Hình chữ0 nhật MNPQ có đỉnh M trên cạnh AB, N trên cạnh AC, P và Q ở trên cạnh BC đ ợc gọi là hình chữ nhật nội tiếp trong tam giác ABC.. a/ Tìm vị trí của M trên cạnh AB để hình chữ nhậ
Trang 1Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi lớp 9
Năm học 2008 - 2009 Thời gian: 120 phút
Bài 1: Tính giá trị của các biểu thức sau
P = 2009 2 2008+ − 2009 2 2008−
Q = (20082 2014 2008) ( 2 4016 3 2009)
2005.2007.2010.2011
Bài 2: Biết
b a 0
> >
− + − =
Bài 3: Chứng minh rằng với α < 450, ta có sin2α = 2sinα cosα
Bài 4: Cho tam giác ABC có ãABC = 60 ; BC = a ; AB = c (a, c là hai độ dài cho trớc) Hình chữ0 nhật MNPQ có đỉnh M trên cạnh AB, N trên cạnh AC, P và Q ở trên cạnh BC đ ợc gọi là hình chữ nhật nội tiếp trong tam giác ABC
a/ Tìm vị trí của M trên cạnh AB để hình chữ nhật MNPQ có diện tích lớn nhất
Tính diện tích lớn nhất đó
b/ Dựng hình vuông EFGH nội tiếp trong tam giác ABC bằng thớc kẻ và com-pa
Tính diện tích của hình vuông đó
Bài 5: Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng:
19b - a 19c - b 19a - c
ab + 5b cb + 5c ac + 5a ≤ - Hết
-Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi lớp 9
Năm học 2008 - 2009 Thời gian: 120 phút
Bài 1: Tính giá trị của các biểu thức sau
P = 2009 2 2008+ − 2009 2 2008−
Q = (20082 2014 2008) ( 2 4016 3 2009)
2005.2007.2010.2011
Bài 2: Biết
b a 0
> >
− + − =
Bài 3: Chứng minh rằng với α < 450, ta có sin2α = 2sinα cosα
Bài 4: Cho tam giác ABC có ãABC = 60 ; BC = a ; AB = c (a, c là hai độ dài cho trớc) Hình chữ0 nhật MNPQ có đỉnh M trên cạnh AB, N trên cạnh AC, P và Q ở trên cạnh BC đ ợc gọi là hình chữ nhật nội tiếp trong tam giác ABC
a/ Tìm vị trí của M trên cạnh AB để hình chữ nhật MNPQ có diện tích lớn nhất
Tính diện tích lớn nhất đó
b/ Dựng hình vuông EFGH nội tiếp trong tam giác ABC bằng thớc kẻ và com-pa
Tính diện tích của hình vuông đó
Bài 5: Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng:
19b - a 19c - b 19a - c
ab + 5b cb + 5c ac + 5a ≤ - Hết
Trang 2-H ớng dẫn chấm Bài 1: Tính giá trị của các biểu thức sau
P = 2009 2 2008+ − 2009 2 2008− = ( ) (2 )2
2008 1+ − 2008 1− = 2
Q = (20082 2014 2008) ( 2 4016 3 2009)
2005.2007.2010.2011
Đặt x = 2008, khi đó
x 3 x 1 x 2 x 3
x 2 x 3 x 3 x 1 x 1
x 3 x 1 x 2 x 3
Bài 2: Ta có 10a2 - 3b2 + ab = 0 ⇔ 3(4a2 - b2) - a(2a - b) = 0
⇔ (2a - b)(5a + 3b) = 0 ⇔ 2a - b = 05a + 3b = 0⇔5a = -3b b = 2a
Với b = 2a ⇒ 2a b 5b a 2a 2a 10a a 9a 9
3a b 3a b 3a 2a 3a 2a 5a 5
Bài 3: Xét ∆ABC có àA =900; àC= α Kẻ trung tuyến AM, đờng cao AH ⇒ ãAMH 2 = α
Đặt BC = a; AC = b; AB = c; AH = h; MA = MB = MC = m = a
2.
Ta có sinα = c
a; cosα = b
a ; sin2α = h
m
Do đó 2sinα cosα = 2 c b 2bc2 2ah2 2h h
a a = a = a = a = m= sin2α
Bài 4:
a/ Đặt AM = x (0 < x < c)
Ta có: MN = AM MN =ax
( )
0 c - x 3
MQ = BM.sin60 =
Suy ra diện tích của MNPQ là:
ax c - x 3 a 3
+ Ta có bất đẳng thức:
2
ab ab (a > 0, b > 0)
≥ ⇔ ≤ ữ
áp dụng, ta có:
2 2
x + c - x c
≤ ữ Dấu đẳng thức xảy ra khi: x = c - x x = c
2
Suy ra: S a 3 c. 2 =ac 3
8 khi
c
x =
2 hay M là trung điểm của cạnh AB
b/ Giả sử đã dựng đợc hình vuông EFGH nội tiếp trong tam giác ABC Nối BF, trên đoạn
BF lấy điểm F’ Dựng hình chữ nhật E'F'G'H' (E' AB;G', H' BC)∈ ∈
Ta có: E'F'// EF và F'G'// FG, nên: E'F'= BE'= BF'= F'G'
E'F' = F'G'
⇒ Do đó E'F'G'H' là hình vuông
A
H M
α
A
P Q
0 60
x
Trang 3+ Cách dựng và chứng minh: Trên cạnh AB lấy điểm E' tuỳ ý, dựng hình vuông E'F'G'H' (G', H' thuộc cạnh BC) Dựng tia BF' cắt AC tại F Dựng hình chữ nhật EFGH nội tiếp tam giác ABC Chứng minh tơng tự trên, ta có EF = FG, suy ra EFGH là hình vuông
+ Ta có: BH' = cotg60 =0 1
Suy ra: Tia BF' cố định khi E' di động trên AB,
cắt AC tại một điểm F duy nhất
Vậy bài toán có một nghiệm hình duy nhất
+ Đặt AE = x Ta có EF = AE EF =ax
( ) (c - x) 3
HE = c - x sinB =
2 EFGH là hình vuông, nên EF = EH ax=(c - x) 3 x = c 32
Suy ra diện tích hình vuông EFGH là:
2 2 2
2
3a c
S = EF =
2a + c 3
Bài 5: Ta có a2 + b2 - ab ≥ ab
(a + b)(a + b - ab) ab(a + b) a + b ab(a + b)
3 3
3 3
2
a + 20b 19b + ab(a + b) 20b - ab(a + b) 19b - a
b(20b - ab - a ) 19b - a b(20b - 5ab + 4ab - a ) 19b - a
b[5b(4b - a) + a(4b - a)] 19b - a
b(4b - a)(a + 5b) 19b - a (4b - a)(ab + 5b ) 19b - a
19b - a
4b - a
ab + 5b
Tơng tự với a, b, c > 0 thì: 19c - b3 23 4c - b; 19a - c3 23 4a - c
cb + 5c ≤ ac + 5a ≤
Từ đó ta có BĐT cần chứng minh Dấu “=” xảy ra khi a = b = c
- Hết
-A
G H
E '
F '
G '
H '