aTìm số nguyên m nhỏ nhất sao cho phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt.. Tìm số nguyên lớn nhất sao cho x1 + x2 là một số nguyên.. Bài 6 4điểm: Cho đường tròn O đường kính AB; C là một
Trang 1PHÒNG GD&ĐT BÙ ĐỐP
ĐỀ THI CHỌN HSG CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2008 - 2009 MÔN: TOÁN 9
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Bài 1 (3điểm): Giải các phương trình sau:
a) x2− 6 x + − = 9 3 x 2
b) 8 + x + 5 − x = 5
c) 2 − + x x + + 2 4 − = x2 2
Bài 2 (4điểm): Cho phương trình: (m + 3)x2 − 2(m 2 + 3m)x + m 3 + 12 = 0 (1) trong đó m là tham số.
a)Tìm số nguyên m nhỏ nhất sao cho phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
b)Kí hiệu x1, x2 là hai nghiệm của (1) Tìm số nguyên lớn nhất sao cho x1 + x2 là một số nguyên
Bài 3 (3điểm): Chứng minh rằng ( n3+ 17 ) 6 n M với mọi số tự nhiên n
Bài 4 (3điểm): Tìm giá trị của x để biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất và tìm giá trị lớn nhất đó.
2
9
B x = − x với − ≤ ≤ 3 x 3
Bài 5 (3điểm): Cho tam giác ABC vuông ở A, có BC = 2, đường cao 2
AH 2
= Chứng minh ABC là tam giác vuông cân
Bài 6 (4điểm): Cho đường tròn (O) đường kính AB; C là một điểm di động trên đường tròn; H là hình chiếu của
C trên AB Trên OC lấy điểm M sao cho OM = OH
a)Điểm M chạy trên đường nào?
b)Kéo dài BC một đoạn CD = CB Điểm D chạy trên đường nào?
HẾT
Trang 2HƯỚNG DÂN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2008 – 2009 MÔN: TOÁN
Bài 1: Giải các phương trình sau: 3 điểm
a) x2− 6 x + − = 9 3 x 2
2 3
3 2 3
3 2 3
3 2 3
x
≥−
⇔ − = + ⇔ − = +
− = − −
0,5điểm
0,5điểm
b) 8 + x + 5 − x = 5
điều kiện: 0 ≤ x t = ≤ 5
Phương trình đã cho trở thành: 8 + + t 5 − = ⇔ t 5 (8 + t )(5 ) 6 − = ⇔ t t2 + 3t − 4 = 0
0,5điểm
1
4
t
t
=
⇔ =−
Kết hợp với điều kiện ta có t = 1, phương trình có nghiệm duy nhất x = 1
0,5điểm
c) 2 − + x x + + 2 4 − = x2 2
Điều kiện: 2 − ≤ ≤ x 2
Đặt t = 2 − + x x + 2
2
2
t
0,5điểm
Phương trình đã cho có dạng: t2 + 2t −8 = 0 ⇒t = −4 (loại) hay t = 2
Với t = 2 ta có 4 − = ⇔ = ± x2 0 x 2
Thử lại ta thấy x = ± 2 là hai nghiệm của phương trình
0,5điểm
Bài 2 (4điểm): Cho phương trình: (m + 3)x2 − 2(m2 + 3m)x + m3 + 12 = 0 (1) trong đó m là tham số a)Tìm số nguyên m nhỏ nhất sao cho phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
b)Kí hiệu x1, x2 là hai nghiệm của (1) Tìm số nguyên lớn nhất sao cho x1 + x2 là một số nguyên
Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt ' 0
0
a ≠
⇔ ∆ >
3
( 3 ) ( 3)( 12) 0
m
≠ −
⇔ + − + + >
2
3
1
4
x
x
≥−
⇔ = − ⇔ =
=
Trang 32 3
3
( 3)( 3) ( 3)( 12) 0
m
≠ −
3
( 3)( 3 ) ( 3)( 12) 0
m
≠ −
2
( m 3)(3 m 12) 0
⇔ + − >
2
2
3
3 0
2
3
3 0
2
3 12 0
m m
m
m m
m
m m
> −
+ >
− > >
>
+ < < − − > > −
− < <
0,5điểm
Vậy số nguyên nhỏ nhất thoả mãn là m=3 0,5điểm
b)Theo định lý Viet ta có:
3
m 12
x + x = 2m; x x =
m 3
+
(Điều kiện m ≥ 2hoặc − ≥ ≥ − 2 m 3)
3
2( 12)
3
m
m
+
2 2( 3 ) 30 2 2( 3)( 3 9) 30
4 2( 3 9)
3
m
Ta có: m ∈ ¢ và x12+ x22∈ ¢ nên m + ∈ 3 Ư(30)
Mà 2
m
m
≥
− ≥ ≥−
nên m lớn nhất thoả mãn các điều kiện này là m = 27 0,5điểm
(m + 3 = 30 ⇔ m = 27)
Bài 3 (3điểm): Chứng minh rằng ( n3+ 17 ) 6 n M với mọi số tự nhiên n
Ta có: n3 + 17n = n3 − n + 18n = (n −1)n(n + 1) + 18n 1điểm
Có: n và (n + 1) là hai số tự nhiên liên tiếp nên n n ( 1) 2 + M
n −1; n; n + 1 là 3 số tự nhiên liên tiếp nên ( 1) ( 1) 3 n − n n + M
2 và 3 là hai số nguyên tố cùng nhau nên ( 1) ( 1) 3.2 = 6 n − n n + M 1điểm
Lại có 18 6 nM nên ( 1) ( 1) 18 6 ( n − n n + + n M ∀ ∈ n ¥ ) 1điểm
Bài 4 (3điểm): Tìm giá trị của x để biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất và tìm giá trị lớn nhất đó.
2
9
B x = − x với − ≤ ≤ 3 x 3
Áp dụng BĐT Cauchy cho hai số dương ta có:
9
2
Vậy Giá trị lớn nhất của B là 9
2 khi
3 2 2
AH 2
= Chứng minh ABC là tam giác vuông cân
Vẽ Trung tuyến AM Ta có:
Vì AH ⊥ BC nên AM AH ≥ , Dấu “=” xảy ra ⇔ M H ≡ 1điểm
Trang 4Ta có: AM = BC 2 AH M H
Do đó tam giác ABC vuông cân tại A 1điểm
Bài 6 (4điểm): Cho đường tròn (O) đường kính AB; C là một điểm di động trên đường tròn; H là hình chiếu của
C trên AB Trên OC lấy điểm M sao cho OM = OH
a)Điểm M chạy trên đường nào?
b)Kéo dài BC một đoạn CD = CB Điểm D chạy trên đường nào?
Giải:
a)µ
OM = OH
O ChungΔOMB = ΔOHC(c.g.c)
OB= OC
⇒
1điểm
OMB= OHC 90
⇒ = Vậy M chạy trên đường tròn đường kính OB 1điểm
C (O) ∈ ⇒ ACB 90 = hay AC BD ⊥
Mà CD = CB ⇒ ΔADB có AC vừa là đường cao, vừa là trung tuyến nên ΔADB cân tại A
Vì vậy D chạy trên đường tròn (A; 2R) 1điểm