Giải các phương trình vi phân sau a.. Giải các phương trình vi phân sau a.
Trang 1Câu 1 (1,5điểm) Cho hàm số f (x, y) = cos(2x2− y2) Tính các đạo hàm riêng cấp hai fxx00 , fxy00
Câu 2 (2,0điểm) Tìm cực trị của hàm số f (x, y) = 4x3− 6xy + y2
Câu 3 (2,0điểm) Tính tích phân đường I =
I
L
(x2−4
3y
3 )dx + (3x3− y2)dy, trong đó L là đường (Elip) 9x2+ 4y2 = 36có hướng ngược chiều kim đồng hồ
Câu 4 (3,0điểm) Giải các phương trình vi phân sau
a y0+ 2y = ex, với điều kiện ban đầu y(0) = −1
b y00− 4y0 + 4y = xe2x
Câu 5 (1,5điểm) Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa
+∞
X
n=1
xn n.3n
Câu 1 (1,5điểm) Cho hàm số f (x, y) = sin(x2− 2y2) Tính các đạo hàm riêng cấp hai f00
yx, f00
yy
Câu 2 (2,0điểm) Tìm cực trị của hàm số f (x, y) = −x2+ 4xy − 2y3
Câu 3 (2,0điểm) Tính tích phân đường I =
I
L
(y2+4
3x
3)dx + (−3y3+ x2)dy, trong đó L là đường (Elip) 4x2+ 9y2 = 36có hướng ngược chiều kim đồng hồ
Câu 4 (3,0điểm) Giải các phương trình vi phân sau
a y0− 2y = ex, với điều kiện ban đầu y(0) = 1
b y00+ 4y0+ 4y = xe−2x
Câu 5 (1,5điểm) Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa
+∞
X
n=1
xn n.(−4)n
1
Trang 2fx0 = −2x sin(x2− y2) 0,5đ
fxx00 = −2 sin(x2− y2) − 4x2cos(x2− y2),f00
xy = 4xy cos(x2− y2) 1,0đ Câu 2 (2,0đ)
Giải hệ
fx0 = 12x2− 6y = 0
fy0 = −6x + 2y = 0
được 2 điểm dừng M1(0, 0), M2(3/2, 9/2) 0,5đ
Tính A = fxx00 = 24x, B = fxy00 = −6, C = fyy00 = 2 0,5đ
Tại M1, AC − B2 < 0, M1 không phải cực trị 0,5đ
Tại M2, AC − B2 > 0, A > 0; M2 là điểm cực tiểu 0,5đ Câu 3 (2,0đ)
Dùng công thức Green I =RRD(9x2+ 4y2)dxdy,D = {9x2+ 4y2 ≤ 36} 1,0đ
Đổi biến x = 2r cos ϕ, y = 3r sin ϕ được I =R2π
0 dϕR0136r2.6rdr = = 108π 1,0đ Câu 4 (3,0đ)
a y = 1/3ex+ ce−2x 1,0đ
Do y(0) = −1 nên y = 1/3ex− 4/3e−2x 0,5đ
b Nghiệm pt thuần nhất ytn = c1e2x+ c2xe2x 0,5đ
Nghiệm riêng có dạng yr = e2xx2(ax + b), tính được yr = 1/6x3e2x 0,5đ
Suy ra nghiệm của phương trình là y = (c1+ c2x + 1/6x3)e2x 0,5đ Câu 5 (1,5đ)
Bk hội tụ R = 3, khoảng hội tụ (−3, 3), 0,5đ Tại x = −3, hội tụ theo Lebnitz, 0,5đ Tại x = 3, phân kì, miền hội tụ là [−3, 3) 0,5đ
2
Trang 3fy0 = −2y cos(x2− y2) 0,5đ
fyy00 = −2 sin(x2− y2) − 4y2sin(x2− y2),f00
yx= 4xy sin(x2− y2) 1,0đ Câu 2 (2,0đ)
Giải hệ
fx0 = −2x + 4y = 0
fy0 = 4x − 6y2 = 0
được 2 điểm dừng M1(0, 0), M2(8/3, 4/3) 0,5đ
Tính A = fxx00 = −2, B = fxy00 = 4, C = fyy00 = −12y 0,5đ
Tại M1, AC − B2 < 0, M1 không phải cực trị 0,5đ
Tại M2, AC − B2 > 0, A < 00; M2 là điểm cực đại 0,5đ Câu 3 (2,0đ)
Dùng công thức Green I =RRD(−4x2− 9y2)dxdy,D = {4x2+ 9y2 ≤ 36} 1,0đ
Đổi biến x = 3r cos ϕ, y = 2r sin ϕ được I = −R2π
0 dϕR0136r2.6rdr = = −108π 1,0đ Câu 4 (3,0đ)
a y = −ex+ ce2x 1,0đ
Do y(0) = 1 nên y = −ex+ 2e2x 0,5đ
b Nghiệm pt thuần nhất ytn = c1e−2x+ c2xe−2x 0,5đ
Nghiệm riêng có dạng yr = e−2xx2(ax + b), tính được yr = 1/6x3e−2x 0,5đ
Suy ra nghiệm của phương trình là y = (c1+ c2x + 1/6x3)e−2x 0,5đ Câu 5 (1,5đ)
Bk hội tụ R = 4, khoảng hội tụ (−4, 4), 0,5đ Tại x = −4, phân kì, 0,5đ Tại x = 4, hội tụ, miền hội tụ là (−4, 4] 0,5đ
3