Đề thi toán cao cấp SPKT HCM 3

Câu III 2đ.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT TP.HCM ĐÁP ÁN TOÁN A1 CĐ

ĐỀ

Câu I (1,5đ) Giải phương trình 5

z   i trên tập hợp số phức

Câu II (1,5đ) Cho hàm số    2 

2

ln 1

x





 



Tìm a để hàm số f x liên tục  

tại x0 0

Câu III (2đ) Xét sự hội tụ của các tích phân suy rộng sau

1

1 3

x

 



 

2)

1

0

sin 1

x

x x







Câu IV (2,5đ)

1) Xét sự hội tụ của chuỗi số

1

5

!

n

n n







2) Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa

2

n

n

x n



 

 Câu V (2,5đ)

1) Cho y y x  là hàm ẩn xác định bởi phương trình 1xe xy 0 Tính y' 1  biết

 1 0

y 

2) Tìm cực trị của hàm z x2 y2xy6y

ĐÁP ÁN

I

1

i   i  

0,5

0,5

2

2

f x

x

0,5

x  f x x  x a a

 0

1

2

III

1

Khi x , 5 1 5 19/2

3

0,5

Mà 9/2

1

1

dx x



 hội tụ ( do 9

1 2

   ) nên I hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh 2

0,5

2

Khi x0,

1

0,5

Mà

1

0

1

dx x

 hội tụ nên J hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh 2

0,5

IV

1

n n

n

n





0,5

Do lim n 1 1

n

n

a a



  nên chuỗi đã cho hội tụ theo tiêu chuẩn D’Alambert 0,5

2

2

1 3

n

a

n



 ; Bán kính hội tụ R1, suy ra khoảng hội tụ của chuỗi: 1,1 0,5 Tại x 1, chuỗi số  

2 1

1 3

n

n n









 hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz

0,5

Tại x1, chuỗi số 2

1

1 3

n n



 

 hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh 2 hoặc so sánh

1

Miền hội tụ của chuỗi lũy thừa: 1,1

0,5

V

1

Đặt F x y ,  1 xe xy, ta có:

'x xy 1

F  e xy ; F'y  x e2 xy

0,5

'

'

x

y

y x



 

' 1 1

2

x

y



0,5

2 4

x y





 , suy ra M2, 4  là điểm dừng của z

0,25

''xx 2

Az  , Bz''xy 1, C z''yy 2;   ACB2 3 0,25 Tại M2, 4 , do 3 0

2 0

A

  



  

 nên z đạt cực tiểu tại M

0,5