Đề thi và đáp án GT1 k58 XD

a Khảo sát và vẽ đồ thị đ-ờng cong.. b Hãy tìm diện tích miền phẳng giới hạn bởi đ-ờng cong trên.. Hãy tính tích phân đó.. b Hãy tìm diện tích miền phẳng giới hạn bởi đ-ờng cong trên và

Trang 1

Tr-ờng ĐHXD Thời gian làm bài 90 phút Không sử dụng tài liệu trong phòng thi

Câu 1 (2.0đ) Tìm các số thực a và b để hàm số

f (x) =

(

ax2sinx12 + b sinx1 khi x > 0

khả vi trên R.

Câu 2 (2.0đ) Viết công thức khai triển Mac-Laurin của hàm số f(x) = xsin3

x tại lân cận của x = 0 tới

x6 Từ đó suy ra f(6)

(0).

Câu 3 (3.0đ) Cho đ-ờng cong d-ới dạng tham số

(

x = 1 − t2

y = 3t − t3.

a) Khảo sát và vẽ đồ thị đ-ờng cong

b) Hãy tìm diện tích miền phẳng giới hạn bởi đ-ờng cong trên

Câu 4 (3.0đ)

a) Chứng minh tích phân suy rộng +∞R

1

dx

x2(x + 1) hội tụ Hãy tính tích phân đó

b) Tìm thể tích và diện tích vật thể tròn xoay khi quay đ-ờng tròn x2

+ (y − 2)2 = 1 khi quay quanh trục Ox

Câu 1 (2.0đ) Tìm các số thực a và b để hàm số

f (x) =

(

ax2cosx12 + b cosx1 khi x > 0

khả vi trên R.

Câu 2 (2.0đ) Viết công thức khai triển Mac-Laurin của hàm số f(x) = xcos3x tại lân cận của điểm

x = 0 tới x5 Từ đó suy ra f(5)(0).

Câu 3 (3.0đ) Cho đ-ờng cong d-ới dạng tham số

(

x = 1 + t3

y = 3t − t3.

a) Khảo sát và vẽ đồ thị đ-ờng cong

b) Hãy tìm diện tích miền phẳng giới hạn bởi đ-ờng cong trên và trục Ox.

Câu 4 (3.0đ)

a) Chứng minh tích phân suy rộng +∞R

1

dx x(x + 1)2 hội tụ Hãy tính tích phân đó

b) Tìm thể tích và diện tích vật thể tròn xoay khi quay đ-ờng tròn (x − 3)2

+ y2 = 1 khi quay quanh trục Oy

Trang 2

Bộ Môn Toán Đề thi môn Giải tích 1 K58 Đề số 3

Câu 1 (1.0đ) Chứng minh dãy số thực {un}, n ∈ N∗ hội tụ, biết

un= cos

1 n

1.2 +

cosn2

2.3 + +

cosn−1n

(n − 1).n +

cos nn

n.(n + 1) với n ∈ N∗.

Câu 2 (2.0đ) Tìm giới hạn lim

x→0

√

1 − sin x −√1 − x

x2e2xsin x .

Câu 3 (3.0đ)

a) Phát biểu định lý Rolle

b) Sử dụng Định lý Lagrange hoặc định lý Rolle để chứng minh rằng: với mọi x ≥ 1, ta luôn có

x − 1

x ≤ ln x ≤ x − 1.

Câu 4 (2.0đ) Viết khai triển Taylor (dạng Peano) hàm f(x) = (x − 2) ln(4x − x2) tại lân cận điểm

x = 2 đến cấp n = 5 và tính f(5)(2)

Câu 5 (2.0đ) Tính tích phân suy rộng +∞R

√ 6

1

x5 lnx

2

− 2

x2+ 2dx.

Câu 1 (1.0đ) Chứng minh dãy số thực {un}, n ∈ N∗ hội tụ, biết

un = sin

1 1

1.2 +

sin12

2.3 + +

sinn−11

(n − 1).n +

sinn1

n.(n + 1) với n ∈ N∗

.

x→0

√

1 + sin x −√1 + x

x cos 2x sin2x .

Câu 3 (2.0đ)

a) Phát biểu định lý Rolle

b) Sử dụng Định lý Lagrange hoặc định lý Rolle để chứng minh rằng: với mọi x ≥ 0, ta luôn có

x

1 + x2 ≤ arctan x ≤ x.

Câu 4 (2.0đ) Viết khai triển Taylor (dạng Peano) hàm f(x) = (x + 1) ln(3 + 2x + x2)tại lân cận điểm

x = −1 đến cấp n = 5 và tính f(5)(−1)

Câu 5 (2.0đ) Tính tích phân suy rộng +∞R 1

x5 lnx

2+ 3

x2− 3dx.

Trang 3

Câu 1 (2.0đ)

a) Phát biểu định lý Lagrange

b) Sử dụng định lý Lagrange chứng minh rằng: với mọi a, b ∈ R, ta có

ln a +

√

1 + a2

b +

√

1 + b2

!

≤ |a − b|.

Câu 2 (2.0đ) Viết khai triển Mac-Laurin của hàm số f(x) = x√1 + 4x2 tại lân cận của điểm x = 0 tới

x5 Từ đó suy ra f(5)(0).

n→+∞

an

2 + an, với a là hằng số thực.

Câu 4 (2.0đ) Chứng minh tích phân +∞R

1

dx x

√

1 + x2 hội tụ Hãy tính tích phân đó

Câu 5 (2.0đ) Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi 2 mặt z = x2

y2

9 và z = 4.

Câu 1 (2.0đ)

a) Định nghĩa hàm số 1 biến liên tục tại một điểm và liên tục trên một đoạn

b) Chứng minh rằng: với mọi a, b, c ∈ R, n ∈ N∗, ph-ơng trình

x2n+ axn+ bx2 + cx − 1 = 0

có ít nhất 2 nghiệm thực phân biệt

Câu 2 (2.0đ) Viết khai triển Mac-Laurin của hàm số f(x) = x√1 − 4x2 tại lân cận của điểm x = 0 tới

x5 Từ đó suy ra f(5)

(0).

n→+∞

1 + an

2 + an, với a là hằng số thực.

Câu 4 (2.0đ) Chứng minh tích phân +∞R

1

dx x

√

9 + x2 hội tụ Hãy tính tích phân đó

Câu 5 (2.0đ) Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi 2 mặt z = x2

y2

16 và z = 9.

Trang 4

Bộ Môn Toán Đề thi môn Giải tích 1 K58 Đề số 7

Câu 1 (2.0đ) Cho dãy số {xn}∞n xác định bởi x1 = a; (a > 3); xn+1 =√7xn− 12 Chứng minh dãy số hội tụ và tìm giới hạn của dãy

Câu 2 (2.0đ) Xét tính khả vi tại điểm x = 0 của hàm số

f (x) =

(

3

√

x sin(x sin(1x)) với x 6= 0

Câu 3 (2.0đ) Tính giới hạn lim

x→+∞(6

√

x6+ x5− 4

√

x4+ 2x3)

Câu 4 (2.0đ) Tính các tích phân

a)

+∞

Z

−∞

arctan x

p

2 Z 1

x − 2

√

x − 1 dx.

Câu 5 (2.0đ) Tính độ dài đ-ờng cong











x(t) =

t R 1

sin u

u du y(t) =

t R 1

cos u

u du,

(1 ≤ t ≤ π

3).

Câu 1 (2.0đ) Cho dãy số {xn}∞n xác định bởi x1 = a; (a > 3); xn+1=

√

8xn− 15 Chứng minh dãy số hội tụ và tìm giới hạn của dãy

Câu 2 (2.0đ) Xét tính khả vi tại điểm x = 0 của hàm số

f (x) =

(

3

√

x2tan(x sin(1x)) với x 6= 0

Câu 3 (2.0đ) Tính giới hạn lim

x→+∞(5

√

x5+ 3x4− 4

√

x4− x3)

Câu 4 (2.0đ) Tính các tích phân

a)

+∞

Z

−∞

arctan2x

1 Z 0

x + 1

√

1 − x dx.

Câu 5 (2.0đ) Tính độ dài đ-ờng cong











x(t) =

t R 1

cos u

u du y(t) =

t

R sin u

u du,

(1 ≤ t ≤ π

3).

Trang 5

Câu 1 Dễ thấy hàm số khả vi với x ∈ R\{0} 1.0 đ

Do lim

x→0+ sin1x không tồn tại và lim

x→0+x2sinx12 = 0 nên để f(x) liên tục tại x = 0 thì b = 0 Thay b = 0 vào ta sẽ đ-ợc f0

−(0) = f0

+(0) = 0 Do đó để f(x) khả vi trên R thì b = 0; a ∈ R 1.0 đ Câu 2 Để ý rằng sin3

x = 14(3 sin x − sin 3x) Ta có: sin x = x −x 3

6 +120x5 + o (x5) sin 3x = 3x − 9x23 + 81x 5

40 + o (x5) Do đó f (x) = 1

4x (3 sin x − sin 3x) = 14x (4x3− 2x5+ o (x5)) = x4− 1

2x6+ o (x6) 1.0 đ

Vì vậy f(6)

(0) = −12 .6! = −360 . 1.0 đ

Câu 3 a) Đạo hàm x0(t) = −2t = 0 ⇔ t ∈ {0}; y0

(t) = 3 − 3t2 = 0 ⇔ t ∈ {−1; 1} Đạo hàm cấp 2:

y00(x) = y00(t)x0(t)−y0(t)x00(t)

[x 0 (t)]3 = −3(t

2 +1) 4t 3 . 1.0 đ

Bảng biến thiên và đồ thị 1.0 đ

b) Tìm diện tích S = 2

√ 3 R 0

|y(t)x0(t)| dt = 2

√ 3 R 0

(3t − t3)2tdt = 24

√ 3

5 . 1.0 đ

Câu 4 a) Ta có I = +∞R

1

x2 − 1

1 + x +

1

1 + x

dx = 1 − ln 2 . 1.5 đ

b) Cắt vật thể bằng mặt phẳng vuông góc với Ox, thiết diện là vành khuyên với bán kính lớn là R = 2+

√

1 − x2, bán kính nhỏ là r = 2−√1 − x2 Do đó V = πR1

−1

(2 +

√

1 − x2)2− (2 −

√

1 − x2)2

dx = 8π2

Vậy, ta có S = 2πR1

−1

(R + r)ds = 2π

1 R

−1

4ds = 16π2. 1.5 đ

Đáp án và thang điểm Đề thi môn Giải tích 1 K58-Đề số 2

Câu 1 Dễ thấy hàm số khả vi với x ∈ R\{0} 1.0 đ

Do lim

x→0+ cosx1 không tồn tại và lim

x→0+x2cosx12 = 0 nên để f (x) liên tục tại x = 0 thì b = 0 Thay b = 0 vào ta sẽ đ-ợc f0

−(0) = f0+(0) = 0 Do đó để f (x) khả vi trên R thì b = 0; a ∈ R 1.0 đ Câu 2 Để ý rằng cos3

x = 14(3 cos x + cos 3x) Ta có: cos x = 1 − x2

2 + x244 + o (x4) cos 3x =

1 −9x22 +27x84 + o (x4) Do đó, f (x) = 1

4x (3 cos x + cos 3x) = x − 32x3+ 78x5+ o (x5) 1.0 đ

Vì vậy f(5)(0) = 78.5! = 105 . 1.0 đ

Câu 3 a) Đạo hàm x0(t) = −2t = 0 ⇔ t ∈ {0}; y0(t) = 3 − 3t2 = 0 ⇔ t ∈ {−1; 1} Đạo hàm cấp 2:

y00(x) = y00(t)x0(t)−y[x0 (t)]03(t)x00(t) = −3(t

2 +1) 4t 3 . 1.0 đ

Bảng biến thiên và đồ thị 1.0 đ

b) Tìm diện tích S = 2

√ 3 R 0

|y(t)x0(t)| dt = 2

√ 3 R 0

(3t − t3)3t2dt = 272. 1.0 đ

Câu 4 a) Ta có I = +∞R

1

x −

1

1 + x −

1

(1 + x)2

dx = ln 2 − 1

2 1.5 đ

b) Cắt vật thể bằng mặt phẳng vuông góc với Oy, thiết diện là vành khuyên với bán kính lớn là R = 3+

p

1 − y2, bán kính nhỏ là r = 3−p1 − y2 Do đó V = π R1

−1

(3 +p

1 − y2)2 − (3 −p

1 − y2)2

dy = 12π2

Vậy, S = 2π R1 (R + r)ds = 2π

1 R

6ds = 24π2. 1.5 đ

Trang 6

Câu 1 Dãy {un} tăng 1.0 đ

Dãy bị chặn trên bởi 1 (un≤ 1 − 1

n + 1) nên dãy đã cho hội tụ 1.0 đ Câu 2 Bằng nhân liên hợp và thay thế t-ơng đ-ơng 1.0 đ

Sử dụng quy tắc Lopital ta tính đ-ợc giới hạn L = 1

12. 1.0 đ Câu 3 a) Phát biểu định lý Rolle 1.0 đ

b) Với x = 1, bất đẳng thức luôn đúng Với x > 1, xét hàm số f(x) = ln x trên [1; x] Sử dụng Định lý Lagrange, tồn tại c ∈ (1; x) sao cho 1

c =

ln x

x − 1 . Ta có, 1

x ≤

1

c ≤ 1. 1.0 đ

Sử dụng Định lý Rolle cho hàm số f(x) trên các đoạn [1, 2], [2, 3] và [c1, c2] Khi đó, tồn tại c1 ∈

(1, 2), c2 ∈ (2, 3), c ∈ (c1, c2)sao cho f0

(c1) = 0, f0(c2) = 0 và f00

(c) = 0. 1.0 đ

Câu 4 Ta có, f(x) = (x − 2) ln{4.[1 − (x − 2)2

4 ]} = (x − 2) ln 4 +

(x − 2)3

(x − 2)5

32 + o(x − 2)

5

.1.0 đ

Suy ra, f(5)(2) = 5!

32. 1.0 đ

Câu 5 Đặt u = ln x2− 2

x2+ 2, dv =

1

x5dx ⇒ du = 8x

x4− 4dx, v = −

1

4x4 + 1

16. 1.0 đ

Suy ra, I = ( 1

16 −

1

4x4) ln x

2

− 2

x2+ 2

+∞

√ 6

−R+∞

√ 6

1

2x3dx = 3

16 ln 2 −

1

24. 1.0 đ

Câu 1 Chứng minh dãy {un} tăng 1.0 đ

Chứng minh dãy bị chặn trên bởi 1 (un≤ 1 − 1

n + 1 ).(Sv có thể chứng minh nó là dãy Cauchy.) 1.0 đ Câu 2 Nhân liên hợp và thay thế t-ơng đ-ơng 1.0 đ

Sử dụng quy tắc Lopital, ta tính đ-ợc giới hạn L = − 1

12. 1.0 đ Câu 3 a) Phát biểu định lý Rolle 1.0 đ

b) Với x = 0, bất đẳng thức luôn đúng Với x > 0, xét hàm số f(x) = arctan x trên [0; x] Sử dụng

Định lý Lagrange, tồn tại c ∈ (0; x) sao cho 1

1 + c2 = arctan x

1 + x2 ≤ 1

1 + c2 ≤ 1. 1.0 đ

Sử dụng Định lý Rolle cho hàm số f(x) trên các đoạn [−3, −2], [−2, −1] và [c1, c2]. Khi đó, tồn tại

c1 ∈ (1, 2), c2 ∈ (2, 3), c ∈ (c1, c2) sao cho f0(c1) = 0, f0(c2) = 0 và f00(c) = 0. 1.0 đ

Câu 4 Ta có, f(x) = (x + 1) ln{2.[1 + (x + 1)2

2 ]} = (x + 1) ln 2 +

(x + 1)3

(x + 1)5

8 + o(x + 1)

5

. 1.0 đ

Suy ra, f(5)(−1) = −5!

8. 1.0 đ

Câu 5 Đặt u = ln x2+ 3

x2− 3, dv =

1

x5dx ⇒ du = −12x

x4− 9dx, v = −

1

4x4 + 1

36. 1.0 đ

Suy ra, I = ( 1

36 −

1

4x4) ln x

2+ 3

x2− 3

+∞

3

−R+∞

3

1

3x3dx = 2

81 ln 2 +

1

54. 1.0 đ

Trang 7

Câu 1 a) Phát biểu định lý Lagrange 1.0 đ

b) Xét hàm số f(x) = ln(x +√1 + x2 Với mọi x ∈ R, ta có x +√1 + x2 > 0, f0(x) = √ 1

1 + x2 Với mọi, a, b ta có f(a) − f(b) = ln a +

√

1 + a2

b +

√

1 + b2 = f0(c)(a − b).

Suy ra lna +

√

1 + a2

b +

√

1 + b2 ≤ |f0(c)(a − b)| ≤ |a − b| . 1.0 đ Câu 2 Ta có√1 + t = 1 + t

2−

t2

8 + o(t

2

). 1.0 đ

Suy ra x√1 + 4x = x + 2x3− 2x5+ o(x5) Vậy f(5)(0) = −25! = −240. 1.0 đ

Câu 3 lim

n→+∞

a2

2 + an =











0 khi − 1 < a < 1

1

1 khi 1 < |a|

không tồn tại a = −1.

2.0 đ

Câu 4 a) So sánh với tích phân +∞R

1

dx

x32

Suy ra hội tụ 1.0 đ

b) Đặt u =√1 + x2, I =

+∞R

√ 2

du (u − 1)(u + 1) = ln(1 +

√ 2) 1.0 đ

Câu 5 Cắt khối V bởi mặt phẳng vuông góc với trục Oz tại z, ta đ-ợc thiết diện là elip có diện tích

S(z) = 6πz. 1.0 đ

Suy ra, V = R4

√

0

6πzdz = 48π. 1.0 đ

Đáp án và thang điểm Đề thi môn Giải tích 1 K58-Đề số 6 Câu 1 a) Định nghĩa hàm liên tục 1.0 đ

b) Hàm số f(x) = x2n

+ axn+ bx2+ cx − 1 liên tục trên R Ta có f(0) = −1 < 0 và lim

x→±∞. Suy ra tồn

tại α < 0, β > c sao cho f(α) > 0, f(β) > 0 Suy ra điều phải chứng minh . 1.0 đ

Câu 2 Ta có√1 + t = 1 + t

2−

t2

8 + o(t

2). 1.0 đ

Suy ra x√1 − 4x = x − 2x3− 2x5+ o(x5) Vậy f(

5)(0) = −25! = −240. 1.0 đ

Câu 3 lim

n→+∞

a2

2 + an =





1

2 khi − 1 < a < 1

2

1 khi 1 < |a|

không tồn tại a = −1.

2.0 đ

Câu 4 a) So sánh với tích phân +∞R

1

dx

x32

Suy ra hội tụ 1.0 đ

b) Đặt u =√x2+ 9, I =

+∞R

√ 10

du (u − 3)(u + 3) =

1

3ln(3 +

√ 10) 1.0 đ

Câu 5 Cắt khối V bởi mặt phẳng vuông góc với trục Oz tại z, ta đ-ợc thiết diện là elip có diện tích

S(z) = 8πz. 1.0 đ

Suy ra, V = R9

√ 8πzdz = 144π. 1.0 đ

Trang 8

Câu 1 - Nếu a < 4 dãy {xn} đơn điệu tăng và bị chặn trên bởi 4, suy ra hội tụ

- Nếu a ≥ 4 dãy {xn} là dãy giảm và bị chặn d-ới bởi 4, suy ra hội tụ 1.0 đ

lim

n→+∞xn= 4 1.0 đ

Câu 2 Hàm số khả vi tại x = 0 và f0(0) = 0 2.0 đ

Câu 3 Ta có A = lim

x→+∞(6

√

x6+ x5− 4

√

x4+ 2x3) = lim

x→+∞x(6

r

1 + 1

x −

4

r

1 + 2

x ). 1.0 đ

Đặt t = 1

x ⇒ A = limx→0 +

6

√

1 + t −√4

1 + 2t

(1 + t

6 + o(t)) − (1 +

t

2 + o(t))

1

3 1.0 đ

Câu 4 a) Đổi biến x = tan t, ta tính đ-ợc I =

+∞

Z

−∞

arctan x

p

(x2+ 1)3dx =

Z π 2

−π 2

t cos t dt = 0. 1.0 đ

b) Ta có J =

2 Z 1

x − 2

√

x − 1 dx =

2 Z 1

√

x − 1dx +

2 Z 1

1

√

x − 1 dx = 2/3 +

2 Z 1

1

√

x − 1 dx.

2

R

1

√

x − 1 dx = lim→0 +

2 R 1+

(x − 1)−12 = 2 ⇒ J = 8

3. 1.0 đ Câu 5 Ta cópx02(t) + y02(t) = 1

t . 1.0 đ

Vậy độ dài cung là l =

π 3

R 1

dt

t = ln

π

3. 1.0 đ

Câu 1 - Nếu a < 5 dãy {xn} đơn điệu tăng và bị chặn trên bởi 5, suy ra hội tụ

- Nếu a ≥ 5 dãy {xn} là dãy giảm và bị chặn d-ới bởi 5, suy ra hội tụ 1.0 đ

lim

n→+∞xn= 5 1.0 đ

Câu 2 Hàm số khả vi tại x = 0 và f0(0) = 0 2.0 đ

Câu 3 Ta có B = lim

x→+∞(5

√

x5+ 3x4 − 4

√

x4− x3) = lim

x→+∞x(5

r

1 + 3

x −

4

r

1 − 1

x ) 1.0 đ

Đặt t = 1

x ⇒ A = limx→0 +

5

√

1 + 3t −√4

1 − t

(1 + 3t

5 + o(t)) − (1 −

t

4 + o(t))

17

20 1.0 đ

Câu 4 a) Đổi biến x = tan t, ta tính đựợc I =

+∞

Z

−∞

arctan2x

x2+ 1 dx =

Z π 2

−π 2

t2dt = π

3

12. 1.0 đ

b) Ta có J =

1 Z 0

x + 1

√

1 − x dx = −

1 Z 0

√

1 − xdx +

1 Z 0

2

√

1 − x dx = −2/3 +

1 Z 0

2

√

1 − x dx.

1

R

0

2

√

1 − x dx = lim→0 +

1−R

0

2(1 − x)−12 = 4

⇒ J = 10

3 . 1.0 đ Câu 5 Ta cópx02(t) + y02(t) = 1

t . 1.0 đ

Vậy độ dài cung là l =

π 3

R dt

t = ln

π

3. 1.0 đ

1

24. 1.0 đ

Đáp án thang điểm Đề thi mơn Giải tích K58- Đề số 4

Câu Chứng minh dãy {un} tăng...

0

6πzdz = 48π. 1.0 đ

Đáp án thang điểm Đề thi môn Giải tích K58- Đề số Câu a) Định nghĩa hàm liên tục 1.0 đ

b) Hàm số f(x)... class="text_page_counter">Trang 8

Đáp án thang điểm Đề thi mơn Giải tích K58- Đề số 7

Câu - Nếu a < dãy {xn} đơn

Định dạng
Số trang	9
Dung lượng	103,22 KB