Đề thi HSG huyện Toán 9(11-12)

Vẽ AH vuông góc với BC tại H, HM vuông góc với AB tại M và HN vuông góc với AC tại N.. Cho hình vuông ABCD có AB = a cố định, M là một điểm di động trên đường chéo AC.. Kẻ ME vuông góc v

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2011-2012

MÔN: TOÁN - LỚP 9

Thời gian làm bài: 120 phút

C©u 1 Cho a  Z Chứng minh rằng a5- a chia hết cho 30

a) Rút gọn P

b) Tìm x để P < 1

c) Tìm số nguyên x để P nhận giá trị nguyên

Câu 3 a) Giải phương trình: x2 + 3x + 1 = (x + 3) x2  1

1

1 1

1 1









Tìm giá trị lớn nhất của tích: M = abc

Câu 4 Cho tam giác ABC vuông ở A Vẽ AH vuông góc với BC tại H, HM vuông

góc với AB tại M và HN vuông góc với AC tại N

Chứng minh rằng:

a)

3

  

Câu 5 Cho hình vuông ABCD có AB = a cố định, M là một điểm di động trên

đường chéo AC Kẻ ME vuông góc với AB và MF vuông góc với BC Xác định vị trí của M trên AC sao cho diện tích tam giác DEF nhỏ nhất Tính giá trị nhỏ nhất đó

Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên: Số báo danh:

HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2011-2012

MÔN: TOÁN 9

-C©u 1 (4 điểm)

Lập luận được a(a - 1)(a + 1)(a – 2)(a + 2) chia hết cho 30 và 5a(a - 1)(a + 1) chia

Câu 2 (6 điểm) Ta có x 8 x 15 (  x 3)( x 5)

0; 9; 25



5

x

x





x



5

x x



5

x

5

Đối chiếu với điều kiện xác định thì x = 9 không thoả mãn

Câu 3: (4 điểm) a) (2,5 điểm) x2 + 3x + 1 = (x + 3) x2  1

b) (1,5 điểm) 2

1

1 1

1 1









1 1

1

1 1

1

1 1

1

1

c b

bc c

c b

b c

b

1

1

a c

ca

1

1

c a

ab



1

1 1

1 1

1

c b

bc c

b

a c

ca



 2 (1 )(1 )

c a

ab





= 8

) 1 )(

1 )(

1

abc





8

Dấu đẳng thức xẩy ra khi a = b = c =

2 1

Vậy M nhận giá trị lớn nhất bằng

8

2

Câu 4 (4 điểm) Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có:

2

2

4 2

4 2

(1 điểm) M N

 44 22 .

.

AC CH  CN AC

 AB 3 BM

AC CN

  

Câu 5 (2 điểm)

a x y xy a xy (0,5 đ)

2

2

x y

4

4

2

khi đó M là trung điểm của đoạn thẳng AC

2 2 4 8