HEA mà MCA MAE  

(MAC cân tại M)

 ADE MAE  (4)(cùng phụ

ABHHEA )

Mà DA  AE nên AM DE (2góc

nhọn có cạnh tương ứng vuông góc)

c) BDHCEH (do (4) và BHD CHE   : đối đỉnh)

nên : DBC CED   : cùng nhìn CD dưới một góc bằng nhau, nên tứ giác DBEC nội tiếp được trong đường tròn tâm O

Với O là giao điểm của hai đường trung trực của BC và DE , nên AH // OM , AM // OH

Do đó AMOH là hình bình hành

d) Cho góc ACB= 30o và AH = a

và ADE= ACB= 30o nên AHE đều  E là trung điểm AC do đó diện tích tam giác

3 diện tích tam giác vuông AHC

SHEC = 1

3SAHC = 1

3.1

6

a

(đvdt)