Giao anDS11 21 23

Nội dung bài học Số phần tử của tập A, kí hiệu nA hoặc A.. a Quy tắc: Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động.. Nếu hành động này có m cách thực hiện, hành động kia có

Tiết: 21 23 − QUY TẮC ĐẾM

I MỤC TIÊU

1 Kiến thức:

- Nắm vững quy tắc cộng và quy tắc nhân

2 Kỹ năng:

- Biết vận dụng quy tắc cộng và quy tắc nhân vào giải toán

- Biết được khi nào dùng quy tắc cộng và khi nào dùng quy tắc nhân

3 Thái độ:

- Cẩn thận, chính xác

- Thấy được toán học có ứng dụng thực tiễn

4 Năng lực hướng tới

- Năng lực tự học; giải quyết vấn đề, tính toán

II CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH

1 Giáo viên

- Giáo án, SGK, đồ dùng dạy học

2 Học sinh

- SGK, đồ dùng học tập

III PHƯƠNG TIỆN, PHƯƠNG PHÁP, KỸ THUẬT DẠY HỌC

Thuyết trình, nêu và giải quyết vấn đề Hoạt động nhóm

IV TIẾN TRÌNH DẠY HỌC

Tiết 1: Giới thiệu, nội dung Tiết 2: Luyện tập bài 1 đến bài 7 Tiết 3: Luyện tập từ bài 8 đến bài 10, vận dụng và tìm tòi mở rộng

1 Giới thiệu: Chương mới này các em sẽ được tiếp thu những kiến thức cơ bản nhất về Đại

số tổ hợp và lý thuyết xác suất Những lý thuyết này xuất phát từ việc giải quyết các vấn

đề trong thực tế, và có nhiều áp dụng trong thực tế Bài học đầu tiên chúng ta làm quen là quy tắc đếm

2 Nội dung bài học

Số phần tử của tập A, kí hiệu n(A) hoặc A

2.1 Quy tắc cộng.

a) Quy tắc: Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động Nếu hành động này có

m cách thực hiện, hành động kia có n cách thực hiện không trùng với bất kỳ cách nào của hành động thứ nhất thì công việc đó có m+n cách thực hiện.

b) Chú ý:

• Quy tắc cộng có thể mở rộng cho nhiều hành động

• Thực chất của quy tắc cộng là đếm số phần tử của 2 tập hợp có giao khác rỗng

A∩B=φ ⇒ n(A∪B) = n(A) + n(B)

• Nếu A và B hữu hạn tuỳ ý ta có :

n A B∪ = n A +n B −n A B∩

• Nếu A1, A2, ,An là n tập hợp hữu hạn đôi một không giao nhau Khi đó

( 1 2 n) ( ) ( )1 2 ( )n

n A A∪ ∪ ∪ A =n A n A+ + +n A

Ví dụ 1: Nhà trường triệu tập 1 cuộc họp về ATGT Yêu cầu mỗi lớp cử 1 HS tham gia Lớp 11B có

15 hs nam, 25 hs nữ.Hỏi có bnhiêu cách chọn ra 1 hs tham gia cuộc họp nói trên

Gợi ý:

Chọn 1 hs nam: có 15 cách

Chọn 1 hs nữ: có 25 cách

Vậy có 15+ 25 =40 cách

Ví dụ 2: Có bnhiêu hình vuông trong hình bên

Gợi ý:

Số hình vuông có cạnh bằng 1: 10

Số hình vuông có cạnh bằng 2: 4

Tổng số: 10+4= 14

2.2 Quy tắc nhân.

a Quy tắc: Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp Nếu có m cách thực hiện

hành động thứ nhất và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện hành động thứ hai thì có m.n cách

hoàn thành công việc đó

b Chú ý :

Quy tắc nhân có thể mở rộng cho nhiều hành động liên tiếp.

1 a1

a 2 a2

3 a3

1 b1

b 2 b2

3 b3

Ví dụ 1: Một lớp trực tuần cần chọn 2 hs kéo cờ trong đó có 1 hs nam,1 hs nữ Biết lớp có 25 nữ và

15 nam Hỏi có bnhiêu cách chọn 2 hs kéo cờ nói trên

Gợi ý:

Chọn hs nam:có 15 cách chọn

Ứng với 1 hs nam , chọn 1 hs nữ: có 25 cách chọn

Vậy số cách chọn là 15×25=375 cách chọn

3 Luyện tập:

Bài 1: Có bao nhiêu số điện thoại :

a) Sáu chữ số bất kì ?

b) Sáu chữ số lẻ ?

Giải:

a) Để chọn 1 số điện thoại ta cần thực hiện 6 giai đoạn lựa chọn 6 chữ số

Các số được chọn 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 ( 10 chữ số)

Chọn chữ số hàng trăm ngàn: có 10 cách chọn

Với 1 chữ số hàng trăm ngàn, có 10 cách chọn chữ số hàng chục ngàn

Tương tự, Có 10 cách chọn hàng ngàn

Có 10 cách chọn hàng trăm

Có 10 cách chọn hàng chục

Cĩ 10 cách chọn hàng đơn vị

Vậy cĩ 106= 1000 000 số điện thoai

b) Để chọn 1 số điện thoại ta cần thực hiện 6 giai đoạn lựa chọn 6 chữ số

Các số được chọn 1,3,5,7,9 ( 5 chữ số)

Chọn 1 chữ số ở 1 hàng: cĩ 5 cách chọn

Vậy số các số đthoại là 56 = 15 625 số

Bài 2 :

Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 cĩ thể lập được bao nhiêu số tự nhiên bé hơn 100?

Giải:

Các số thoả mãn đầu bài là các số khơng qúa hai chữ số, được lập từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6 Khi đĩ ta

cĩ số các số cĩ một chữ số là 6 và số cĩ hai chữ số là 6.6 = 36 Vậy ta cĩ số các chữ số cần tìm là : 6+36 = 42 (số)

Bài 3 :

Từ các chữ số 1, 2, 3, 4 cĩ thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm hai chữ số khác nhau?

Giải:

Số cần tìm cĩ dạng ab trong đĩ a∈{1,2,3,4} , b∈{1,2,3,4 \} { }a

Từ đĩ, cĩ tất cả 4.3 = 12 (số)

Bài 4 :

Cĩ ba kiểu mặt đồng hồ đeo tay và bốn kiểu dây đeo Hỏi cĩ bao nhiêu cách chọn một chiếc đồng

hồ gồm một mặt và một dây đeo?

Giải:

Số cách chọn 1 mặt đồng hồ là 3 cách

Số cách chọn 1 dậy đồng hồ là 4 cách

Vậy cĩ tất cả 3.4=12 cách chọn 1 chiếc đồng hồ

Bài 5: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 cĩ thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số phân biệt <45000

ĐS: 90

Bài 6: Cho các chữ số 1, 3, 5, 7, 9 cĩ thể lập được bao nhiêu số tự nhiên cĩ 3 chữ số khác nhau

và chia hết cho 3

ĐS: 24

Bài 7: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ta lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số phân biệt trong đĩ

phải cĩ mặt chữ số 5

ĐS: 1560

Bài 8: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 lập được bao nhiêu số chẵn gồm 5 chữ số phân biệt

khơng bắt đầu bởi 123

ĐS: 3348

Bài 9: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 cĩ bao nhiêu số gồm 6 chữ số phân biệt mà:

a) Các chữ số chẵn đứng cạnh nhau ĐS: 132

b) Các chữ số chẵn đứng cạnh nhau và các chữ số lẻ đứng cạnh nhau ĐS: 60

Bài 10: Cho A = {0;1;2;3;4;5;6;7} Cĩ bao nhiêu số gồm 5 chữ số phân biệt thuộc A cĩ một trong

3 chữ số đầu bằng 1

ĐS: 2280.

4 Vận dụng, tìm tòi mở rộng:

Câu 1 Từ thành phố A đến thành phố B có 3 con đường, từ thành phố B đến thành phố C có 2 con đường, từ thành phố C đến thành phố D có 2 con đường, từ thành phố A đến C có 4 con đường Không có con đường nào nối trực tiếp thành phố B với D hoặc nối A đến D Số đường đi khác nhau

từ thành phố A đến D là

Câu 2 Số các số tự nhiên nhỏ hơn 200000, chia hết cho 3, có thể được viết bởi các chữ số 0, 1, 2 là

Câu 3 Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được số các số gồm 3 chữ số là

Câu 4 Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được số các số gồm 5 chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 2 là

Câu 5 Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được số các số gồm 6 chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 5 là

Câu 6 Có 20 đội bóng đá tham gia tranh cúp vô địch ngoại hạng Anh Cứ 2 đội phải đấu với nhau 2 trận gồm một trận lượt đi và một trận lượt về Sau mỗi vòng thì mỗi đội đã đá thêm một trận Số trận và số vòng lần lượt là

A 380 và 19 B 380 và 38 C 190 và 19 D 190 và 38

Câu 7 Số palindrom là số mà nếu ta viết các chữ số theo thứ tự ngược lại thì giá trị của nó không thay đổi Ví dụ: 12521 là một số panlindrom Có bao nhiêu số palindrom gồm 5 chữ số?

Câu 8 Một bó hoa gồm có 5 bông hồng trắng, 6 bông hồng đỏ và 7 bông hồng vàng Hỏi có mấy cách chọn lấy 3 bông hoa gồm đủ ba màu?

Câu 9 Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được số các số có 3 chữ số đôi một khác nhau là

Câu 10 Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được số các số chẵn có 3 chữ số là

Câu 11 Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được số các số có hai chữ số mà cả hai chữ số đều chẵn là

Câu 12 Số các số có 3 chữ số đôi một khác nhau chia hết cho cả 2 và 5 là

Câu 13 Một người có 7 cái áo trong đó có 3 áo trắng và 5 cái cà vạt trong đó có 2 cà vạt màu vàng

Số cách chọn một áo và một cà vạt sao cho đã chọn áo trắng thì không chọn cà vạt màu vàng là

Câu 14 Cho tập hợp A = {1, 2, 3, 4, 5} Có bao nhiêu cặp sắp thứ tự (x, y) biết x và y đều thuộc A

Câu 15 Cho tập hợp A = {1, 2, 3, 4, 5} Có bao nhiêu cặp sắp thứ tự (x, y) thỏa mãn x và y thuộc A sao cho x + y = 6

Câu 16 Số các số có 2 chữ số mà chữ số đứng trước lớn hơn chữ số đứng sau là

Câu 17 Từ 6 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được số các số lẻ gồm 2 chữ số là

Câu 18 Từ 6 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được số các số gồm 3 chữ số đôi một khác nhau không chia hết cho 5 là

Câu 19 Từ 6 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được số các số có 3 chữ số mà tổng các chữ số bằng

số chẵn là

Câu 20 Từ 6 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được số các số có 2 chữ số khác nhau và chia hết cho

9 là

Tiết 1:

- HS về nhà xem lại lý thuyết và các ví dụ

- HS về làm các bài tập 1, 2, 3, 4 trong SGK

- Chuẩn bị tiết sau làm bài tập.

Tiết 2:

- HS về nhà xem lại các bài tập đã làm

- HS về làm các bài tập trong phần luyện tập

Chuẩn bị tiết sau làm bài tập tiếp

Tiết 3:

- HS về nhà xem lại các bài tập đã làm

- HS về làm các bài tập trong phần vận dụng, mở rộng

- Chuẩn bị tiết sau học bài HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP

Ngày soạn: 15/10/2017

Tiết: 24 27 − HOÁN VỊ, CHỈNH HỢP, TỔ HỢP

I MỤC TIÊU

1 Kiến thức:

- Hình thành khái niệm hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp Xây dựng các công thức tính số hoán vị,

tổ hợp, chỉnh hợp

2 Kỹ năng:

- Tính được số các hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp chập k của n phần tử

- Cần biết khi nào dùng tổ hợp, chỉnh hợp và phối hợp chúng với nhau để giải toán

3 Thái độ:

- Cẩn thận, chính xác

- Thấy được toán học có ứng dụng thực tiễn

4 Năng lực hướng tới

- Năng lực tự học; giải quyết vấn đề, tính toán

II CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH

1 Giáo viên

- Giáo án, SGK, đồ dùng dạy học

2 Học sinh

- SGK, đồ dùng học tập

III PHƯƠNG TIỆN, PHƯƠNG PHÁP, KỸ THUẬT DẠY HỌC

Thuyết trình, nêu và giải quyết vấn đề Hoạt động nhóm

IV TIẾN TRÌNH DẠY HỌC

Tiết 1: Nội dung 1.1, luyện tập bài 1,2 Tiết 2: Nội dung 1.2, luyện tập bài 3,4 Tiết 3: Nội dung 1.3, luyện tập bài 5,6 Tiết 4: Luyện tập từ bài 8 đến bài 10, vận dụng và tìm tòi mở rộng

3 Nội dung bài học

1.1 Hoán vị.

1.1.1 Hoạt động khởi tạo:

Cho biết có bao nhiêu cách sắp xếp 3 học sinh ngồi vào 3 vị trí cho trước?

Gợi ý: Học sinh thứ nhất có 3 vị trí để sắp xếp

Học sinh thứ hai có 2 vị trí để sắp xếp,

Học sinh thứ ba có 1 vị trí để sắp xếp

Vậy có tất cả là 3.2.1=6 cách sắp xếp

1.1.2 Hình thành kiến thức:

a Định nghĩa :

Cho tập hợp A gồm n phần tử (n≥ 1) Kết quả của việc sắp n phần tử trên theo một thứ tự nào đó được gọi là một hoán vị của n phần tử đã cho

 Nhận xét :

- Hoán vị của n phần tử chỉ khác nhau ở thứ tự sắp xếp

b Số các hoán vị

 Định lí : P n =n n( −1 2.1) =n! ( Pn là số các hoán vị của n phần tử )

Ví dụ 1: Trong một giờ học môn GDQP, một tiểu đội học sinh gồm mười người được xếp thành

một hàng dọc Hỏi có bao nhiêu cách xếp hàng ?

Gợi ý:

Mỗi cách xếp hàng 10 người cho ta một hoán vị của 10 và ngược lại Vậy áp dụng định lí trên ta có

số cách xếp là 10 !

1.2 Chỉnh hợp

1.2.1 Hoạt động khởi tạo:

Một nhóm học tập có năm bạn A, B, C, D, E Hãy kể ra vài cách phân công ba bạn làm trực nhật: một bạn quét nhà, một bạn lau bảng và một bạn sắp bàn ghế

Gợi ý: A quét nhà, B lau bảng, C sắp bàn ghế; A quét nhà, B lau bảng, D sắp bàn ghế; A quét nhà,

B lau bảng, E sắp bàn ghế; A quét nhà, C lau bảng, B sắp bàn ghế;

1.2.2 Hình thành kiến thức:

a Định nghĩa :

Cho tập hợp A gồm n phần tử (n≥ 1) Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho

b Số các chỉnh hợp

 Định lí : k ( 1 ) ( 1)

n

A =n n− n k− +

( k

n

A là chỉnh hợp chập k của n phần tử, 1 k n≤ ≤ )

 Chú ý :

+ Quy ước : 0 ! = 1, ta có

( ! )!, 1

k

n

n

n k

+ n

n n

P =A

Ví dụ 1: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm sáu chữ số khác nhau được lập tứ các số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 ? Gợi ý: Một số tự nhiên có sáu chữ số khác nhau được lập bằng cách lấy sáu chữ số khác nhau từ

chín chữ số đã cho và xếp chúng theo một thứ tự nhất định Mỗi số như vậy là một chỉnh hợp chập

6 của 9 Vậy số các số là : A96 =9.8.7.6.5.4 60480= .

1.3 Tổ hợp

1.3.1 Hoạt động khởi tạo:

Trên mặt phẳng, cho 4 điểm phân biệt A, B, C, D sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng Hỏi

có thể tạo nên bao nhiêu tam giác mà các đỉnh thuộc tập bốn điểm đã cho?

Gợi ý: Có tất cả 4 tam giác: ABC, ABD, ACD, BCD

1.3.2 Hình thành kiến thức:

a Định nghĩa :

Giả sử tập A có n phần tử (n≥ 1) Mỗi tập con gồm k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho

* Chú ý : Quy ước tổ hợp chập 0 của n phần tử là tập rỗng

b Số các tổ hợp

* Định lí : !( ! )!

k n

n C

k n k

=

− (C n k là số các tổ hợp chập k của n phần tử , 0 k n≤ ≤ )

c Tính chất của các số k

n

C

a TC1 : k n k(0 )

n n

C =C − ≤ ≤k n

Ví dụ 1: Một tổ cĩ 10 người gồm 6 nam và 4 nữ Cần lập một đồn đại biểu gồm 5 người Hỏi:

a) Cĩ tất cả bao nhiêu cách lập?

b) Cĩ bao nhiêu cách lập đồn đại biểu, trong đĩ cĩ 3 nam và 2 nữ?

Gợi ý:

a) Mỗi đồn được lập là một tổ hợp chập 5 của 10 Vì vậy số đồn đại biểu cĩ thể cĩ là :

5

10

10!

252

5!5!

b) Chọn 3 người trong 6 nam Cĩ cách C36 chọn

Chọn 2 ngưịi trong 4 nữ Cĩ 4

2

C cách chọn

Theo quy tắc nhân, cĩ tất cả 6

3

3

C = 20.6 = 120 cách lập đồn đại biểu gồm ba nam và hai nữ

2 Luyện tập:

Bài 1: Trên một kệ sách cĩ 5 quyển sách Tốn, 4 quyển sách Lí, 3 quyển sách Văn Các quyển sách

đều khác nhau Hỏi cĩ bao nhiêu cách sắp xếp các quyển sách trên theo từng mơn?

ĐS: 103680

Bài 2: Gọi X là tập hợp các số tự nhiên gồm 5 chữ số đơi một khác nhau lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4,

5 Số phần tử của X bắt đầu bằng chữ số 5 là bao nhiêu?

ĐS:24

Bài 3: Một người muốn xếp đặt 6 pho tượng từ 8 pho tượng vào một dãy 6 chỗ trống trên một kệ

trang trí Số cách xếp đặt là bao nhiêu?

ĐS:20160

Bài 4: Từ 5 chữ số 0, 1, 3, 6, 9 cĩ thể lập được bao nhiêu số cĩ 4 chữ số đơi một khác nhau và chia

hết cho 3?

ĐS: 18

Bài 5: Cho 20 câu hỏi, trong đĩ cĩ 8 câu lý thuyết và 12 bài tập Người ta cấu tạo thành các đề

thi sao cho trong mỗi đề thi phải gồm 5 câu hỏi, trong đĩ nhất thiết phải cĩ ít nhất 2 câu lý thuyết và

2 bài tập Hỏi cĩ thể tạo ra bao nhiêu đề thi?

ĐS:9856

Bài 6: Một lớp học cĩ 40 học sinh, trong đĩ gồm 25 nam và 15 nữ Giáo viên chủ nhiệm muốn

chọn một ban cán sự lớp gồm 4 em Tính số cách chọn, nếu trong 4 người cĩ ít nhất một em nam

ĐS:90025

Bài 7: Cĩ bao nhiêu cách xếp 6 học sinh ( trong đĩ cĩ 2 bạn A và B) đứng thành một hàng dọc

để chào cờ sao cho trong đĩ cĩ hai bạn A và B đứng kề nhau? (240)

Bài 8: Một họ 4 đường thẳng song song cắt một họ khác gồm 3 đường thẳng song song (khơng

song song với 4 đường ban đầu) Cĩ bao nhiêu hình bình hành được tạo nên ? (18)

Bài 9: Cho hai đường thẳng d1 và d2 song song nhau Trên d1 lấy 5 điểm, trên d2 lấy 3 điểm Hỏi

cĩ bao nhiêu tam giác mà các đỉnh của nĩ được lấy từ các điểm đã chọn ? (45)

Bài 10: Xếp 6 người A, B, C, D, E, F vào 1 ghế dài Hỏi cĩ bao nhiêu cách sắp xếp nếu:

a) 6 người ngồi bất kỳ

b) A và F ngồi 2 đầu ghế (48)

c) A và F luơn ngồi cạnh nhau (240)

3 Vận dụng, tìm tịi mở rộng:

Bài 1: (*) Một lớp cĩ 8 hs A, B, C, D, E, F, G, H.

a) Cĩ bnhiêu cách sắp xếp 8 hs vào 1 ghế dài 8 chỗ ngồi sao cho A, B khơng ngồi kế nhau? (30240)

b) Trong 8 hs trên cĩ 4 nam, 4 nữ được xếp vào 1 bàn dài cĩ 2 dãy ghế ngồi đối diện nhau Mỗi ghế cĩ 4 hs Hỏi cĩ bao nhiêu cách sắp xếp nếu đối diện 1 nam là 1 nữ? (9216)

Bài 2: (*) Cho một đa giác lồi cĩ n cạnh.

a) Tìm số đường chéo của đa giác

b) Tìm n để đa giác cĩ số đường chéo bằng số cạnh? (n = 5)

c) Cĩ bao nhiêu giao điểm giữa các đường chéo (khơng kể đỉnh) ?

Tiết 1:

- HS về nhà xem lại lý thuyết và các ví dụ

- Chuẩn bị phần CHỈNH HỢP cho tiết sau

- Một nhĩm học tập cĩ năm bạn A, B, C, D, E Hãy kể ra vài cách phân cơng ba bạn làm trực nhật: một bạn quét nhà, một bạn lau bảng và một bạn sắp bàn ghế

Tiết 2:

- HS về nhà xem lại lý thuyết và các ví dụ

- Chuẩn bị phần TỔ HỢP cho tiết sau

- Trên mặt phẳng, cho 4 điểm phân biệt A, B, C, D sao cho khơng cĩ ba điểm nào thẳng hàng Hỏi cĩ

thể tạo nên bao nhiêu tam giác mà các đỉnh thuộc tập bốn điểm đã cho?

Tiết 3:

- HS về nhà xem lại lý thuyết và các ví dụ

- Chuẩn bị tiết sau LÀM BÀI TẬP

Tiết 4:

- Xem lại lý thuyết và bài tập tồn bài

- So sánh giữa hốn vị, tổ hợp, chỉnh hợp

- Đọc trước bài NHỊ THỨC NIUTON

( 3)

2

n n

n