Đường thẳng vuông góc với AB tại B và đường thẳng vuông góc với AC tại C cắt nhau tại G.. a Chứng minh rằng GH đi qua trung điểm M của BC.. Do đĩ hai đường chéo GH và BC cắt nhau tại tru
Trang 1ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2010-2011
MÔN TOÁN HỌC Thời gian làm bài : 150 phút (không kể thời gian phát đề)
Bài 1 (2đ): Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a) 4x2 – 49 – 12xy + 9y2
b) x2 + 7x + 10
Câu 2( 4đ ): Thu gọn các biểu thức sau:
a) S = (a b)(a c) (b c)(b a) (c a)(c b)− a − + − b − + − c − (a, b, c khác nhau đôi một)
b) P = x 2 x 1 x 2 x 1
x 2x 1 x 2x 1
+ − − − − (x ≥ 2)
Bài 3 ( 4đ): Giải phương trình
b) 2x – 1 – 2 x – 1= −1.
Bài 4 ( 6đ ): Tam giác ABC có ba góc nhọn, các đường cao AD, BE, CF gặp nhau tại
H Đường thẳng vuông góc với AB tại B và đường thẳng vuông góc với AC tại C cắt nhau tại G
a) Chứng minh rằng GH đi qua trung điểm M của BC
b) ∆ABC ~ ∆AEF
c) ·BDF CDE=·
d) H cách đều các cạnh của tam giác ∆DEF
Bµi 5 ( 2đ ) : Chứng minh ∀ m, n, p, q ta đều có m2+ n2+ p2+ q2+1≥ m(n+p+q+1)
Bài 6 (2đ): Cho a, b, c, d là các số nguyên thỏa a ≤ b ≤ c ≤ d và a + d = b + c
Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 + d2 là tổng của ba số chính phương
HẾT TRƯỜNG THCS NHƯ THỤY
Trang 2TRƯỜNG THCS NHƯ THỤY HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN HỌC 9
Bài 1
a) 4x2-49-12xy+9y2=(4x2-12xy+9y2)-49
=(2x-3y)2-72=(2x-3y+7)(2x-3y-7)
b) x2+7x+10 =x2+5x+2x+10
=x(x+5) +2(x+5) =(x+5)(x+2)
(0,5đ) (0,5đ)
(0,5đ) (0,5đ)
Câu 2:
a) S = (a b)(a c) (b c)(b a) (c a)(c b)− a − + − b − + − c − (a, b, c khác nhau đôi một)
= a(c b) b(a c) c(b a)− +(a b)(b c)(c a)− −− +− − = ac ab ba bc cb ca−(a b)(b c)(c a)−+ − + −− − = 0
b) P = x 2 x 1 x 2 x 1
x 2x 1 x 2x 1
+ − − − − (x ≥ 2)
=
2 ( x 1 1) ( x 1 1)
2x 2 2x 1 2x 2 2x 1
=
2 x 1 1 x 1 1 ( 2x 1 1) ( 2x 1 1)
2 x 1 1 x 1 1 2x 1 1 2x 1 1
= 2 x 1 1 x 1 1
2x 1 1 ( 2x 1 1)
− + + − −
− + − − − (vì x ≥ 2 nên x 1 1− ≥ và 2x 1− ≥ 1)
= 2 x 1 −
(1đ)
(1đ)
(1đ) (1đ)
Bài 3a) Ta xét các trường hợp sau
TH1:
1
2
≥ − ⇔ + ≥ ⇒ + = −
Ta thấy x=3 thuộc khoảng đang xét vậy nó là nghiệm của phương trình
TH2:
1
2
< − ⇔ + < ⇒ + = −
⇔ − − = − ⇔ = ⇔ =
Ta thấy x=0,2 không thuộc khoảng đang xét vậy nó không là nghiệm của
phương trình
Kết luận phương trình có nghiệm x=3
(1đ)
(1đ)
Trang 3Gợi ý đáp án Điểm
Bài 3b) Phương trình có thể viết lại: 2x 1 1 2 x 1 đk :x 1 − + = − ≥ Bình phương
2 vế , thu gọn được:
2x 1 x 2 − = − Điều kiện x ≥ 2, bình phương 2 vế phương trình được 2x – 1 =
x2 – 4x + 4
hay x2 – 6x + 5 = 0 ⇔ x = 1(loại) hoặc x = 5 (thỏa) Vậy phương trình có 1
nghiệm x = 5
(2đ)
Bài 4a) Ta cĩ BG ⊥AB, CH ⊥AB, nên BG//CH,
tương tự: BH ⊥AC, CG ⊥AC, nên BH//CG.tứ giác
BGCH cĩ các cặp cạnh đối sơng song nên nĩ là
hình bình hành Do đĩ hai đường chéo GH và BC
cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường Vậy GH đi
qua trung điểm M của BC
(2đ)
4b) Do BE và CF là các đường cao của tam giác ABC nên các tam giác ABE và
ACF vuơng Hai tam giác vuơng ABE và ACF cĩ chung gĩc A nên chúng đồng
dạng Từ đây suy ra AB AE AB AF (1)
Hai tam giác ABC và AEF cĩ gĩc A chung (2) Từ (1) và (2) ta suy ra ∆ABC ~
∆AEF
(1,5đ)
4c) Chứng minh tương tự ta được ∆BDF~∆BAC, ∆EDC~∆BAC, suy ra
∆BDF~∆DEC⇒BDF CDE· = ·
(1,5đ)
Suy ra DH là tia phân giác gĩc EDF Chứng minh tương tự ta cĩ FH là tia phân
giác gĩc EFD Từ đây suy ra H là giao điểm ba đường phân giác tam giác DEF
Vậy H các đều ba cạnh của tam giác DEF
(1đ)
Bài 5
m2+ n2+ p2+ q2+1≥ m(n+p+q+1) m2 + n2 + p2 + q2 +1- m(n+p+q+1)
≥0
⇔ − + ÷ ÷ + − + ÷ ÷ + − + ÷ ÷ + − + ≥÷÷
⇔ − + − + − + − ≥
(0,5đ) (1đ)
F
E
M
G
H
B
A
Trang 4Gợi ý đáp án Điểm
Dấu “=” xảy ra khi
− =
− =
− =
− =
m
n 0 2
m
p 0 2
m
q 0 2
m
1 0 2
⇔
=
=
=
=
m n 2 m p 2 m q 2
m 2
⇔ =
= = =
m 2
n p q 1
(0,5đ)
Bài 6: Vì a ≤ b ≤ c ≤ d nên ta có thể đặt a = b – k và d = c + h (h, k ∈ N)
Khi đó do a + d = b + c ⇔ b + c + h – k = b + c ⇔ h = k
Vậy a = b – k và d = c + k
Do đó: a2 + b2 + c2 + d2 = (b – k)2 + b2 + c2 + (c + k)2
= 2b2 + 2c2 + 2k2 – 2bk + 2ck
= b2 + 2bc + c2 + b2 + c2 + k2 – 2bc – 2bk + 2ck + k2
= (b + c)2 + (b – c – k)2 + k2 là tổng của ba số chính phương
(do b + c, b – c – k và k là các số nguyên)
(2đ)
Trong từng phần, từng câu, nếu thí sinh làm cách khác nhưng vẫn cho kết quả đúng,
hợp logic thì vẫn cho điểm tối đa của phần, câu tương ứng
HẾT
